Posts Tagged with "PMHF derivation"

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posted by sakurai on March 5, 2021 #374

MPF detectedへの変更の再計算した結果を表を用いてまとめます。

表374.1 MPF detectedへ変更したIFRモデルのPMHF式
(a)SPF (b)SPF (c)DPF (d)DPF
LAT2分離 $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-(1-K_\text{IF,RF})\alpha$(369.6) $(1-K_\text{IF,RF})\alpha$
(370.5)
$\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}$(371.6) $\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}$
(372.5)
SPF/DPF統合 $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}$ $\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}$
規格式1$\dagger$ $\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}$
規格式3$\dagger$ $\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}$

$$ ただし、\begin{cases} \begin{eqnarray} 非冗長系の時は\color{red}{K_\text{IF,det}}&=&1\\ 冗長系の時は\color{red}{K_\text{IF,det}}&=&0, K_\text{IF,RF}=1\\ \end{eqnarray} \end{cases} $$

表374.1に対して、非冗長系、冗長系のKパラメータを上記に示すとおり代入した表を表374.2及び表374.3に示します。

表374.2 非冗長系のPMHF式
(a)SPF (b)SPF (c)DPF (d)DPF
LAT2分離 $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-(1-K_\text{IF,RF})\alpha$ $(1-K_\text{IF,RF})\alpha$ $K_{\text{IF,RF}}\alpha$ $0$
SPF/DPF統合 $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}$ $K_{\text{IF,RF}}\alpha$
規格式1$\dagger$ $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_{\text{IF,RF}}\alpha$
規格式3$\dagger$ $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_{\text{IF,RF}}\alpha$

表374.3 冗長系のPMHF式
(a)SPF (b)SPF (c)DPF (d)DPF
LAT2分離 $0$ $0$ $\beta$ $\beta$
SPF/DPF統合 $0$ $2\beta$
規格式1$\dagger$ $\beta$
規格式3$\dagger$ $2\beta$


$\dagger$規格式1: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第1式の条件。ブログの図367.1)において、IFが後にフォールトする場合=(a)SPF、(b)SPF及び(c)DPF。(d)DPFはSMが後にフォールトする場合なので対象外
$\dagger$規格式3: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第3式の条件。ブログの図367.1)において、IF, SMのフォールトの順を問わない場合=(a)SPF、(b)SPF、(c)DPF及び(d)DPF。

弊社では、MPF detectedの再考に基づくPMHF式に関する論文をRAMS 2022に投稿予定であることから、ブログの一部を非開示(セミナー内でのご紹介と表示)としました。RAMS 2022で論文が採択・発表された後(2022年2月頃)に公開予定です。


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posted by sakurai on March 4, 2021 #373

よって、MPF detectedを考慮した場合のPMHFは、それぞれの事象は排他であることから、(369.6)(370.5)(371.6)(372.5)で求められた平均PUDを全て加えることで求められ、 $$ \begin{eqnarray} \require{cancel} M_\text{PMHF}&=&\overline{q_\mathrm{SPF(a),IFU}}+\overline{q_\mathrm{SPF(b),IFR}}+\overline{q_\mathrm{DPF(c),IFR}}+\overline{q_\mathrm{DPF(d), IFR}}\\ &=&(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-\bcancel{(1-K_\text{IF,RF})\alpha}\qquad\qquad\qquad\img[-0.25em]{/images/left-arrow.png}(a)\\ & &+\bcancel{(1-K_\text{IF,RF})\alpha}\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\img[-0.25em]{/images/left-arrow.png}(b)\\ & &+K_{\text{IF,RF}}\color{red}{K_\text{IF,det}}\alpha+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta\quad\qquad\img[-0.25em]{/images/left-arrow.png}(c)\\ & &+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\img[-0.25em]{/images/left-arrow.png}(d)\\ &=&\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}\\ \end{eqnarray}\tag{373.1} $$

$$ ただし、\begin{cases} \begin{eqnarray} \alpha&:=&\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau],\\ \beta&:=&\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF}}\tau],\\ K_{\mathrm{MPF}}&:=&K_{\mathrm{IF,MPF}}+K_{\mathrm{SM,MPF}}-K_{\mathrm{IF,MPF}}K_{\mathrm{SM,MPF}} \end{eqnarray} \end{cases} $$ この一般式に対して場合分けを行って、

