MPF detectedへの変更の再計算した結果を表を用いてまとめます。

表374.1　MPF detectedへ変更したIFRモデルのPMHF式

	(a)SPF	(b)SPF	(c)DPF	(d)DPF
LAT2分離	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-(1-K_\text{IF,RF})\alpha$(369.6)	$(1-K_\text{IF,RF})\alpha$ (370.5)	$K_{\text{IF,RF}}\color{red}{K_\text{IF,det}}\alpha\\\ +K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta$(371.6)	$K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta$ (372.5)
SPF/DPF統合	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}$		$K_{\text{IF,RF}}\color{red}{K_\text{IF,det}}\alpha+2K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta$
規格式1$\dagger\text{SM1}⇒\text{IF}$	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_{\text{IF,RF}}\color{red}{K_\text{IF,det}}\alpha+K_{\mathrm{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta$
規格式3$\dagger$	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_{\text{IF,RF}}\color{red}{K_\text{IF,det}}\alpha+2K_{\mathrm{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta$

$$ ただし、\begin{cases} \begin{eqnarray} 非冗長系の時は\color{red}{K_\text{IF,det}}&=&1\\ 冗長系の時は\color{red}{K_\text{IF,det}}&=&0, K_\text{IF,RF}=1\\ \end{eqnarray} \end{cases} $$

表374.1に対して、非冗長系、冗長系のKパラメータを上記に示すとおり代入した表を表374.2及び表374.3に示します。

非冗長系

表374.2　非冗長系のPMHF式

	(a)SPF	(b)SPF	(c)DPF	(d)DPF
LAT2分離	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-(1-K_\text{IF,RF})\alpha$	$(1-K_\text{IF,RF})\alpha$	$K_{\text{IF,RF}}\alpha$	$0$
SPF/DPF統合	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}$		$K_{\text{IF,RF}}\alpha$
規格式1$\dagger\text{SM1}⇒\text{IF}$	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_{\text{IF,RF}}\alpha$
規格式3$\dagger$	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_{\text{IF,RF}}\alpha$

$$M_\text{PMHF,NRD}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_{\text{IF,RF}}\alpha\\ =(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_{\text{IF,RF}}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau]\tag{374.1}$$

冗長系

表374.3　冗長系のPMHF式

	(a)SPF	(b)SPF	(c)DPF	(d)DPF
LAT2分離	$0$	$0$	$\beta$	$\beta$
SPF/DPF統合	$0$		$2\beta$
規格式1$\dagger$	$\beta$
規格式3$\dagger$	$2\beta$

$$M_\text{PMHF,RD}=2\beta=\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{MPF}\tau\right]\tag{374.2}$$

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$\dagger$規格式1: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第1式の条件。ブログの図367.1)において、IFが後にフォールトする場合=(a)SPF、(b)SPF及び(c)DPF。(d)DPFはSMが後にフォールトする場合なので対象外
$\dagger$規格式3: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第3式の条件。ブログの図367.1)において、IF, SMのフォールトの順を問わない場合=(a)SPF、(b)SPF、(c)DPF及び(d)DPF。

RAMS 2022においてMPF detectedの再考に基づくPMHF式の論文発表が終了したため、秘匿部分を開示します。

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よって、MPF detectedを考慮した場合のPMHFは、それぞれの事象は排他であることから、(369.6)、(370.5)、(371.6)、(372.5)で求められた平均PUDを全て加えることで求められ、 $$ \begin{eqnarray} \require{cancel} M_\text{PMHF}&=&\overline{q_\mathrm{SPF(a),IFU}}+\overline{q_\mathrm{SPF(b),IFR}}+\overline{q_\mathrm{DPF(c),IFR}}+\overline{q_\mathrm{DPF(d), IFR}}\\ &=&(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-\bcancel{(1-K_\text{IF,RF})\alpha}\qquad\qquad\qquad\img[-0.25em]{/images/left-arrow.png}(a)\\ & &+\bcancel{(1-K_\text{IF,RF})\alpha}\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\img[-0.25em]{/images/left-arrow.png}(b)\\ & &+K_{\text{IF,RF}}\color{red}{K_\text{IF,det}}\alpha+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta\quad\qquad\img[-0.25em]{/images/left-arrow.png}(c)\\ & &+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\img[-0.25em]{/images/left-arrow.png}(d)\\ &=&(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_{\text{IF,RF}}\color{red}{K_\text{IF,det}}\alpha+2K_\mathrm{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta\\ &=&(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_{\text{IF,RF}}\color{red}{K_\text{IF,det}}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau]\\ & &+K_\mathrm{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF}}\tau],\\ \end{eqnarray}\tag{373.1} $$

$$ ただし、\begin{cases} \begin{eqnarray} \alpha&:=&\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau],\\ \beta&:=&\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF}}\tau],\\ K_{\mathrm{MPF}}&:=&K_{\mathrm{IF,MPF}}+K_{\mathrm{SM,MPF}}-K_{\mathrm{IF,MPF}}K_{\mathrm{SM,MPF}} \end{eqnarray} \end{cases} $$ この一般式に対して場合分けを行って、

