Article #60

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posted by sakurai on September 13, 2018

良く出てくる積分公式

ISO 26262のPMHFの導出の際に、微小確率の積分を実行する際に次の式が出てきますが、結果を導出しておきます。 $$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{SM}(t) f_{M}(t)dt\tag{60.1}$$及び$$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{SM}(u) f_{M}(t)dt, ただしu=t\bmod\tau_{SM}\tag{60.2}$$ まず、(60.1)式は、 $$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{SM}(t)f_{M}(t)dt=\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}\left[1-\exp(-\lambda_{SM}t)\right]\lambda_{M}\exp(-\lambda_{M}t)dt\\ =\frac{\lambda_{M}}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}\exp(-\lambda_{M}t)dt-\frac{\lambda_{M}}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}\exp\left[-(\lambda_{SM}+\lambda_M)t\right]dt\tag{60.3}$$

mathjaxが特定の数式でエラーが出て表現できないため、途中結果を省略し結果を示します。上式を積分するだけなので、手を動かして検証してみることをお勧めします。ここでは$\lambda t\ll 1$の条件で$\exp(-\lambda t)$のMaclaurin展開が $$\exp(-\lambda t)=1-\lambda t + \frac{1}{2}\lambda^2 t^2-O(t^3), O(t^3)\approx 0$$ となることを用います。

$$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{SM}(t) f_{M}(t)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_{M}\lambda_{SM}T_{lifetime}\tag{60.4}$$

結果の対称性から推測可能なように、以下の式も同じ値となります。 $$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{M}(t) f_{SM}(t)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_{M}\lambda_{SM}T_{lifetime}\tag{60.5}$$

次にやや複雑になりますが、第2式の場合、同様に計算を行うと、、(60.2)式が求められます。

$$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{SM}(u) f_{M}(t)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_{M}\lambda_{SM}\tau_{SM}\tag{60.6}$$

これも結果の対称性から推測可能なように、以下の式も同じ値となります。 $$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{M}(t) f_{SM}(u)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_{M}\lambda_{SM}\tau_{SM}\tag{60.7}$$


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