  1. 非冗長系においては抑止されるフォールトは全て検出可能なので、$K_\text{IF,det}=1$とすれば、 $$ M_\text{PMHF}=\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} \tag{373.2} $$

  2. 冗長系においては抑止されるフォールトは(1st SMでは)全て検出不可であり、一方全て抑止されるため、$K_\text{IF,det}=0, K_\text{IF,RF}=1$とすれば、 $$ M_\text{PMHF}=\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} \tag{373.3} $$

このように、非冗長系と冗長系に対するPMHF式が導出されます。

非冗長系1.の(373.2)は、DPF項は変更前の1/2になっています。これはIFのLFが無くなり、SMのLFのみになったためです。SMのLF量は変わらないため、1/2になります。

冗長系2.においてはそもそもMPF detectedが無いため、変更前と結果は変わりません。

弊社では、MPF detectedの再考に基づくPMHF式に関する論文をRAMS 2022に投稿予定であることから、ブログの一部を非開示(セミナー内でのご紹介と表示)としました。RAMS 2022で論文が採択・発表された後(2022年2月頃)に公開予定です。


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posted by sakurai on March 3, 2021 #372

LAT1DPFの平均PUDの計算

最後にLAT1からDPFへの平均PUDを計算します。

図%%.1
図372.1 LAT1DPFの遷移(d)

LAT1からDPFへの遷移(d)の平均PUDは、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{DPF(d),IFR}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{DPF\ via\ (d)\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT1\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt)\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT1\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT1\ at\ }t\} \end{eqnarray} \tag{372.1} $$ 同様に表368.1より、IF preventableのdown状態は(5)及び(7)であることから、 $$ \Pr\{\mathrm{IF^R_\text{prev}\ down\ at\ }t\}\\ =K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\left[(1-K_\text{IF,MPF})F_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}F_\text{IF}(u)\right]\tag{372.2} $$ となります。よって、 $$ \Pr\{\mathrm{LAT1\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF^R_{prev}\ down\ at\ }t\cap\text{SM up at }t\}\\ =K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\left[(1-K_\text{IF,MPF})F_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}F_\text{IF}(u)\right]A_{\mathrm{SM}}(t)\tag{372.3} $$ と書けます。

一方、 $$ \require{cancel} \Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT1\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{SM\ up\ at\ }t\cap\bcancel{\mathrm{IF^R_{prev}\ down\ at\ }t}\}\\ =\Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{SM\ up\ at\ }t\}=\lambda_{\mathrm{SM}}dt\tag{372.4} $$ であるから、(372.1)は、(106.4)を用いて、 $$ \begin{eqnarray} (372.1)&=&\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\left[(1-K_{\mathrm{IF,MPF}})F_{\mathrm{IF}}(t)+K_{\mathrm{IF,MPF}}F_{\mathrm{IF}}(u)\right]\\ & &\cdot\left[(1-K_\text{SM,MPF})f_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}f_\text{SM}(u)\right]dt\\ &\approx&\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}}{2}\lambda_{\mathrm{SM}}\lambda_{\mathrm{IF}}\left[(1-K_{\mathrm{MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF}}\tau\right]\\ &=&\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} \end{eqnarray}\tag{372.5} $$

$$ ただし、\begin{cases} \begin{eqnarray} u&:=&t\bmod\tau,\\ \beta&:=&\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF}}\tau],\\ K_{\mathrm{MPF}}&:=&K_{\mathrm{IF,MPF}}+K_{\mathrm{SM,MPF}}-K_{\mathrm{IF,MPF}}K_{\mathrm{SM,MPF}}\\ \end{eqnarray}\end{cases} $$

弊社では、MPF detectedの再考に基づくPMHF式に関する論文をRAMS 2022に投稿予定であることから、ブログの一部を非開示(セミナー内でのご紹介と表示)としました。RAMS 2022で論文が採択・発表された後(2022年2月頃)に公開予定です。


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posted by sakurai on March 2, 2021 #371

LAT2DPFの平均PUDの計算

LAT2DPFの遷移(c)の平均PUDを計算します。

図%%.1
図371.1 LAT2DPF1の遷移(c)