1. 非冗長系においては抑止されるフォールトは全て検出可能なので、$K_\text{IF,det}=1$とすれば、 $$ M_\text{PMHF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_\text{IF,RF}\alpha\\ =(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_\mathrm{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{SM,MPF}\tau] \tag{373.2} $$

2. 冗長系においては抑止されるフォールトは(1st SMでは)全て検出不可であり、一方全て抑止されるため、$K_\text{IF,det}=0, K_\text{IF,RF}=1$とすれば、 $$ M_\text{PMHF}=2\beta=\lambda_\mathrm{IF}\lambda_\mathrm{SM}[(1-K_\mathrm{MPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{MPF}\tau] \tag{373.3} $$

このように、非冗長系と冗長系に対するPMHF式が導出されます。

上記場合分け1.の非冗長系の(373.2)は、DPF項は変更前の1/2になっています。これはIFのLFが無くなり、SMのLFのみになったためです。SMのLF量は変わらないため、1/2になります。

上記場合分け2.の冗長系においては、そもそもMPF detectedが無いため、変更前と結果は変わりません。

RAMS 2022においてMPF detectedの再考に基づくPMHF式の論文発表が終了したため、秘匿部分を開示します。

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LAT1⇒DPFの平均PUDの計算

最後にLAT1からDPFへの平均PUDを計算します。

図372.1 LAT1⇒DPFの遷移(d)

LAT1からDPFへの遷移(d)の平均PUDは、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{DPF(d),IFR}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{DPF\ via\ (d)\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT1\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt)\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT1\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT1\ at\ }t\} \end{eqnarray} \tag{372.1} $$ 同様に表368.1より、IF preventableのdown状態は(5)及び(7)であることから、 $$ \Pr\{\mathrm{IF^R_\text{prev}\ down\ at\ }t\}\\ =K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\left[(1-K_\text{IF,MPF})F_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}F_\text{IF}(u)\right]\\ =K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}Q_\text{IF}(t) \tag{372.2} $$ となります。よって、 $$ \Pr\{\mathrm{LAT1\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF^R_{prev}\ down\ at\ }t\cap\text{SM up at }t\}\\ =K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\left[(1-K_\text{IF,MPF})F_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}F_\text{IF}(u)\right]A_{\mathrm{SM}}(t)\\ =K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}Q_\text{IF}(t)A_{\mathrm{SM}}(t) \tag{372.3} $$ と書けます。

一方、 $$ \require{cancel} \Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT1\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{SM\ up\ at\ }t\cap\bcancel{\mathrm{IF^R_{prev}\ down\ at\ }t}\}\\ =\Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{SM\ up\ at\ }t\}=\lambda_{\mathrm{SM}}dt\tag{372.4} $$ であるから、(372.1)は、(106.4)を用いて、 $$ \begin{eqnarray} (372.1)&=&\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\left[(1-K_{\mathrm{IF,MPF}})F_{\mathrm{IF}}(t)+K_{\mathrm{IF,MPF}}F_{\mathrm{IF}}(u)\right]\\ & &\cdot\left[(1-K_\text{SM,MPF})f_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}f_\text{SM}(u)\right]dt\\ &\approx&\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}}{2}\lambda_{\mathrm{SM}}\lambda_{\mathrm{IF}}\left[(1-K_{\mathrm{MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF}}\tau\right]\\ &=&K_{\mathrm{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta, \end{eqnarray}\tag{372.5} $$

$$ ただし、\begin{cases} \begin{eqnarray} u&:=&t\bmod\tau,\\ \beta&:=&\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF}}\tau],\\ K_{\mathrm{MPF}}&:=&K_{\mathrm{IF,MPF}}+K_{\mathrm{SM,MPF}}-K_{\mathrm{IF,MPF}}K_{\mathrm{SM,MPF}}\\ \end{eqnarray}\end{cases} $$

