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連続時間マルコフ連鎖とPMHF式の導出 改訂版 (2) |
VSG は到達後の復帰は規格上仮定しないので、それは吸収状態です。したがって VSG への到達は高々一度しか起きません。
VSG 到達時刻を $$ \tau:=\inf\{t\ge0:\eta_i\in\mathcal{P}\} $$ と定義します。
$N(T)$を区間 $[0,T]$におけるVSG 到達回数として、
$$ N(T):=\mathbf 1_{{\tau\le T}} \tag{1058.0} $$ と定義すれば、 $$ N(T)\in\{0, 1\} $$
前頁の式 (1057.7) より、微小時間区間におけるダウン確率は $$ \Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\} =h(t)\,dt+o(dt)\tag{1058.1} $$ で、ダウン回数を$dN(t)$と書けば、 $$ \begin{eqnarray} dN(t)= \begin{cases} 1 & (ダウンが起きるとき) \ 0 & (それ以外) \end{cases} \end{eqnarray} $$ であるので、期待ダウン回数は $$ E[dN(t)]=\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\} $$ これに(1058.1)を適用して両辺を積分すれば、 $$ E[N(t)]=\int_0^T h(t)dt\tag{1058.2} $$ となります。$N(T)\in\{0,1\}$であるので、 $$ E[N(T)]=\Pr\{N(T)=1\}=\Pr\{\tau\le T\}\tag{1058.2} $$
したがって $$ \mathrm{PoF}(T)=\Pr\{\tau\le T\}=\int_0^T h(t)\,dt\tag{1058.4} $$ であり、
$$ \mathrm{PMHF}=\frac{\mathrm{PoF}(T_\text{lifetime})}{T_\text{lifetime}}=\frac{1}{T_\text{lifetime}} \int_0^{T_\text{lifetime}}h(t)\,dt\tag{1058.5} $$
となります。
この記事の改訂版です。
