IFUモデル LAT2分離

IFUモデルのLAT2ステートにおいて、IFのアンプリベンタブル(VSG抑止不可)な部分にフォールトが起きた場合、そのフォールトはSMのup/down状態に依存しないため、本質的には広義のSPF(SMがあるので狭義ではRF)ですが、形式的にはSMのフォールトに引き続いて起きるためDPFとしました(#104)。

前稿(#102～#108)のPMHF導出においては、DPFとして扱いましたが、「$M_{\mathrm{PMHF}}$の計算(2)」のMarkov chain図を変更し、LAT2からDPF1への遷移(2)を分離して、DPF1への遷移(2a)とSPF1への遷移(2b)とに分離します(図221.1の赤矢印)。

図221.1の(1)、(3)の確率微分方程式は変わりません。まず(2a)のDPF1方向への確率積分は、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{DPF1,IFU}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{DPF1\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\cap\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\\ & &\cap\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}\Pr\{\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}\} \end{eqnarray} \tag{221.1} $$ ここで(104.2)、(104.3)より、 $$ \Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\}\Pr\{\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\=R_{\mathrm{IF}}(t)Q_{\mathrm{SM}}(t)\tag{221.2} $$ (104.4)より、 $$ \Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\}=\lambda_{\mathrm{IF}}dt\tag{221.3} $$ (221.2)、(221.3)を(221.1)に用いれば、 $$ \overline{q_{\mathrm{DPF1,IFU}}}=\frac{K_{\text{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)R_{\mathrm{IF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt \tag{221.4} $$ ゆえに、(104.5)の結果を利用すれば、(2a)は、 $$ (221.4)=K_{\text{IF,RF}}\alpha\tag{221.5} $$

次に(2b)のSPF方向への確率積分は、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{SPF(2b),IFU}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{SPF(2b)\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\cap\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\\ & &\cap\overline{\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}\Pr\{\overline{\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}}\} \end{eqnarray} \tag{221.6} $$ 同様に(221.2)、(221.3)を用いれば、 $$ \overline{q_{\mathrm{SPF(2b),IFU}}}=\frac{1-K_{\text{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)R_{\mathrm{IF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt \tag{221.7} $$ ゆえに、(104.5)の結果を利用すれば、(2b)は、 $$ (221.7)=(1-K_{\text{IF,RF}})\alpha\tag{221.8} $$

IFUモデル SPF統合

$\dagger$「IFUモデルのLAT2において、IFのアンプリベンタブル部分にフォールトが起きた場合」について、SPFへの遷移(2b)とDPF1への遷移(2a)の確率積分を行いました。今度はSPFへの確率積分を統合します。図221.1において(1)と(2b)はいずれもSPFとして扱い、これをSPF統合と呼びます。

• LAT2統合 --- $\dagger$の場合、SPFへの遷移(2b)は本質的にSPFであるが、形式的にSMのフォールトに引き続くDPF(2)=(2a)+(2b)として計算、#103～#105の議論
• LAT2分離 --- $\dagger$の場合、LAT2からの遷移(2)を、SPFへの遷移(2b)とDPF1への遷移(2a)に分離、本稿の議論
• SPF統合 --- $\dagger$の場合、LAT2からSPFへの遷移(2b)と、元のOPRからSPFへの遷移(1)を統合、LAT2分離によりそれぞれ求めた確率の組み合わせを変更、本稿の議論
• SPF/DPF統合 --- $\dagger$の場合、SPF統合に加えて、DPF1とDPF2は同じ状態であるため、DPFも統合

それぞれの方式のPMHF式と、参考にPMHF規格式を比較すると、表221.1のようになります。前稿からの変化部分を黄色で示しています。

以上より、一般式は、 $$M_\text{PMHF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+2K_\text{IF,RF}\alpha\\ =(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,MPF}\tau\right]\tag{221.9}$$

SPF統合は、SPFのPMHFがRFの定義そのままという、非常に単純な式となっています。従って、#103のSPFのPMHF式や1st editionの規格式が複雑なのは、形式上のDPFをSPFから差し引いたためと言えます。また、DPF1とDPF2はルートが異なるのに同一の確率となっているのが少々驚きです。

$\dagger$規格式1: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第1式(ブログの図104.2)の条件＝IFが後にフォールトする場合。DPF2はSMが後にフォールトする場合なので対象外
$\dagger$規格式3: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第3式(ブログの図105.2)の条件＝IF, SMのフォールトの順を問わない場合

RAMS 2021において、PMHF式に基づくFTA構築法の論文発表が終了したため、本記事を開示します。

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今回は余談で、参照論文から離れます。

信頼性工学に関するISOが存在し、それが以前もご紹介したISO 12489です。 ”Petroleum, petrochemical and natural gas industries - Reliability modelling and calculation of safety systems" (ISO/TR 12489:2013)という国際規格であり、本来は「石油、石油化学、天然ガス産業-信頼性モデリングと安全システムの計算」と訳されますが、中身はかなり数学的な定義が多いです。