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LAT2⇒DPFの平均PUDの計算

LAT2⇒DPFの遷移(c)の平均PUDを計算します。

図371.1 LAT2⇒DPF1の遷移(c)

LAT2の状態のうち、(VSG of)IF preventable部分について考えます。 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_\mathrm{DPF(c),IFR}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{DPF\ via\ (c)\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT2_\text{prev}\ at\ }t\cap\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2_\text{prev}\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT2_\text{prev}\ at\ }t\} \end{eqnarray} \tag{371.1} $$ 同様に、表368.1よりIF preventableのup状態は従来 (4),(6)及び(8)でしたが、新たに(3)がfaultlessとして加わる ことにより、 $$ \Pr\{\mathrm{IF^R_\text{prev}\ up\ at\ }t\}\\ =K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}\left[R_\text{IF}(t)+F_\text{IF}(t)\right]+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\left[(1-K_\text{IF,MPF})R_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}R_\text{IF}(u)\right]\\ =K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}A_\text{IF}(t) \tag{371.2} $$ となります。よって、 $$ \Pr\{\mathrm{LAT2_\text{prev}\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF^R_\text{prev}\ up\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\ =\left[K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}A_\text{IF}(t)\right]Q_\text{SM}(t)\tag{371.3} $$ となります。

一方、(107.7)より、 $$ \require{cancel} \Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^R_\text{prev}\ up\ at\ }t\cap\bcancel{\text{SM down at }t}\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\}=\lambda_\mathrm{IF}dt\tag{371.4} $$ (371.3)、(371.4)を(371.1)に用いれば、 $$ \begin{eqnarray} (371.1)&=&\frac{K_\mathrm{IF,RF}\color{red}{K_\text{det}}\lambda_\text{IF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}[(1-K_\mathrm{SM,MPF})F_\mathrm{SM}(t)+K_\mathrm{SM,MPF}F_\mathrm{SM}(u)]dt,\\ & &+\frac{K_\mathrm{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}[(1-K_\mathrm{SM,MPF})F_\mathrm{SM}(t)+K_\mathrm{SM,MPF}F_\mathrm{SM}(u)]\\ & &\cdot\left[(1-K_\mathrm{IF,MPF})f_\mathrm{IF}(t)+K_\mathrm{IF,MPF}f_\mathrm{IF}(u)\right]dt\\ & &ただし、u:=t\bmod\tau\\ \end{eqnarray}\tag{371.5} $$ よって、積分公式(5)及び(107.8)より $$ \begin{eqnarray} (371.5)&\approx& K_{\text{IF,RF}}\color{red}{K_\text{IF,det}}\alpha+K_{\text{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta,\\ ただし、& &\alpha:=\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau],\\ & &\beta:=\frac{1}{2}\lambda_\mathrm{IF}\lambda_\mathrm{SM}[(1-K_\mathrm{MPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{MPF}\tau],\\ & &K_\mathrm{MPF}:=K_\mathrm{IF,MPF}+K_\mathrm{SM,MPF}-K_\mathrm{IF,MPF}K_\mathrm{SM,MPF} \end{eqnarray} \tag{371.6} $$

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LAT2⇒SPFの平均PUDの計算

次にLAT2からSPFの遷移(b)の平均PUDを計算します。この確率積分も、non preventable部分であるため、MPF detectedの変更の影響を受けません。

図370.1 LAT2⇒SPFの遷移(b)

LAT2の状態のうち、(VSG of)IF non preventable部分について考えます。 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{SPF(b),IFR}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{SPF\ via\ (b)\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT2_\overline{prev}\ at\ }t\cap\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2_\overline{prev}\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT2_\overline{prev}\ at\ }t\} \end{eqnarray} \tag{370.1} $$ ここで、表368.1より、IFについてはIF non preventableのupは(2)であるため(369.2)を用い、SMのdownについては(9)+(11)は$Q_\text{SM}(t)$であることを用いれば、 $$ \Pr\{\mathrm{LAT2_\overline{prev}\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF^U_\overline{prev}\ up\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\ =(1-K_\text{IF,RF})R_{\mathrm{IF}}(t)Q_{\mathrm{SM}}(t)\tag{370.2} $$ 一方、(103.4)より、 $$ \require{cancel} \Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2_\overline{prev}\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U_\overline{prev}\ up\ at\ }t\cap\bcancel{\text{SM down at}t}\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\}\\ =\lambda_{\mathrm{IF}}dt\tag{370.3} $$ よって、(370.1)式は、 $$ \begin{eqnarray} (370.1)&=&\frac{1-K_{\text{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)R_{\mathrm{IF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt\\ &=&\frac{1-K_{\text{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\text{SM}(t)f_\mathrm{IF}(t)dt\\ \end{eqnarray} \tag{370.4} $$ これに(104.5)の結果を利用すれば、 $$ (370.4)\approx\frac{1-K_{\text{IF,RF}}}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}\left[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau\right]\\ \approx(1-K_{\text{IF,RF}})\alpha,\\ ただし、\alpha:=\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau]\tag{370.5} $$