LAT2の状態のうち、(VSG of)IF preventable部分について考えます。 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_\mathrm{DPF(c),IFR}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{DPF\ via\ (c)\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT2_\text{prev}\ at\ }t\cap\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2_\text{prev}\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT2_\text{prev}\ at\ }t\} \end{eqnarray} \tag{371.1} $$ 同様に、表368.1よりIF preventableのup状態は従来 $\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}$ ことにより、 $$ \Pr\{\mathrm{IF^R_\text{prev}\ up\ at\ }t\}\\ =K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\left[(1-K_\text{IF,MPF})R_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}R_\text{IF}(u)\right]\tag{371.2} $$ となります。よって、 $$ \Pr\{\mathrm{LAT2_\text{prev}\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF^R_\text{prev}\ up\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\ =\left[K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\left[(1-K_\text{IF,MPF})R_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}R_\text{IF}(u)\right]\right]Q_\mathrm{SM}(t)\tag{371.3} $$ となります。

一方、(107.7)より、 $$ \require{cancel} \Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^R_\text{prev}\ up\ at\ }t\cap\bcancel{\text{SM down at }t}\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\}=\lambda_\mathrm{IF}dt\tag{371.4} $$ (371.3)、(371.4)を(371.1)に用いれば、 $$ \begin{eqnarray} (371.1)&=&\frac{K_\mathrm{IF,RF}\color{red}{K_\text{det}}\lambda_\text{IF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}[(1-K_\mathrm{SM,MPF})F_\mathrm{SM}(t)+K_\mathrm{SM,MPF}F_\mathrm{SM}(u)]dt,\\ & &+\frac{K_\mathrm{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}[(1-K_\mathrm{SM,MPF})F_\mathrm{SM}(t)+K_\mathrm{SM,MPF}F_\mathrm{SM}(u)]\\ & &\cdot\left[(1-K_\mathrm{IF,MPF})f_\mathrm{IF}(t)+K_\mathrm{IF,MPF}f_\mathrm{IF}(u)\right]dt\\ & &ただし、u:=t\bmod\tau\\ \end{eqnarray}\tag{371.5} $$ よって、積分公式(5)及び(107.8)より $$ \begin{eqnarray} (371.5)&\approx& \img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}\\ ただし、& &\alpha:=\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau],\\ & &\beta:=\frac{1}{2}\lambda_\mathrm{IF}\lambda_\mathrm{SM}[(1-K_\mathrm{MPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{MPF}\tau],\\ & &K_\mathrm{MPF}:=K_\mathrm{IF,MPF}+K_\mathrm{SM,MPF}-K_\mathrm{IF,MPF}K_\mathrm{SM,MPF} \end{eqnarray} \tag{371.6} $$

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posted by sakurai on March 1, 2021 #370

LAT2SPFの平均PUDの計算

次にLAT2からSPFの遷移(b)の平均PUDを計算します。この確率積分も、non preventable部分であるため、MPF detectedの変更の影響を受けません。

図%%.1
図370.1 LAT2SPFの遷移(b)

LAT2の状態のうち、(VSG of)IF non preventable部分について考えます。 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{SPF(b),IFR}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{SPF\ via\ (b)\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT2_\overline{prev}\ at\ }t\cap\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2_\overline{prev}\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT2_\overline{prev}\ at\ }t\} \end{eqnarray} \tag{370.1} $$ ここで、表368.1より、IFについてはIF non preventableのupは(2)であるため(369.2)を用い、SMのdownについては(9)+(11)は$Q_\text{SM}(t)$であることを用いれば、 $$ \Pr\{\mathrm{LAT2_\overline{prev}\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF^U_\overline{prev}\ up\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\ =(1-K_\text{IF,RF})R_{\mathrm{IF}}(t)Q_{\mathrm{SM}}(t)\tag{370.2} $$ 一方、(103.4)より、 $$ \require{cancel} \Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2_\overline{prev}\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U_\overline{prev}\ up\ at\ }t\cap\bcancel{\text{SM down at}t}\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\}\\ =\lambda_{\mathrm{IF}}dt\tag{370.3} $$ よって、(370.1)式は、 $$ \begin{eqnarray} (370.1)&=&\frac{1-K_{\text{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)R_{\mathrm{IF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt\\ &=&\frac{1-K_{\text{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\text{SM}(t)f_\mathrm{IF}(t)dt\\ \end{eqnarray} \tag{370.4} $$ これに(104.5)の結果を利用すれば、 $$ (370.4) \approx\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}\\ ただし、\alpha:=\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau]\tag{370.5} $$