信頼性関連で使用される用語の定義が数学的に書かれているのが特長です。

ここではその中の｢8.5.ブール代数モデルによる計算｣を見てみます。

図211.1 は本ブログの方式と基本的には同一ですが、｢FT駆動マルコフ過程モデリング｣と書かれています。本ブログの方式はむしろ、(動的な)マルコフモデル駆動による(静的な)Fault Treeによる解析、と逆のように思います。本ブログの方式は、基事象にマルコフモデルを適用し、それを一旦静的なPMHF式に変換し、それに基づきFTを構築する流れであるためです。

本ブログの方式は、一見図211.1と同じように思われますが、根本的に異なります。ISO 26262では動的なマルコフモデルを確率積分し、あらかじめ平均PUDであるPMHF式を求めておくことにより、ISO 12489の図のような複雑な確率過程の計算をする必要が無いわけです。

ともあれ、規格は論文でもなければ教科書でもないと言えども、｢マルコフ過程に基づいた確率微分方程式を積分したものがPMHF方程式である｣という事実が全く書かれていないので、いろいろな人が試行錯誤しているのは無駄ではないでしょうか。より正しく効率的な運用をしたいと思い、このブログを書いています。

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1st EditionのPMHF式

以下に1st EditionのPMHF第1式及び第3式を示します。第1式はIFによりSPFもしくはDPFが発生する場合のみを数え上げた式であり、第3式はそれに加えてSM1によるDPFも加えた式です。従って、全ての場合を考えるならば第3式を使うのが正しいと考えます。

1st EditionにおいてはIFがアンリペアラブル、SM1がリペアラブルという前提での計算に基づいていると考えらえます。その理由は、この前提で、前稿のCTMCから平均PUDを求めると、正確に上2式と一致するためです。

2nd EditionのPMHF式

以下に2nd EditionのPMHF式を示します。

ISO 26262の2nd EditionのPMHF式は、1st Editionとpattern3、4が異なっており、対称性からみて前提が追加されていると考えます。2nd Editionでは1st Editionの前提(pattern 1, 2)に加えて、その反対の状態(pattern 3, 4)つまりIFがリペアラブル、SM1がアンリペアラブルの場合の両側についてPMHFを求めていると推測します。ただし、$T_{\mathrm{lifetime}}$項と$T_{\mathrm{service}}$項がなぜ2倍異なるのかの理由は判明していません。追記：2年後に判明したのでこの記事に記載しました。

しかしながら、弊社ではこの前提は誤りではないかと思います。初期状態、つまりフォールトが起きていない状態においては、IF、SM1の両方ともがリペアラブルが正しく、上記の仮定においては故障確率を過大に見積もりすぎています。

例えば、SM1がフォールトし、そのフォールトがSM2により検出され、検出周期の最後でリペアされる場合(pattern 2)を考えます。規格ではこの場合は最初にSM1がフォールトしてしまうと、最終的にはIFのフォールトによりDPFとなる場合のみがカウントされます。なぜなら、どちらかがリペアラブルだと他方はアンリペアラブルだからです。つまりこの場合、SM1がリペアラブルの場合は自動的にIFはアンリペアラブルという前提です。

ところが、実際にはSM1がリペアされた場合は初期状態と同じ状態に戻るため、次にIFがフォールトし、SM1により検出されリペアされる場合(pattern 4)もありえます。典型的な例は、SM1がフォールトしリペアされ、次にIFがフォールトしリペアされるように、交互にリペアされる場合です。この場合はDPFが起きないにも関わらず、2nd EditionではSM1がフォールトから始まると、SM1はリペアラブルに固定されます。そしてIFはアンリペアラブルに固定されます。

従って、実際にはDPFは起きませんが、IFのフォールトでDPFとカウントされ、結論として過大にフォールト確率を見積もっています。

もしかすると、LAT2にいる状態ではSM1がフォールトしているので、IFはリペアされない(IFはアンリペアラブル)と考えたのではないでしょうか。ところが、IFのリペアラビリティはSM1ではなく、SM2にのみ依存し、かつSM2は故障しないため、IFはリペアラブルです。従って、本稿のほうが正しいと考えます。

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SPFの再計算は必要?