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OPR⇒SPFの平均PUDの計算

従来はMPF detectedをMPF latent扱いにしていたものを、non faultyに変更しました。そもそもMPFの意味はVSG preventableなIFのフォールトであるため、SPFの計算に影響はありません。SPFは、IFのフォールトがnon preventable(VSG抑止不可)な場合に起きるためです。 従って、以下は前稿#103と同様です。

OPRからSPFへの平均PUD(66.13)を計算します。

図369.1 OPR⇒SPFの遷移(a)

OPRからSPFへの平均PUDは、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{SPF(a),IFU}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{SPF\ via\ (a)\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{OPR_\overline{prev}\ at\ }t\cap\mathrm{IF\ down\ in\ }(t, t+dt]\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{OPR_\overline{prev}\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{OPR_\overline{prev}\ at\ }t\} \end{eqnarray} \tag{369.1} $$

ここで、表368.1より、IF non preventableのupは(2)であるため、 $$ \Pr\{\mathrm{IF^U_\overline{prev}\ up\ at\ }t\}=(1-K_\text{IF,RF})R_\mathrm{IF}(t)\tag{369.2} $$ よって、SMのupは(10)+(12)の場合であり、これは$A_\text{SM}(t)$であるため、 $$ \begin{eqnarray} \Pr\{\mathrm{OPR_\overline{prev}\ at\ }t\}&=&\Pr\{\mathrm{IF^U_\overline{prev}\ up\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ up\ at\ }t\}\\ &=&(1-K_\text{IF,RF})R_\mathrm{IF}(t)A_\mathrm{SM}(t)\end{eqnarray}\tag{369.3} $$ 一方、(369.1)の右辺積分中の条件付き確率式は、 $$ \require{cancel} \Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{OPR_\overline{prev}\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U_\overline{prev}\ up\ at\ }t\cap\bcancel{\text{SM up at }t}\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\}=\lambda_\mathrm{IF}dt \tag{369.4} $$ よって平均PUDは、 $$ \overline{q_{\mathrm{SPF(a),IFU}}}=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}(1-K_\mathrm{IF,RF})R_\mathrm{IF}(t)A_\mathrm{SM}(t)\lambda_\mathrm{IF}dt \tag{369.5} $$ (103.6)の結果を用いて、 $$ \begin{eqnarray} (369.5)&\approx&(1-K_\mathrm{IF,RF})\lambda_\mathrm{IF}-\frac{1-K_\mathrm{IF,RF}}{2}\lambda_\mathrm{IF}\lambda_\mathrm{SM}[(1-K_\mathrm{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{SM,MPF}\tau]\\ &=&(1-K_\mathrm{IF,RF})\lambda_\mathrm{IF}-(1-K_\mathrm{IF,RF})\alpha,\\ & &\text{ただし、} \alpha:=\frac{1}{2}\lambda_\mathrm{IF}\lambda_\mathrm{SM}[(1-K_\mathrm{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{SM,MPF}\tau] \end{eqnarray} \tag{369.6} $$

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新たに導入したKパラメータ$K_\text{det}$((355.1)式)により、一つめのIFのフォールトとそれによる状態の場合分けをし信頼度・不信頼度を求めたものを、表368.1に示します。

