Article #488

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確率コントリビューション(3)

posted by sakurai on June 23, 2022 #488

IFとSM1のユニオン

ここまでは1st editionと同様、IFUモデル、つまりSM1がリペアラブル、IFがアンリペアラブルでした。ここからは2nd editionに対応するべく、IFRモデル、つまりSM1もIFもリペアラブルで考えます。

ここで、IFとSM1のユニオンのIF$\cup$SMを考えます。2つのユニオンと見ると、1回のダウンでは不稼働にならず、2回ダウンして初めて不稼働となります。図488.1で考えるとLAT状態ではIFもSM1もリペアラブルですが、リペアされないうちに再度フォールトが起きるとDPFに移行します。従って、最初のIF$\cup$SMのフォールトはリペアラブル、2番目のIF$\cup$SMのフォールトはアンリペアラブルです。

図%%.1
図488.1 IFとSM1のユニオンのマルコフ連鎖

これにより、SM1とIFの両方がリペアラブルであっても、$e1$⇒IF$\cup$SM、$e2$⇒IF$\cup$SMと置き換えることによりIFUモデルのCTMCを用いることができます。※確率調整:ただし、最後のIFの次にIFのフォールトと、SMの次にSMのフォールトでDPFになる場合は除く必要があります。

ユニオンの第1確率コントリビューション

まずユニオンエレメントの故障率を計算します。ユニオンエレメントの故障率は、 $$ \lambda_\mathrm{IF\cup SM}=\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} \tag{488.1} $$ となります。証明は過去記事#484で記載しています。

次に、ユニオンに対する見逃し率は、IFに対する2nd SMとSMに対する2nd SMの両方が見逃す率であるため、過去記事#485で証明したとおり(488.3)は $$ \Pr\{\overline{\mathrm{(IF\cup SM)\ detected}}\}=(1-K_\text{IF,DPF})(1-K_\text{SM,DPF}) \tag{488.2} $$ となります。これよりユニオンに対する検出率$K_\text{DPF}$は、 $$ K_\text{DPF}:=\Pr\{\mathrm{(IF\cup SM)\ detected}\}\\= 1-(1-K_\text{IF,DPF})(1-K_\text{SM,DPF})=K_\text{IF,DPF}+K_\text{SM,DPF}-K_\text{IF,DPF}K_\text{SM,DPF}\tag{488.3} $$ となります。これらにより、第1確率コントリビューションは(488.5)において$e1$⇒$\text{IF}\cup\text{SM}$と置き換えた後(488.1)、(488.3)を用いて $$ \text{Pc}^\text{1R}\{\mathrm{(IF\cup SM)\ up/down}\}\\ =\lambda_\mathrm{(IF\cup SM)}\left[\Pr\{\overline{\mathrm{(IF\cup SM)\ detected}}\}T_\text{lifetime}+\Pr\{\mathrm{(IF\cup SM)\ detected}\}\tau\right]\\ =(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\left[(1-K_\mathrm{DPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{DPF}\tau\right] \tag{488.4} $$ となります。

ユニオンの第2確率コントリビューション

第2確率コントリビューションは(488.5)において$e2$⇒$\text{IF}\cup\text{SM}$と置き換えた後(488.1)を用いて、 $$ \require{cancel} \text{Pc}^\text{2U}\{\text{(IF}\cup\text{SM) down}\}=\Pr\{(\text{IF}\cup\text{SM})\text{ prevented}\}\lambda_{(\text{IF}\cup\text{SM})}T_\text{lifetime}\\ =K_{\text{(IF}\bcancel{\cup\text{SM)}}\text{,RF}} \lambda_{\text{(IF}\cup\text{SM)}} T_\text{lifetime}=K_\text{IF,RF}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})T_\text{lifetime} \tag{488.5} $$ SM1にはSPFもRFも無いことを用いています。

PMHF計算

以上から、(488.2)は(488.4)及び(488.5)の積を用いて、 $$ \begin{eqnarray} M_{\text{PMHF,DPF,IF}\cup\text{SM}} &=&\frac{1}{2T_\text{lifetime}}\text{Pc}^\text{1R}\{\text{(IF}\cup\text{SM) up/down}\} \cdot\text{Pc}^\text{2U}\{\text{(IF}\cup\text{SM) down}\}\\ &=&\frac{1}{2\bcancel{T_\text{lifetime}}}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})[(1-K_\mathrm{DPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{DPF}\tau]\\ & &\quad\cdot K_\text{IF,RF}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\bcancel{T_\text{lifetime}}\\ &=&\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} \tag{488.6} \end{eqnarray} $$ となりそうですが、上記※確率調整を考慮する必要があります。

なお、本稿はRAMS 2023に投稿中のため一部を秘匿していますが、論文公開後の2023年2月頃に開示予定です。


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