前記事ではDPF1に関する平均PUDを再計算しました。IFの条件がアンリペアラブルからリペアラブルに変更され、リペアすることにより(一部の)OPRの状態確率が上がったためです。

しかし、SPFの確率は上がりません。その理由は、リペアによってIF downからIF up状態に戻ったということは、元のdownした時にはVSG抑止されていたはずです。そのため、リペアはDPF確率のみに影響し、SPFは全く無関係となります。従って、

$$ \overline{q_\text{SPF,IFR}}=\overline{q_{\mathrm{SPF,IFU}}}\tag{108.1} $$

よって、(103.7)、(107.8)、(106.4)を加え合わせて、 $$ \begin{eqnarray} \require{cancel} M_{\mathrm{PMHF}}&=&\overline{q_{\mathrm{SPF,IFR}}}+\overline{q_{\mathrm{DPF1,IFR}}}+\overline{q_{\mathrm{DPF2,IFR}}}\\ &=&(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-\bcancel{(1-K_\text{IF,RF})\alpha}+\bcancel{(1-K_\text{IF,RF})\alpha}+K_\text{IF,RF}\beta+K_\text{IF,RF}\beta\\ &=&(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+2K_\text{IF,RF}\beta\\ &=&(1-K_{\mathrm{IF,RF}})\lambda_{\mathrm{IF}}+ K_{\mathrm{IF,RF}}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF}}\tau], \\ & &ただし、K_{\mathrm{MPF}}:=K_{\mathrm{IF,MPF}}+K_{\mathrm{SM,MPF}}-K_{\mathrm{IF,MPF}}K_{\mathrm{SM,MPF}} \tag{108.2} \end{eqnarray} $$ 2nd Editionの規格式とは異なるものの、これが正解と考えます。

一旦結論が出ましたが、次の記事に続きます。

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DPF1の再計算

ところがこのケース2.の場合は、(無関係と思われた)DPF1について再計算する必要があります。その理由は、IFの条件がアンリペアラブルからリペアラブルに変更され、リペアすることによりOPRの状態確率が上がり、結果としてDPF1の確率が下がるためです。図107.1に図104.1を再掲します。LAT2においてはIF=upであったのに対し、DPF1においてはIF=downとなります。

(104.1)を参考に、IFRモデルに変更します。 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{DPF1,IFR}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{DPF1\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\cap\mathrm{IF\ down\ in\ }(t, t+dt]\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ & &\cdot\Pr\{\mathrm{LAT2}\mathrm{\ at\ }t\} \end{eqnarray} \tag{107.1} $$ ここまでは(104.1)と同じです。LAT2はIFの稼働状態でかつSM1の不稼働状態であるから、 $$ \Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF\ up\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\tag{107.2} $$ IFとSM1の稼働状態は独立事象であり、IFRモデルではIF、SM1共にリペアラブルであることから、(107.2)は $$ (107.2)=\Pr\{\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\}\Pr\{\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\ =A_{\mathrm{IF}}(t)Q_{\mathrm{SM}}(t)\tag{107.3} $$ と書けるように思われますが誤りです。IFのフォールトはVSG non preventableとVSG preventableに分けられるので、分配則より、 $$ \Pr\{\mathrm{IF\ up\ at\ }t\}=\Pr\{\left(\overline{\text{IF preventable}}\cup\text{IF preventable}\right)\cap\mathrm{IF\ up\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\left(\overline{\text{IF preventable}}\cap\mathrm{\color{red}{IF^U}\ up\ at\ }t\right)\cup\left(\text{IF preventable}\cap\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\right)\}\tag{107.4} $$ となります。$\mathrm{\color{red}{IF^U}}$に注意してください。$\overline{\text{IF preventable}}$とはSM1によりVSG抑止できないことを意味し、修理は不可能であるため、その部分のIFはアンリペアラブルとなります。

ちなみに、この部分の確率はSMの状態によらずVSGとなるため、本質的にはSPFに入りそうですが、形式的にはSMがdownしているときのIFのフォールトなので、本稿ではDPFに入れます。なお、SPFに分類してもDPFに分類しても最終的には確率の総和を取るため、結果に変わりはありません。

従って、(107.4)のIFの前半がアンリペアラブル、後半がリペアラブルなので、(107.4)は、 $$ \require{cancel} \Pr\{\mathrm{IF\ up\ at\ }t\}=(1-K_{\text{IF,RF}})R_\text{IF}(t)+K_{\text{IF,RF}}A_\text{IF}(t)\\ (新規追加)=(1-\bcancel{K_{\text{IF,RF}}})R_\text{IF}(t)+K_{\text{IF,RF}}(\bcancel{1}-K_{\text{IF,MPF}})R_\text{IF}(t)+K_{\text{IF,RF}}K_{\text{IF,MPF}}R_\text{IF}(u)\\ =(1-K_{\text{IF,RF}}K_{\text{IF,MPF}})R_\text{IF}(t)+K_{\text{IF,RF}}K_{\text{IF,MPF}}R_\text{IF}(u), ただし、u:=t\bmod\tau \tag{107.5} $$ となるため、(107.2)は(107.5)を用いて、 $$ \Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF\ up\ at\ }t\}\Pr\{\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\ =\left[(1-K_{\text{IF,RF}})R_\text{IF}(t)+K_{\text{IF,RF}}A_\text{IF}(t)\right]Q_{\mathrm{SM}}(t)\\ (新規追加)=\left[(1-K_{\text{IF,RF}}K_{\text{IF,MPF}})R_\text{IF}(t)+K_{\text{IF,RF}}K_{\text{IF,MPF}}R_\text{IF}(u)\right]Q_{\mathrm{SM}}(t),\\ ただし、u:=t\bmod\tau \tag{107.6} $$ と書けます。

