Article #66

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posted by sakurai on October 16, 2018 #66

ISO/TR 12489:2013(E)において、信頼性用語の定義がまとめてあるため、それを記載します。ただし、弊社の考えを交えており、そのまま引用しているわけではありません。以下に$X_\text{item}$をアイテム$item$の無故障運転継続時間(failure free operating time)とするとき、

信頼度(Reliability)

$$ R_\text{item}(t):=\Pr\lbrace\text{item not failed in }(0, t]\rbrace=\Pr\lbrace\mathrm{item\ up\ at\ }t\rbrace=\Pr\lbrace t\lt X_\text{item}\rbrace \tag{66.1} $$ 非修理系システムで、時刻$t$までに一度も故障していない確率。非修理系なので、一度でも故障すると故障しっぱなしになるため、一度も故障していない確率です。

不信頼度(Unreliability)

$$ F_\text{item}(t):=\Pr\lbrace\mathrm{item\ failed\ in\ }(0, t]\rbrace=\Pr\lbrace\mathrm{item\ down\ at\ }t\rbrace=\Pr\lbrace X_\text{item}\le t\rbrace \tag{66.2} $$ 非修理系システムで、時刻$t$までに故障する確率。非修理系なので、一度でも故障すると故障しっぱなしになるため、時刻が0からtまでに故障したことがある確率です。等号は有っても無くても値は変わりません。

故障密度(Probability Density, PDF)

$$ f_\text{item}(t):=\lim_{dt \to 0}\frac{\Pr\lbrace\mathrm{item\ failes\ in\ }(t, t+dt]\cap\mathrm{item\ up\ at\ } t\rbrace}{dt}=\frac{dF_\text{item}(t)}{dt} \tag{66.3} $$ 又は、微小故障確率形式として、 $$ f_\text{item}(t)dt=\Pr\{\mathrm{item\ failes\ in\ }(t, t+dt]\cap\mathrm{item\ up\ at\ } t\}\\ =\Pr\lbrace t\lt X_\text{item}\le t+dt\rbrace\\ =\Pr\{X_\text{item}\in dt\} \tag{66.4} $$ 非修理系システムで、時刻$t$で、単位時間あたりに故障する確率。正確には、時刻$t$から$t+dt$までに故障する微小確率を$dt$で割り、単位時間あたりに直したもの。PDF(Probability Density Function)。

【証明】 条件付き確率公式及び、確率の加法定理を用いて、 $$ f_\text{item}(t):=\lim_{dt \to 0}\frac{\Pr\lbrace t\lt X_\text{item}\le t+dt\rbrace}{dt} \\ =\lim_{dt \to 0}\frac{\Pr\lbrace t\le X_\text{item}\rbrace+\Pr\lbrace X_{item}\le t+dt\rbrace - \Pr\lbrace t\le X_\text{item} \cup X_\text{item}\le t+dt\rbrace}{dt} \\ =\lim_{dt \to 0}\frac{R(t)+F(t+dt)-1}{dt}=\lim_{dt \to 0}\frac{F(t+dt)-F(t)}{dt}=\frac{dF_\text{item}(t)}{dt} \tag{66.5} $$

(瞬間)故障率(Failure Rate)

$$ \lambda_\text{item}(t):=\lim_{dt \to 0}\frac{\Pr\lbrace\mathrm{item\ failes\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{item\ not\ failed\ at\ } t\rbrace}{dt}=\frac{f_\text{item}(t)}{R_\text{item}(t)} \tag{66.6} $$ 非修理系システムで、時刻$t$で稼働している条件において、単位時間あたりに故障する条件付き確率。正確には、時刻$t$から$t+dt$までに故障する条件付き確率を$dt$で割り、単位時間あたりとしたもの。ISO 26262の場合は、確率分布が指数分布のため、故障率は定数として扱います。

【証明】 条件付き確率の式及び、上記$f_\text{item}(t)$の式を用いて $$ \lambda_\text{item}(t):=\lim_{dt \to 0}\frac{\Pr\lbrace X_\text{item}\le t+dt \cap t \le X_\text{item}\rbrace}{dt}\frac{1}{\Pr\lbrace t \le X_\text{item}\rbrace}=\frac{f_\text{item}(t)}{R_\text{item}(t)} \tag{66.7} $$ 又は、微小故障条件付き確率形式として、 $$ \lambda_\text{item}(t)dt=\Pr\lbrace\mathrm{item\ failes\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{item\ not\ failed\ at\ } t\rbrace\\ =\Pr\{t\lt X_\text{item}\le t+dt\ |\ t\le X_\text{item}\}\\ =\Pr\{X_\text{item}\in dt\ |\ t\le X_\text{item}\} \tag{66.8} $$