表368.1　一つめのIFのフォールトの場合分けした信頼度・不信頼度

Non preventable $1-K_\text{IF,RF}$	Faulty $(1-K_\text{IF,RF})F_\text{IF}(t)$			(1) IF down=RF
	Faultless $(1-K_\text{IF,RF})R_\text{IF}(t)$			(2) IF up
Preventable $K_\text{IF,RF}$	SM1 detectable $K_\text{IF,det}$	Faulty $K_\text{IF,RF}K_\text{IF,det}F_\text{IF}(t)$		(3) IF down=LF⇒up
		Faultless $K_\text{IF,RF}K_\text{IF,det}R_\text{IF}(t)$		(4) IF up
	SM1 undetectable $1-K_\text{IF,det}$	SM2 detectable $K_\text{IF,MPF}$	Faulty $K_\text{IF,RF}(1-K_\text{IF,det})K_\text{IF,MPF}F_\text{IF}(u)$	(5) IF down=LF
			Faultless $K_\text{IF,RF}(1-K_\text{IF,det})K_\text{IF,MPF}R_\text{IF}(u)$	(6) IF up
		SM2 undetectable $1-K_\text{IF,MPF}$	Faulty $K_\text{IF,RF}(1-K_\text{IF,det})(1-K_\text{IF,MPF})F_\text{IF}(t)$	(7) IF down=LF
			Faultless $K_\text{IF,RF}(1-K_\text{IF,det})(1-K_\text{IF,MPF})R_\text{IF}(t)$	(8) IF up

規格ではKパラメータは$K_\text{RF}$及び$K_\text{MPF}$しかなく、SMによる検出は、1st SMも2nd SMも一緒くたになっていました。これだと冗長系を扱えないため、弊社は2017年に$K_\text{det}$を導入しました。弊社は一貫してKパラメータは確率的に決まる定数ではないことを主張してきました。VSG抑止、1st SMによる検出、2nd SMによる検出のいずれもアーキテクチャ的に割合がpredeterminedとなっていると考えます。

偶数番号は全てFaultlessであり、up状態です。奇数番号はFaulty、すなわちフォールト生起状態ですが、downとは限りません。(1)はRF(Residual Fault)、(3)は 従来はLF(Latent Fault)、今回は永久up状態、 (5)及び(7)はLF(Latent Fault)です。(5)及び(6)においてはSM2(2nd SM)によって検出されたフォールトは周期的に修理されるため、時刻tではなく$u(:=t \bmod \tau)$で表されます。(5)は修理されるLFなので露出時間は$\tau$ですが、(7)は修理されないLFなので露出時間は車両寿命です。

ついでに、以下は従来と変わりはありませんが、SMの信頼度・不信頼度の表です。$K_\text{SM,RF}, K_\text{SM,det}$が存在しないので、$K_\text{SM,MPF}$のみの場合分けとなります。

表368.2　一つめのSMのフォールトの場合分けした信頼度・不信頼度

SM2 detectable $K_\text{SM,MPF}$	Faulty $K_\text{SM,MPF}F_\text{SM}(u)$	(9) SM down=LF
	Faultless $K_\text{SM,MPF}R_\text{SM}(u)$	(10) SM up
SM2 undetectable $1-K_\text{SM,MPF}$	Faulty $(1-K_\text{SM,MPF})F_\text{SM}(t)$	(11) SM down=LF
	Faultless $(1-K_\text{SM,MPF})R_\text{SM}(t)$	(12) SM up

RAMS 2022においてMPF detectedの再考に基づくPMHF式の論文発表が終了したため、秘匿部分を開示します。

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再検討にあたっては計算の容易さから、図222.1を参照して、$\mathrm{IF^R}$をpreventableとnon preventableに分解して考えます。具体的には、CTMC図367.1に示すようにLAT2からの分岐をSPF方向(b)とDPF方向(c)に分離します。ただし、分解してもしなくても統合した結果は同じです。

図367.1 LAT2からの分岐をSPF方向(b)とDPF方向(c)に分離
(367.1)に、新しい記号の定義を示します。 $$ \begin{eqnarray} \{\mathrm{IF^R_{prev}}\text{up at }t\}&:=&\{\mathrm{IF^R}\text{up at }t\ \cap\ \text{IF preventable}\}\\ \{\mathrm{IF^R_\overline{prev}}\text{up at }t\}&:=&\{\mathrm{IF^R}\text{up at }t\ \cap\ \overline{\text{IF preventable}}\}\tag{367.1} \end{eqnarray} $$ より、 $$ \{\mathrm{IF^R}\text{up at }t\}=\{\mathrm{IF^R_{prev}}\text{up at }t\}\cup\{\mathrm{IF^R_\overline{prev}}\text{up at }t\}\tag{367.2} $$

が成立します。

RAMS 2022においてMPF detectedの再考に基づくPMHF式の論文発表が終了したため、秘匿部分を開示します。

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前稿#222と同様な表を用いて、MPF detectedへの変更をまとめます。