さらに、(107.1)の右辺積分中の条件付き確率式に、独立条件付き確率式(103.4)、及び微小故障条件付き確率式(66.8)を用いれば、DPF時の2つ目のフォールトはIF、SM1共にアンリペアラブルとなるため、 $$ \require{cancel} \Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\cap\bcancel{\mathrm{SM\ down\ at\ }t}\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\}=\lambda_{\mathrm{IF}}dt\tag{107.7} $$ となります。

よって、(107.1)に(107.7)、(107.6)を適用した上で、PUA(59.8)、PA(59.7)、故障率(66.6)及び弊社積分公式(60.1)及び(60.2)を用いれば、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{DPF1,IFR}}}&=&\frac{1-K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)R_{\mathrm{IF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt+\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)A_{\mathrm{IF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt\\ &=&\frac{1-K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)f_{\mathrm{IF}}(t)dt+\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)q_{\mathrm{IF}}(t)dt\\ &=&\frac{1-K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})F_{\mathrm{SM}}(t)+K_{\mathrm{SM,MPF}}F_{\mathrm{SM}}(u)]f_{\mathrm{IF}}(t)dt\\ & &+\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})F_{\mathrm{SM}}(t)+K_{\mathrm{SM,MPF}}F_{\mathrm{SM}}(u)]\\ & &\cdot\left[(1-K_{\mathrm{IF,MPF}})f_{\mathrm{IF}}(t)+K_{\mathrm{IF,MPF}}f_{\mathrm{IF}}(u)\right]dt,\\ & &ただし、u:=t\bmod\tau\\ &\approx&\frac{1-K_{\mathrm{IF,RF}}}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau]\\ & &+\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1- K_{\mathrm{MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF}}\tau]\\ &=&(1-K_{\mathrm{IF,RF}})\alpha+K_{\mathrm{IF,RF}}\beta,\\ \end{eqnarray} \tag{107.8} $$

$$ ただし、\begin{cases} \begin{eqnarray} \alpha&:=&\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau]\\ \beta&:=&\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF}}\tau]\\ K_{\mathrm{MPF}}&:=&K_{\mathrm{IF,MPF}}+K_{\mathrm{SM,MPF}}-K_{\mathrm{IF,MPF}}K_{\mathrm{SM,MPF}}\\ \end{eqnarray} \end{cases} $$ となります。

(2021年1月新規追加)これを整理すれば、 $$ \begin{eqnarray} (107.8)&=&\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1- K_{\mathrm{MPF2}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF2}}\tau]\\ & &ただし、K_{\mathrm{MPF2}}:=K_{\mathrm{IF,RF}}K_{\mathrm{IF,MPF}}+K_{\mathrm{SM,MPF}}-K_{\mathrm{IF,RF}}K_{\mathrm{IF,MPF}}K_{\mathrm{SM,MPF}}\\ \end{eqnarray} \tag{107.9} $$ となります。これは(107.6)の新規追加式を積分した結果と同一になります。

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2. LAT1において、検出周期内ではSM1のフォールトに応じて確率的にDPF2に遷移する。一方検出周期の最後で、検出されたIFのフォールトはリペアされOPRに戻る場合(IFRモデル)

ケース2.の場合の計算です。2nd Editionの中にPattern4が以下の図のように書かれています。IFが先にフォールトし、それが検出される場合についてはリペアされると推測され、Pattern4はこのケース2.の場合であると考えられます。

(日本語訳)IFのフォールトは軽減され、SM1によって通知されます。フォールトの露出時間は、ドライバーが車両を修理に持ち込むのに必要な予想時間と見なされます。

これが成立するのは、(規格には書かれていませんが1)SM1にIFの代替機能がある場合に限られます。それが無い場合は前稿のIFUモデルに対応します。それがある場合はIFRモデルに対応します。2nd EditionではPattern3及び4が追加され、IFRモデルを前提としており、本ケース2.が相当すると考えます。

前ページの(105.1)のIFUモデルをIFRモデルに変更します。 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{DPF2,IFR}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{DPF2\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT1\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt)\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT1\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT1\ at\ }t\} \end{eqnarray} \tag{106.1} $$

ここで、LAT1はIFの不稼働状態でかつSM1によりVSGは抑止されるがSM2により検出されず、かつSM1の稼働状態であるから、 $$ \Pr\{\mathrm{LAT1\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF\ down\ at\ }t\cap\text{VSG of IF preventable}\cap\mathrm{SM\ up\ at\ }t\}\tag{106.1} $$ IFとSM1の稼働状態は独立事象であり、IF、SM1は共にリペアラブルです。前稿にならいリペアラブルなIFを$\mathrm{IF^R}$と書くことにします。