稼働度(Availability)

$$ A_\text{item}(t):=\Pr\lbrace\mathrm{item\ up\ at\ }t\rbrace \tag{66.9} $$ 修理系システムで、時刻$t$で稼働している確率。Point Availablity。

不稼働度(Unavailability)

$$ Q_\text{item}(t):=\Pr\lbrace\mathrm{item\ down\ at\ }t\rbrace \tag{66.10} $$ 修理系システムで、時刻$t$で不稼働な確率。

不稼働密度(Unavailability Density, PUD)

$$ q_\text{item}(t):=\lim_{dt \to 0}\frac{\Pr\lbrace\mathrm{item\ down\ in\ }(t,t+dt]\cap\mathrm{item\ up\ at\ } t\rbrace}{dt} =\frac{dQ_\text{item}(t)}{dt} \tag{66.11} $$ 又は、微小不稼働確率形式として、 $$ q_\text{item}(t)dt=\Pr\lbrace\mathrm{item\ down\ in\ }(t,t+dt]\cap\mathrm{item\ up\ at\ } t\rbrace \tag{66.12} $$ 修理系システムで、時刻$t$で単位時間あたりに不稼働になる確率。正確には、時刻$t$から$t+dt$までに不稼働になる微小確率を$dt$で割り、単位時間あたりに直したもの。Point Unavailability Density (PUD)failure frequency (故障頻度), unconditional failure intensity (UFI; 無条件故障強度)。

平均不稼働密度(Average PUD)

PUDの車両寿命間$T_\text{lifetime}$の平均値を求めると、平均不稼働密度(Average PUD)は、積分の平均値の定理より、 $$ \overline{q_\text{item}}=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}q_\text{item}(t)dt=\frac{1}{T_\text{lifetime}}Q_\text{item}(T_\text{lifetime}) \tag{66.13} $$

PFH(Probability of Failure per Hour)

注意:Probablity of Failure per Hourは古い定義で現在はaverage failure frequency (平均故障頻度), average unconditional failure intensity (平均無条件故障強度)。 PMHFも同様の定義。average unavailability density (平均不稼働密度; Average PUD)も定義上等しい。
$$ PFH:=\overline{q_\text{item}}=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}q_\text{item}(t)dt=\frac{1}{T_\text{lifetime}}Q_\text{item}(T_\text{lifetime})\\ =\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\lbrace\mathrm{item\ down\ at\ }T_\text{lifetime}\rbrace, \text{ただし}T_\text{lifetimeは車両寿命} \tag{66.14} $$

(瞬間)ダウン率(Down Rate)

$$ \varphi_\text{item}(t):=\lim_{dt \to 0}\frac{\Pr\lbrace\mathrm{item\ down\ in\ }(t,t+dt]\ |\ \mathrm{item\ up\ at\ }t\rbrace}{dt}=\frac{q_\text{item}(t)}{A_\text{item}(t)} \tag{66.15} $$ 又は、微小ダウン確率形式として、 $$ \varphi_\text{item}(t)dt=\Pr\lbrace\mathrm{item\ down\ in\ }(t,t+dt]\ |\ \mathrm{item\ up\ at\ } t\rbrace \tag{66.16} $$ 修理系システムで、時刻$t$で稼働している条件において、単位時間あたりに不稼働になる条件付き確率。正確には、時刻$t$から$t+dt$までに不稼働になる条件付き確率を$dt$で割り単位時間あたりとしたもの。conditional failure intensity (条件付き故障強度), Vesely failure rate (Veselyの故障率)。

平均ダウン率(Average Down Rate, ADR)

$ADR:=\overline{\varphi_{item}}$の存在を仮定し、$\varphi_{item}(t)A_{item}(t)=q_{item}(t)$、すなわちPUDの両辺を$0$から$T$まで積分すれば、 $$ \int_0^T\overline{\varphi_{item}}A_{item}(t)dt=\int_0^T q_{item}(t)dt \tag{66.17} $$


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