弊社では、MPF detectedの再考に基づくPMHF式に関する論文をRAMS 2022に投稿予定であることから、ブログの一部を非開示(セミナー内でのご紹介と表示)としました。RAMS 2022で論文が採択・発表された後(2022年2月頃)に公開予定です。


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posted by sakurai on February 26, 2021 #369

OPRSPFの平均PUDの計算

従来はMPF detectedをMPF latent扱いにしていたものを、non faultyに変更しました。そもそもMPFの意味はVSG preventableなIFのフォールトであるため、SPFの計算に影響はありません。SPFは、IFのフォールトがnon preventable(VSG抑止不可)な場合に起きるためです。 従って、以下は前稿#103と同様です。

OPRからSPFへの平均PUD(66.13)を計算します。

図%%.1
図369.1 OPRSPFの遷移(a)

OPRからSPFへの平均PUDは、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{SPF(a),IFU}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{SPF\ via\ (a)\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{OPR_\overline{prev}\ at\ }t\cap\mathrm{IF\ down\ in\ }(t, t+dt]\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{OPR_\overline{prev}\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{OPR_\overline{prev}\ at\ }t\} \end{eqnarray} \tag{369.1} $$

ここで、表368.1より、IF non preventableのupは(2)であるため、 $$ \Pr\{\mathrm{IF^U_\overline{prev}\ up\ at\ }t\}=(1-K_\text{IF,RF})R_\mathrm{IF}(t)\tag{369.2} $$ よって、SMのupは(10)+(12)の場合であり、これは$A_\text{SM}(t)$であるため、 $$ \begin{eqnarray} \Pr\{\mathrm{OPR_\overline{prev}\ at\ }t\}&=&\Pr\{\mathrm{IF^U_\overline{prev}\ up\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ up\ at\ }t\}\\ &=&(1-K_\text{IF,RF})R_\mathrm{IF}(t)A_\mathrm{SM}(t)\end{eqnarray}\tag{369.3} $$ 一方、(369.1)の右辺積分中の条件付き確率式は、 $$ \require{cancel} \Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{OPR_\overline{prev}\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U_\overline{prev}\ up\ at\ }t\cap\bcancel{\text{SM up at }t}\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\}=\lambda_\mathrm{IF}dt \tag{369.4} $$ よって平均PUDは、 $$ \overline{q_{\mathrm{SPF(a),IFU}}}=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}(1-K_\mathrm{IF,RF})R_\mathrm{IF}(t)A_\mathrm{SM}(t)\lambda_\mathrm{IF}dt \tag{369.5} $$ (103.6)の結果を用いて、 $$ \begin{eqnarray} (369.5)&\approx&(1-K_\mathrm{IF,RF})\lambda_\mathrm{IF}-\frac{1-K_\mathrm{IF,RF}}{2}\lambda_\mathrm{IF}\lambda_\mathrm{SM}[(1-K_\mathrm{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{SM,MPF}\tau]\\ &=&\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}\\ & &\text{ただし、} \alpha:=\frac{1}{2}\lambda_\mathrm{IF}\lambda_\mathrm{SM}[(1-K_\mathrm{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{SM,MPF}\tau] \end{eqnarray} \tag{369.6} $$

弊社では、MPF detectedの再考に基づくPMHF式に関する論文をRAMS 2022に投稿予定であることから、ブログの一部を非開示(セミナー内でのご紹介と表示)としました。RAMS 2022で論文が採択・発表された後(2022年2月頃)に公開予定です。


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posted by sakurai on February 25, 2021 #368

新たに導入したKパラメータ$K_\text{det}$((355.1)式)により、一つめのIFのフォールトとそれによる状態の場合分けをし信頼度・不信頼度を求めたものを、表368.1に示します。