SM1のVSG prevent能力はアーキテクチャ的に決定されるため、他の事象とは独立と考え、$K_\text{IF,RF}$(101.3)を用いると、(106.1)は $$ \Pr\{\mathrm{LAT1\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ at\ }t\}\Pr\{\text{VSG of IF preventable}\}\Pr\{\mathrm{SM\ up\ at\ }t\}\\ =K_{\mathrm{IF,RF}}Q_{\mathrm{IF}}(t)A_{\mathrm{SM}}(t)\tag{106.2} $$ と書けます。

さらに、(105.1)の右辺積分中の条件付き確率式に(106.1)、独立条件付き確率式(103.4)、及び微小故障条件付き確率式(66.8)を用い、DPF時の2つ目のフォールトはIF、SM1共にアンリペアラブルとなるため、 $$ \require{cancel} \Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT1\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{SM\ up\ at\ }t\cap\bcancel{\mathrm{IF^R\ down\ at\ }t}\cap\bcancel{\text{VSG of IF preventable}}\}\\ =\Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{SM\ up\ at\ }t\}=\lambda_{\mathrm{SM}}dt\tag{106.3} $$ よって、(105.1)に(106.3)、(106.2)を適用した上で、PUA(59.8)、PA(59.7)、故障率(66.6)及び弊社積分公式を用いれば、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{DPF2, IFR}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}K_{\mathrm{IF,RF}}Q_{\mathrm{IF}}(t)A_{\mathrm{SM}}(t)\lambda_{\mathrm{SM}}dt\\ &=&\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\left[(1-K_{\mathrm{IF,MPF}})F_{\mathrm{IF}}(t)+K_{\mathrm{IF,MPF}}F_{\mathrm{IF}}(u)\right]\\ & &\cdot\left[(1-K_\text{SM,MPF})f_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}f_\text{SM}(u)\right]dt,\\ & &ただし、u:=t\bmod\tau\\ &\approx&\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}}{2}\lambda_{\mathrm{SM}}\lambda_{\mathrm{IF}}\left[(1-K_{\mathrm{MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF}}\tau\right], \\ & &ただし、K_{\mathrm{MPF}}:=K_{\mathrm{IF,MPF}}+K_{\mathrm{SM,MPF}}-K_{\mathrm{IF,MPF}}K_{\mathrm{SM,MPF}}\\ &=&K_{\mathrm{IF,RF}}\beta, \\ & &ただし、\beta:=\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF}}\tau] \end{eqnarray} \tag{106.4} $$

RAMS 2020においてPMHF式の論文発表が終了したため、本記事を開示します。

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LAT1⇒DPF2の平均PUDの計算

次にLAT1からDPF2の平均PUDを計算します。時刻$t$でLAT1においてはSM1=upであったのに対し、$t+dt$までの間にSM1にフォールトが起き、DPF2に移行しSM1=downとなります。

この場合、規格(1st Edition)が曖昧であるため、次の2とおりのケースが考えられます。

1. LAT1においては既にIF=downであり、SM1のフォールトに応じて確率的にDPF2に遷移する。これはIFがアンリペアラブルの場合であり、これをIFUモデルと名付けます。図105.1の実線(のみ)の遷移です。
2. LAT1においては既にIF=downであり、検出周期内ではSM1のフォールトに応じて確率的にDPF2に遷移する。一方検出周期の最後で、検出されたIFのフォールトは全量(経過時間0で)リペアされ、IF=upとなりOPRに戻る。これはIFがリペアラブルの場合であり、これをIFRモデルと名付けます。図105.1の実線及び破線の遷移です。

1. LAT1のフォールトがDPF2に遷移する場合(IFUモデル)

まずケース1.のIFUモデルを前提として計算すると、条件付き確率の公式より、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{DPF2,IFU}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{DPF2\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT1\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt)\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT1\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT1\ at\ }t\} \end{eqnarray} \tag{105.1} $$ ここで、$\mathrm{LAT1}$という状態は、IFが不稼働状態にも関わらずVSGを免れており、かつSM1は稼働状態であるから、 $$ \Pr\{\mathrm{LAT1\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF\ down\ at\ }t\cap\text{VSG of IF preventable}\cap\mathrm{SM\ up\ at\ }t\} \tag{105.2} $$ IFとSM1の稼働状態は独立事象であり、IFはアンリペアラブル、SM1はリペアラブルです。SM1のVSG prevent能力はアーキテクチャ的に決定されるため、他の事象とは独立と考え、$K_\text{IF,RF}$(101.3)を用いると、(105.2)は $$ \Pr\{\mathrm{LAT1\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ at\ }t\}\Pr\{\text{VSG of IF preventable}\}\Pr\{\mathrm{SM\ up\ at\ }t\}\\ =K_{\mathrm{IF,RF}}F_{\mathrm{IF}}(t)A_{\mathrm{SM}}(t)\tag{105.3} $$ と書けます。