表365.1　MPF detectedへ変更したIFRモデルのPMHF式

	(1)SPF	(2)DPF1		(3)DPF2
LAT2統合	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-(1-K_\text{IF,RF})\alpha$ (361.5)	$(1-K_\mathrm{IF,RF}+K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}})\alpha\\+K_\mathrm{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta$(362.6)		$K_{\mathrm{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta$ (363.4)
規格式1$\dagger$	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}\alpha+K_{\mathrm{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta$ (364.1)
規格式3$\dagger$	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}\alpha +2K_{\mathrm{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta$
	(1)SPF	(2b)SPF'	(2a)DPF1	(3)DPF2
LAT2分離	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-(1-K_\text{IF,RF})\alpha$	$(1-K_\text{IF,RF})\alpha$	$K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}\alpha\\+K_{\mathrm{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta$	$K_{\mathrm{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta$
	(1)+(2b)SPF		(2a)DPF1	(3)DPF2
SPF統合	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}$		$K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}\alpha\\+K_{\mathrm{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta$	$K_{\mathrm{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta$
SPF/DPF統合	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}$		$K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}\alpha\\+2K_{\mathrm{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta$

$$ ただし、\begin{cases} \begin{eqnarray} 非冗長系の時は\color{red}{K_\text{IF,det}}&=&1\\ 冗長系の時は\color{red}{K_\text{IF,det}}&=&0, K_\text{IF,RF}=1\\ \end{eqnarray} \end{cases} $$

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$\dagger$規格式1: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第1式(ブログの図104.2)の条件＝IFが後にフォールトする場合=(1)SPF及び(2)DPF1。(3)DPF2はSMが後にフォールトする場合なので対象外
$\dagger$規格式3: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第3式(ブログの図105.2)の条件＝IF, SMのフォールトの順を問わない場合=(1)SPF及び(2)DPF1及び(3)DPF2

RAMS 2022においてMPF detectedの再考に基づくPMHF式の論文発表が終了したため、秘匿部分を開示します。

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よって、MPF detectedを考慮した場合のPMHFは、それぞれの事象は排他であることから、(361.5)、(362.6)、(363.4)で求められた平均PUDを全て加えることで求められ、 $$ \begin{eqnarray} \require{cancel} M_\text{PMHF}&=&\overline{q_\mathrm{SPF,IFU}}+\overline{q_\mathrm{DPF1,IFR}}+\overline{q_\mathrm{DPF2, IFR}}\\ &=&(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-\bcancel{(1-K_\text{IF,RF})\alpha}+\bcancel{(1-K_\text{IF,RF})\alpha}+K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}\alpha\\ & &+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta\\ &=&(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}\alpha+2K_\mathrm{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta\\ &=&(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_\mathrm{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{SM,MPF}\tau]\\ & &+K_\mathrm{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF}}\tau],\\ \end{eqnarray}\tag{364.1} $$

$$ ただし、\begin{cases} \begin{eqnarray} \alpha&:=&\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_\mathrm{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{SM,MPF}\tau]\\ \beta&:=&\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF}}\tau]\\ K_{\mathrm{MPF}}&:=&K_{\mathrm{IF,MPF}}+K_{\mathrm{SM,MPF}}-K_{\mathrm{IF,MPF}}K_{\mathrm{SM,MPF}} \end{eqnarray} \end{cases} $$ この一般式に対して場合分けを行って、

1. 非冗長系においては抑止されるフォールトは全て検出可能なので、$K_\text{IF,det}=1$とすれば、 $$ M_\text{PMHF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_\text{IF,RF}\alpha\\ =(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_\mathrm{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{SM,MPF}\tau] \tag{364.2} $$

2. 冗長系においては抑止されるフォールトは(1st SMでは)全て検出不可であり、一方全て抑止されるため、$K_\text{IF,det}=0, K_\text{IF,RF}=1$とすれば、 $$ M_\text{PMHF}=2\beta=\lambda_\mathrm{IF}\lambda_\mathrm{SM}[(1-K_\mathrm{MPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{MPF}\tau] \tag{364.3} $$ このように、非冗長系と冗長系に対するPMHF式が導出されます。

非冗長系1.の(364.2)は、規格第1版PMHF第1式と完全に一致しています。

図104.2 1st edition規格第1式(再掲)

その理由は、規格第1版の前提がIFUモデルだからであり、IFのレイテントフォールトが無い場合、つまりIFの検出されたフォールトは全て即時修理されるモデルだからです。従って、冗長系に適用できないのは当然であり、論文の必然性があったわけです。

RAMS 2022においてMPF detectedの再考に基づくPMHF式の論文発表が終了したため、秘匿部分を開示します。

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