表368.1 一つめのIFのフォールトの場合分けした信頼度・不信頼度
Non preventable
$1-K_\text{IF,RF}$
Faulty
$(1-K_\text{IF,RF})F_\text{IF}(t)$
(1) IF down=RF
Faultless
$(1-K_\text{IF,RF})R_\text{IF}(t)$
(2) IF up
Preventable
$K_\text{IF,RF}$
SM1 detectable
$K_\text{IF,det}$
Faulty
$K_\text{IF,RF}K_\text{IF,det}F_\text{IF}(t)$
(3) IF $\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}$
Faultless
$K_\text{IF,RF}K_\text{IF,det}R_\text{IF}(t)$
(4) IF up
SM1 undetectable
$1-K_\text{IF,det}$
SM2 detectable
$K_\text{IF,MPF}$
Faulty
$\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}$
(5) IF down=LF
Faultless
$\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}$
(6) IF up
SM2 undetectable
$1-K_\text{IF,MPF}$
Faulty
$K_\text{IF,RF}(1-K_\text{IF,det})(1-K_\text{IF,MPF})F_\text{IF}(t)$
(7) IF down=LF
Faultless
$K_\text{IF,RF}(1-K_\text{IF,det})(1-K_\text{IF,MPF})R_\text{IF}(t)$
(8) IF up

規格ではKパラメータは$K_\text{RF}$及び$K_\text{MPF}$しかなく、SMによる検出は、1st SMも2nd SMも一緒くたになっていました。これだと冗長系を扱えないため、弊社は2017年に$K_\text{det}$を導入しました。弊社は一貫してKパラメータは確率的に決まる定数ではないことを主張してきました。VSG抑止、1st SMによる検出、2nd SMによる検出のいずれもアーキテクチャ的に割合がpredeterminedとなっていると考えます。

偶数番号は全てFaultlessであり、up状態です。奇数番号はFaulty、すなわちフォールト生起状態ですが、downとは限りません。(1)はRF(Residual Fault)、(3)は $\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}$ 、 (5)及び(7)はLF(Latent Fault)です。(5)及び(6)においてはSM2(2nd SM)によって検出されたフォールトは周期的に修理されるため、時刻tではなく$u(:=t \bmod \tau)$で表されます。(5)は修理されるLFなので露出時間は$\tau$ですが、(7)は修理されないLFなので露出時間は車両寿命です。

ついでに、以下は従来と変わりはありませんが、SMの信頼度・不信頼度の表です。$K_\text{SM,RF}, K_\text{SM,det}$が存在しないので、$K_\text{SM,MPF}$のみの場合分けとなります。

表368.2 一つめのSMのフォールトの場合分けした信頼度・不信頼度
SM2 detectable
$K_\text{SM,MPF}$
Faulty
$K_\text{SM,MPF}F_\text{SM}(u)$
(9) SM down=LF
Faultless
$K_\text{SM,MPF}R_\text{SM}(u)$
(10) SM up
SM2 undetectable
$1-K_\text{SM,MPF}$
Faulty
$(1-K_\text{SM,MPF})F_\text{SM}(t)$
(11) SM down=LF
Faultless
$(1-K_\text{SM,MPF})R_\text{SM}(t)$
(12) SM up

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posted by sakurai on February 24, 2021 #367

再検討にあたっては計算の容易さから、図222.1を参照して、$\mathrm{IF^R}$をpreventableとnon preventableに分解して考えます。具体的には、CTMC図367.1に示すようにLAT2からの分岐をSPF方向(b)とDPF方向(c)に分離します。ただし、分解してもしなくても統合した結果は同じです。

図%%.1
図367.1 LAT2からの分岐をSPF方向(b)とDPF方向(c)に分離

(367.1)に、新しい記号の定義を示します。 $$ \begin{eqnarray} \{\mathrm{IF^R_{prev}}\text{up at }t\}&:=&\{\mathrm{IF^R}\text{up at }t\ \cap\ \text{IF preventable}\}\\ \{\mathrm{IF^R_\overline{prev}}\text{up at }t\}&:=&\{\mathrm{IF^R}\text{up at }t\ \cap\ \overline{\text{IF preventable}}\}\tag{367.1} \end{eqnarray} $$ より、 $$ \{\mathrm{IF^R}\text{up at }t\}=\{\mathrm{IF^R_{prev}}\text{up at }t\}\cup\{\mathrm{IF^R_\overline{prev}}\text{up at }t\}\tag{367.2} $$ が成立します。