さらに、(105.1)の右辺積分中の条件付き確率式に(105.2)、独立条件付き確率式(103.4)、及び微小故障条件付き確率式(66.8)を用れば、 $$ \require{cancel} \Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT1\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{SM\ up\ at\ }t\cap\bcancel{\mathrm{IF^U\ down\ at\ }t}\cap\bcancel{\text{VSG of IF preventable}}\}\\ =\Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{SM\ up\ at\ }t\}=\lambda_{\mathrm{SM}}dt \tag{105.4} $$ よって、(105.1)に(105.4)、(105.3)を用いた上で、稼働度PA(59.7)、故障率(66.6)及び弊社積分公式を用いれば、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{DPF2, IFU}}}&=&\frac{1} {T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}K_{\mathrm{IF,RF}}F_{\mathrm{IF}}(t)A_{\mathrm{SM}}(t)\lambda_{\mathrm{SM}}dt\\ &=&\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}F_{\mathrm{IF}}(t)[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})R_{\mathrm{SM}}(t)+K_{\mathrm{SM,MPF}}R_{\mathrm{SM}}(u)]\lambda_{\mathrm{SM}}dt,\\ & &ただし、u:=t\bmod\tau\\ &=&\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}F_{\mathrm{IF}}(t)[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})f_{\mathrm{SM}}(t)+K_{\mathrm{SM,MPF}}f_{\mathrm{SM}}(u)]dt\\ &\approx&\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau]\\ &=&K_{\text{IF,RF}}\alpha,\\ & &ただし、\alpha:=\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau] \end{eqnarray} \tag{105.5} $$

ここで、$(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}\gg K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau$の場合に$M_{\mathrm{PMHF}}=\overline{q_{\mathrm{SPF,IFU}}}+\overline{q_{\mathrm{DPF1,IFU}}}+\overline{q_{\mathrm{DPF2, IFU}}}$を計算すると、 $$ M_{\mathrm{PMHF}}= (1-K_{\mathrm{IF,RF}})\lambda_{\mathrm{IF}}+ K_{\mathrm{IF,RF}}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}\\ \tag{105.6} $$ であり、さらにこれは、 $$ \begin{cases} \begin{eqnarray} \lambda_{\mathrm{IF,RF}}&:=&(1-K_{\mathrm{IF,RF}})\lambda_{\mathrm{IF}}\\ \lambda_{\mathrm{IF,DPF}}&:=&K_{\mathrm{IF,RF}}\lambda_{\mathrm{IF}}\\ \lambda_{\mathrm{SM,DPF,lat}}&:=&(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})\lambda_{\mathrm{SM}} \end{eqnarray} \tag{105.7} \end{cases} $$ を用いて $$ (105.6)=\lambda_{\mathrm{IF,RF}}+\lambda_{\mathrm{IF,DPF}}\lambda_{\mathrm{SM,DPF,lat}}T_\text{lifetime}\tag{105.8} $$ と書きなおせるため、(105.8)は次の図105.2に示す、ISO 26262 1st edition Part 10の第3式に(IF⇒Mと読み替えることにより))完全に一致します。

この式は「故障順序によらない」PMHF式ということですが、「故障順序によらない」とは、「故障の順番がIF⇒SMまたはその反対のSM⇒IFの両方の場合」$\dagger$という意味です。1st editionの第3式に一致したということは、1st SMによりVSG抑止されたフォールトは全てレイテントフォールトになるのが規格の前提であると推測されます。

しかしながら、この前提はLFMにおいてdetected faultが算入されないという点で、規格内部での不一貫性を示しています。

RAMS 2020においてPMHF式の論文発表が終了したため、本記事を開示します。さらに、上記不一貫性の解消を目的とした新提案の論文をRAMS 2022に投稿し、これも採択されました。

$\dagger$連続確率過程の確率密度の観点からはIFとSMの同時故障の確率は”ほとんど確実に"0です。従って、この条件は全ての場合を表します。

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LAT2⇒DPF1の平均PUDの計算

次にLAT2からDPF1となる平均PUDを計算します。時刻$t$でLAT2においてはIF=upであったのに対し、$t+dt$までの間にIFにフォールトが起き、IF=downとなると同時にDPF1に移行します。

CTMCの平均PUD基本式(101.5)について、条件付き確率の公式を用いて、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{DPF1,IFU}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{DPF1\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\cap\mathrm{IF\ down\ in\ }(t, t+dt]\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT2}\mathrm{\ at\ }t\} \end{eqnarray} \tag{104.1} $$ ここで、LAT2はIFが稼働、SM1が不稼働状態であるから、 $$ \Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF\ up\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\tag{104.2} $$ IFとSM1の稼働状態は独立事象で、IFはアンリペアラブル、SM1はリペアラブルであることから、(104.2)は $$ \Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\}\Pr\{\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\=R_{\mathrm{IF}}(t)Q_{\mathrm{SM}}(t)\tag{104.3} $$ と書けます。

