確率分布関数の話をしましたが、公理的確率論では以下のように定義されます。

確率分布

前記事において事象族$\mathcal{F}$に対して写像である確率$P$を定義しました。また、前記事において確率変数$X$により、例えば根元事象$\img[-0.2em]{/images/d1s.png}$を1に写像することを説明しました。確率変数の定義を再度掲載すれば、

Borel加法族が$\mathbb{B}(\mathbb{R}^n)=\mathbb{B}^n$であり、$X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^n$のとき、 $$ \forall B\in\mathbb{B}^n\to X^{-1}(B)=\{\omega\in\Omega;X(\omega)\in B\}\in\mathcal{F} $$ となる写像$X$を$\mathcal{F}$可測写像、あるいは確率変数と呼ぶ。

$X$により事象族$\mathcal{F}$がBorel加法族$\mathbb{B}$に写像されます。すると、$P$と同様な確率測度$P_X$が定義でき、

確率変数$X$に対して $$ B\in\mathbb{B}^n\to P_X(B)=P(X^{-1}(B))=P(\{\omega\in\Omega;X(\omega)\in B\})=P(X\in B)\ $$ により定まる可測空間$(\mathbb{R}^n, \mathbb{B}^n)$上の確率測度$P_X$を、確率変数$X$の確率分布と呼ぶ。

確率分布関数

確率分布が集合関数であるのに対して、確率分布関数は点関数(普通の関数)です。確率分布関数は、確率変数が$x$以下である確率を意味します。

$$ F_X(x)=P_X(\{X\in\mathbb{R}^n;X_i<=x_i (i=1, 2, ...,n)\})=P(X\leq x) $$ を確率分布関数(Cumulative Distribution Function, CDF)と呼ぶ。

確率密度関数

確率分布関数$F_X(x)$が微分可能である場合、 $$ f_X(x)=\frac{\partial^n}{\partial x_1...\partial x_n}F_X(x) $$ を確率密度関数(Probability Density Function, PDF)と呼ぶ。

測度としては面積($\mathbb{R}^2$)、体積($\mathbb{R}^3$)のアナロジーで理解されるように、確率測度を$n$次元ユークリッド空間で考えていますが、故障確率を考える上では1次元で十分です。従って、CDF及びPDFはそれぞれ

$$ F_X(x)=P_X(\{X\in\mathbb{R};X<=x\})=P(X\leq x) $$ $$ f_X(x)=\frac{d}{dx}F_X(x) $$

となります。

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