弊社では、MPF detectedの再考に基づくPMHF式に関する論文をRAMS 2022に投稿予定であることから、ブログの一部を非開示(セミナー内でのご紹介と表示)としました。RAMS 2022で論文が採択・発表された後(2022年2月頃)に公開予定です。


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PMHF導出法の変更

posted by sakurai on February 2, 2021 #355

動機

長い間MPF detectedの扱いに疑問が潜在していました。弊社では、MPF detectedは結局修理されないので、いつの日か2つ目のSMのフォールトによりDPFとなると考えます。するとMPF detectedは結局MPF latent (=LF)となるとした上でPMHF式を導出しています。しかしながら、この考え方には、次の2点の問題があります。

  • 規格のフォールト分類フローでは、MPF detectedとMPF latentが分離されているにも関わらず、弊社ではどちらもMPF latentと扱っているため、規格のフォールト分類と矛盾する。
  • 規格LFMの計算式にMPF detectedが入っていない。これは、規格はMPF detectedは安全側だと考えているためだと推測されるが、弊社では上記の理由から危険側としている。

そこで、これらを満足する方法を検討します。最初の論文で導入された、SM1による検出率を意味する次の条件付き確率$K_\text{det}$を、ここで再び使用します。 $$ K_\text{det}:=\Pr\{\text{Fault detected}\ |\ \text{Fault prevented}\}\tag{355.1} $$

これはFMCというよりも、アーキテクチャ的に次のように0または1の値をとります。

  • 検出系(非冗長系):1st SMはIFのフォールトを検出することによりVSG抑止を行う場合。この場合は検出するから抑止されるのであり、抑止される部分に対する検出される割合は100%です。すなわち$K_\text{det}=1$となります。
  • 冗長系:1st SMはIFの代替機能を持つことによりVSG抑止を行う場合。この場合はVSG抑止はしますが、1st SMは一切検出を行いません。従って、抑止される部分の検出される割合は0%です。すなわち$K_\text{det}=0$となります。また、両チャネルが同時にフォールトすることは無いため、VSG抑止率は100%、すなわち$K_\text{IF,RF}=1$となります。

さて、MPF detectedの考え方ですが、主機能のVSGが抑止されているので、運転はできないかもしれないものの、とりあえず安全状態は保たれます。従ってSPFもDPFも発生しません。しかるべき時間後に(レッカー車で)修理工場へ持っていき、修理が行われ、その後に運転が継続できると考えます。

主機能は動作しないので、通電はされず、運転時間は増大しません。従って、故障から修理までの時間は無視することができるので、1st SMにより検出された故障は瞬間的に修理された=故障が起きなかったのと等価です。

やや無理がある解釈の感がありますが、今回このように仮定してPMHF式の導出を進めることにします。 ブログ記事#361に続きます。

弊社では、MPF detectedの再考に基づくPMHF式に関する論文をRAMS 2022に投稿予定であることから、ブログの一部を非開示(セミナー内でのご紹介と表示)としました。RAMS 2022で論文が採択・発表された後(2022年2月頃)に公開予定です。


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$M_{\mathrm{PMHF}}$の計算(9)

posted by sakurai on March 16, 2020 #222

IFRモデル

全く同様な計算をIFRモデルでも行います。同様に(2)を(2a)と(2b)に分離します(図222.1の赤矢印)。

図%%.1
図222.1 LAT2からの分岐をSPF方向とDPF1方向に分離

まず(2a)のDPF1方向への確率積分は、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{DPF1,IFR}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{DPF1\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\cap\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\\ & &\cap\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}\Pr\{\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}\} \end{eqnarray} \tag{222.1} $$ ここで(107.2)(107.3)より、 $$ \Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\}\Pr\{\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\=A_{\mathrm{IF}}(t)Q_{\mathrm{SM}}(t)\tag{222.2} $$ 一方、(107.7)より、 $$ \Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\}=\lambda_{\mathrm{IF}}dt\tag{222.3} $$ (222.2)、(222.3)を(222.1)に用いれば、 $$ \overline{q_{\mathrm{DPF1,IFR}}}=\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)A_{\mathrm{IF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt \tag{222.4} $$ これに(107.8)の結果を利用すれば、 $$ (222.4)=K_{\text{IF,RF}}\beta\tag{222.5} $$