さらに、(104.1)の右辺積分中の条件付き確率式に(104.2)、独立条件付き確率式(103.4)、及び微小故障条件付き確率式(66.8)を適用すれば、IFはアンリペアラブルであるため、 $$ \require{cancel} \Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\cap\bcancel{\mathrm{SM\ down\ at\ }t}\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\}=\lambda_{\mathrm{IF}}dt\tag{104.4} $$ よって、(104.1)に(104.4)、(104.3)を用いた上で、PUA(59.8)、故障率(66.6)、及び弊社積分公式を適用すれば、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{DPF1,IFU}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)R_{\mathrm{IF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\text{SM}(t)f_\mathrm{IF}(t)dt\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\left[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})F_{\mathrm{SM}}(t)+K_{\mathrm{SM,MPF}}F_{\mathrm{SM}}(u)\right]f_{\mathrm{IF}}(t)dt,\\ & &ただし、u:=t\bmod\tau\\ &\approx&\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}\left[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau\right]\\ &=&\alpha,\\ & & ただし、\alpha:=\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau] \end{eqnarray} \tag{104.5} $$ よって、(103.7)及び(104.5)より、 $$ \begin{eqnarray} M_{\mathrm{PMHF}}&=&\overline{q_{\mathrm{SPF,IFU}}}+\overline{q_{\mathrm{DPF1,IFU}}}\\ &=&(1-K_{\mathrm{IF,RF}})\lambda_{\mathrm{IF}}+\frac{1}{2}K_{\mathrm{IF,RF}}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau]\\ &=&(1-K_{\mathrm{IF,RF}})\lambda_{\mathrm{IF}}+K_{\mathrm{IF,RF}}\alpha \end{eqnarray} \tag{104.6} $$ であり、さらに基本故障率及びパラメータにより各条件を含む故障率が記述でき、 $$ \begin{cases} \begin{eqnarray} \lambda_\text{IF,RF}&:=&(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}\\ \lambda_\text{IF,DPF}&:=&K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\\ \lambda_\text{SM,DPF,lat}&:=&(1-K_\text{SM,MPF})\lambda_\text{SM}\\ \lambda_\text{SM,DPF,det}&:=&K_\text{SM,MPF}\lambda_\text{SM} \end{eqnarray} \end{cases} \tag{104.7} $$ を用いて $$ (104.6)=\lambda_{\mathrm{IF,RF}}+\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF,DPF}} (\lambda_{\mathrm{SM,DPF,lat}}T_\text{lifetime}+\lambda_{\mathrm{SM,DPF,det}}\tau)\tag{104.8} $$ と書きなおせるため、(104.8)は次の図104.2に示す、ISO 26262 1st edition Part 10の最初のPMHF式、すなわちSM1に引き続きIFがフォールトすると(誤って)書かれている式と、(IF⇒Mと読み替えることにより)完全に一致します。

RAMS 2020においてPMHF式の論文発表が終了したため、本記事を開示します。

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OPR⇒SPFの平均PUDの計算

まずOPRステートからSPFステートへの、$t$から$t+dt$までの微小遷移確率を0から$T_\text{lifetime}$まで積分したものの時間平均、つまり平均PUDを計算します。時刻$t$でOPRにおいてはIF=upであったのに対し、時刻$t+dt$までの間にIFにフォールトが起き、IF=downとなると同時にSPFに移行します。平均PUDの定義については平均PUD定義式(66.13)をご覧ください。

