積分公式に引き続き、次の(356.1)及び(356.2)について、あらかじめ結果を導出しておき、積分公式として使用します。 $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}R_\text{SM}(t)dt\tag{356.1} $$ 及び $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}R_\text{SM}(u)dt,\ \ s.t.\ \ u:=t\bmod\tau\tag{356.2} $$ まず、(356.1)式に、$R_\text{SM}(t)=e^{-\lambda_\text{SM}t}$を代入し、 $$ \require{cancel} \begin{eqnarray} (356.1)&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}e^{-\lambda_\text{SM}t}dt=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\left[-\frac{e^{-\lambda_\text{SM}t}}{\lambda_\text{SM}}\right]^{T_\text{lifetime}}_0\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}\lambda_\text{SM}}\left(1-e^{-\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}}\right)\\ \end{eqnarray}\tag{356.3} $$ ここで$\lambda t\ll 1$の条件で$e^{-\lambda t}$のMaclaurin展開は $$e^{-\lambda t}=1-\lambda t + \frac{1}{2}\lambda^2 t^2-O((\lambda t)^3)$$であるから、$O((\lambda t)^3)\approx 0$と近似し、これを(356.3)に代入すると(356.3)は、 $$ \begin{eqnarray} (356.3)&\approx&\frac{1}{\bcancel{T_\text{lifetime}\lambda_\text{SM}}}\left(\bcancel{\lambda_\text{SM}}\bcancel{T_\text{lifetime}}-\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}^\bcancel{2}T_\text{lifetime}^\bcancel{2}\right)\\ &=&1-\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime} \end{eqnarray}\tag{356.4} $$ 以上から次のように(356.1)の値が求められました。

$$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}R_\text{SM}(t)dt\approx1-\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}\tag{356.5} $$ 次に(356.2)は、 $$ \begin{eqnarray} (356.2)&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\sum_{i=0}^{n-1}\int_{i\tau}^{(i+1)\tau}e^{-\lambda_\text{SM}u}du =\frac{n}{T_\text{lifetime}}\int_0^\tau e^{-\lambda_\text{SM}u}du\\ &=&\frac{\bcancel{n}1}{\bcancel{T_\text{lifetime}}\tau}\left[\frac{e^{-\lambda_\text{SM}u}}{-\lambda_\text{SM}}\right]^{\tau}_0 =\frac{1}{\tau\lambda_\text{SM}}\left(1-e^{-\lambda_\text{SM}\tau}\right) \end{eqnarray}\tag{356.6} $$ ここで同様に、$$e^{-\lambda t}\approx1-\lambda t + \frac{1}{2}\lambda^2 t^2$$を用いて、 $$ \begin{eqnarray} (356.3)&\approx&\frac{1}{\bcancel{\tau\lambda_\text{SM}}}\left(\bcancel{\lambda_\text{SM}}\bcancel{\tau}-\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}^\bcancel{2}\tau^\bcancel{2}\right)\\ &=&1-\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\tau \end{eqnarray}\tag{356.7} $$ 以上から次のように(356.2)の値が求められました。 $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}R_\text{SM}(u)dt\approx1-\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\tau,\ \ s.t.\ \ u:=t\bmod\tau\tag{356.8} $$

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