次に(2b)のSPF方向への確率積分は、IFUモデルと変わりません。SPFは、IFのフォールトがアンプリベンタブル(VSG抑止不可)な場合に起きるためです。 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{SPF(2b),IFR}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{SPF(2b)\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\cap\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\\ & &\cap\overline{\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}\Pr\{\overline{\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}}\} \end{eqnarray} \tag{222.6} $$ 同様に(221.2)(221.3)を用いれば、 $$ (222.6)=\frac{1-K_{\text{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)R_{\mathrm{IF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt \tag{222.7} $$ これに(104.5)の結果を利用すれば、 $$ (222.7)=(1-K_{\text{IF,RF}})\alpha\tag{222.8} $$ 以上より、IFRモデルの統合、分離方式を比較すると、表222.1のようになります。変化点を黄色で示しています。

表222.1 IFRモデルのPMHF式
(1)SPF (2)DPF1 (3)DPF2
LAT2統合 $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-(1-K_\text{IF,RF})\alpha$
(103.7)
$(1-K_\text{IF,RF})\alpha+K_\text{IF,RF}\beta$
(107.8)
$K_\text{IF,RF}\beta$
(106.4)
規格式1(1)+(2)$\dagger$ $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_\text{IF,RF}\beta$
規格式3(1)+(2)+(3)$\dagger$ $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+2K_\text{IF,RF}\beta$
(1)SPF (2b)SPF' (2a)DPF1 (3)DPF2
LAT2分離 $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-(1-K_\text{IF,RF})\alpha$ $(1-K_\text{IF,RF})\alpha$
(222.7)
$K_\text{IF,RF}\beta$
(222.5)
$K_\text{IF,RF}\beta$
(1)+(2b)SPF (2a)DPF1 (3)DPF2
SPF統合 $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}$ $K_\text{IF,RF}\beta$ $K_\text{IF,RF}\beta$
SPF/DPF統合 $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}$ $2K_\text{IF,RF}\beta$

$$ \text{ただし、} \begin{cases} \alpha:=\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau]\\ \beta:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{MPF}\tau\right]\\ K_\text{MPF}:=K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}-K_\text{IF,MPF}K_\text{SM,MPF} \end{cases} $$

前稿と同様、SPF統合のほうが単純な式となっています。LAT2統合において、SPFもDPF1も複雑な式でしたが、まとめ方を変えると単純な式となるため、この方が本質だと考えます。

また、$K_\text{IF,MPF}=0$のとき、すなわち、IFRモデルにおいて、IFの2nd SMが存在せずアンリペアラブルとなるときは$K_\text{MPF}=K_\text{SM,MPF}$となるため、$\beta=\alpha$となり、当然ですがIFRモデルはIFUモデルと同一の式となります。

IFRモデルはIFもSMもリペアラブルということは冗長構成により$K_\text{IF,RF}=1$となるため、それを適用したものを表222.2に示します。SPFが0となるため、LAT2統合でもSPF統合でも

  • $M_\text{PMHF,SPF}=0$
  • $M_\text{PMHF,DPF1}=\beta$

となり変わりません。

表222.2 冗長構成のIFRモデルのPMHF式$(K_\text{IF,RF}=1)$
(1)SPF (2)DPF1 (3)DPF2
LAT2統合 $0$ $\beta$ $\beta$
規格式1(1)+(2)$\dagger$ $\beta$
規格式3(1)+(2)+(3)$\dagger$ $2\beta$
(1)SPF (2b)SPF' (2a)DPF1 (3)DPF2
LAT2分離 $0$ $0$ $\beta$ $\beta$
(1)+(2b)SPF (2a)DPF1 (3)DPF2
SPF統合 $0$ $\beta$ $\beta$
SPF/DPF統合 $0$ $2\beta$


$\dagger$規格式1: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第1式(ブログの図104.2)の条件=IFが後にフォールトする場合。DPF2はSMが後にフォールトする場合なので対象外
$\dagger$規格式3: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第3式(ブログの図105.2)の条件=IF, SMのフォールトの順を問わない場合


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