SM1のVSG prevent能力はアーキテクチャ的に決定されるため、他の事象とは独立と考えます。 CTMCの平均PUD基本式(101.5)について、条件付き確率の公式を用いて、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{SPF,IFU}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{SPF\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{OPR\ at\ }t\cap\mathrm{IF\ down\ in\ }(t, t+dt]\cap\overline{\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{OPR\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{OPR\ at\ }t\}\Pr\{\overline{\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}}\} \end{eqnarray} \tag{103.1} $$ ここで、OPRはIF、SM1共にupであるから、 $$ \Pr\{\mathrm{OPR\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF\ up\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ up\ at\ }t\} \tag{103.2} $$ IFとSM1の稼働状態は独立事象で、IFはアンリペアラブル、SM1がリペアラブルです。ここでIFがアンリペアラブルなことを特に$\mathrm{IF^U}$と表します。SM1は常にリペアラブルなのでそのままです。すると、(103.2)は $$ \Pr\{\mathrm{OPR\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\}\Pr\{\mathrm{SM\ up\ at\ }t\}\\ =R_\mathrm{IF}(t)A_\mathrm{SM}(t)\tag{103.3} $$ と書けます。ここで、以下の条件付き確率において、CがAともBとも独立であるとき、次の独立条件付き確率式 $$ \require{cancel} \Pr\{\mathrm{A}\ |\ \mathrm{B}\cap\mathrm{C}\}=\frac{\Pr\{\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\cap\mathrm{C}\}}{\Pr\{\mathrm{B}\cap\mathrm{C}\}}=\frac{\Pr\{\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\}\cdot\bcancel{\Pr\{\mathrm{C}\}}}{\Pr\{\mathrm{B}\}\cdot\bcancel{\Pr\{\mathrm{C}\}}}=\Pr\{\mathrm{A}\ |\ \mathrm{B}\}\tag{103.4} $$ が成り立つため、(103.1)の右辺積分中の条件付き確率式に(103.2)、(103.4)、及び微小故障条件付き確率式(66.8)を用いれば、IFはアンリペアラブルであるため、 $$ \Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{OPR\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\cap\bcancel{\text{SM up at }t}\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\}=\lambda_{\mathrm{IF}}dt \tag{103.5} $$ よって、(103.1)に(103.5)、(103.3)、$\Pr\{\overline{\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}}\}=1-K_{\mathrm{IF,RF}}$(100.3)を用いた上で、故障率(66.6)及びPUA(59.8)を適用すれば、平均PUDは、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{SPF,IFU}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}(1-K_{\mathrm{IF,RF}})R_\mathrm{IF}(t)A_\mathrm{SM}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt\\ &=&\frac{1-K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\left[1-Q_\text{SM}(t)\right]f_{\mathrm{IF}}(t)dt\\ &=&\frac{1-K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}f_{\mathrm{IF}}(t)dt-\frac{1-K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\text{SM}(t)f_{\mathrm{IF}}(t)dt\\ &=&\frac{1-K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}F_\text{IF}(T_\text{lifetime})\\ & &-\frac{1-K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\left[(1-K_\text{SM,MPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}F_\text{SM}(u)\right]f_{\mathrm{IF}}(t)dt,\\ & &\text{ただし、}u:=t\bmod\tau \end{eqnarray} \tag{103.6} $$ よって、$1-e^{-\lambda_{\mathrm{IF}}t}\approx\lambda_{\mathrm{IF}}t$と近似するMaclaurin展開及び弊社積分公式により、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{SPF,IFU}}}&\approx&(1-K_{\mathrm{IF,RF}})\lambda_{\mathrm{IF}}-\frac{1-K_{\mathrm{IF,RF}}}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau]\\ &=&(1-K_{\mathrm{IF,RF}})\lambda_{\mathrm{IF}}-(1-K_{\mathrm{IF,RF}})\alpha\\ & &\text{ただし、} \alpha:=\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau] \end{eqnarray} \tag{103.7} $$

RAMS 2020においてPMHF式の論文発表が終了したため、本記事を開示します。

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前稿までの議論を踏まえ、ここからは$M_{\mathrm{PMHF}}$の計算を行います。

マルコフチェイン

図102.1にIF、SM1及び2nd SMから構成されるサブシステムの動作を表した連続時間マルコフ連鎖図(CTMC, Continuous-time Markov chains)を示します。IF、SM1のup又はdownの状態の組み合わせにより、下記の5通りの状態が存在し、その確率過程の組の遷移をマルコフ連鎖で表現します。前稿に示すように、遷移先状態確率は遷移元状態確率に微小遷移確率をかけたものを時間で積分することにより求める事ができます。以下、ステートを斜体で表します。

• IF:up, SM1:up --- OPR
• IF:down(VSG), SM1:up --- SPF
• IF:down(not VSG), SM1:up --- LAT1
• IF:up, SM1:down --- LAT2
• IF:down, SM1:down --- DPF 図102.1 対象となるCTMC

リペアラビリティ(修理可能性)

一般的なサブシステムではIF、SM1共リペアラブル(修理可能)と考えます。また、検出されたフォールトは全て修理(リペア)されるという仮定を置きます。もし修理率が存在するとしても、フォールト検出率に入れてしまえば、修理率は100%として良いためです。

IF及びSM1のレイテントフォールト検出は2nd SMにより、周期$\tau$で実行されます。レイテントフォールト検出率はIF、SM1についてそれぞれ$K_\text{IF,MPF}$及び$K_\text{SM,MPF}$ですが、アンリペアラブルとする場合はレイテントフォールト検出率をゼロとすれば良いわけです。従って、リペアラブルのほうが一般的なサブシステムを表します。ISO 26262の基本思想は、定数故障率(指数分布)、周期的フォールト検出が基礎となっています。

まず、IFがアンリペアラブル、SM1がリペアラブルの場合を考えます。これをIFUモデル(IFがUnrepairable)とします。

RAMS 2020においてPMHF式の論文発表が終了したため、本記事を開示します。

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