IFとSMのユニオンエレメント$\text{IF}\cup\text{SM}$を考えます。ユニオンエレメントの故障率は、(484.1)のようにそれぞれの故障率の和になります。 $$ \lambda_{\text{IF}\cup\text{SM}}= \lambda_{\text{IF}}+\lambda_{\text{SM}} \tag{484.1} $$ 以降では(484.1)を証明します。まず故障率の定義式から、 $$ \lambda_{\text{IF}\cup\text{SM}}=\Pr\{\text{(IF}\cup\text{SM) down in }(t, t+dt]\ |\ \text{(IF}\cup\text{SM) up at }t\} \tag{484.2} $$ となります。ここで、故障率とは「ユニオンエレメントが$t$の直前までupで次の瞬間の$dt$間にdownすること」なので、ユニオンをIFとSMに分解して考えれば、直前のup条件はIFとSMの$\cap$であり、次の瞬間のdown条件はIFとSMの$\cup$となります。

これを用いれば(484.2)は、 $$ (484.2)=\Pr\{\text{IF down in }(t, t+dt]\cup\text{SM down in }(t, t+dt]\ |\\ \text{IF up at }t\cap\text{SM up at }t\} \tag{484.3} $$ となります。ここで条件付き確率の公式 $$ \Pr\{\text{A}\ |\ \text{B}\}=\frac{\Pr\{\text{A}\cap\text{B}\}}{\Pr\{\text{B}\}} \tag{484.4} $$ を用いれば、

$$ (\text{A}\cap\text{B of }484.3)=\Pr\{(\text{IF down in }(t, t+dt]\cap\text{IF up at }t\cap\text{SM up at }t)\\ \cup(\text{SM down in }(t, t+dt]\cap\text{IF up at }t\cap\text{SM up at }t)\} \tag{484.5} $$

さらに、和積の公式 $$ \Pr\{\text{C}\cup\text{D}\}=\Pr\{\text{C}\}+\Pr\{\text{D}\}-\Pr\{\text{C}\cap\text{D}\}\\ \approx\Pr\{\text{C}\}+\Pr\{\text{D}\}\quad s.t.\quad\Pr\{\text{C}\cap\text{D}\}\approx 0 \tag{484.6} $$ を用いれば、IFとSMのフォールトは独立事象であることも用いて、

$$ (484.5)=\Pr\{\text{IF down in }(t, t+dt]\cap\text{IF up at }t\}\Pr\{\text{SM up at }t\}\\ +\Pr\{\text{SM down in }(t, t+dt]\cap\text{SM up at }t\}\Pr\{\text{IF up at }t\} \tag{484.7} $$

さらに、 $$ (\text{B of }484.3)=\Pr\{\text{IF up at }t\}\Pr\{\text{SM up at }t\} \tag{484.8} $$ であるから、

$$ \require{cancel} (484.3)=\frac{(484.7)}{(484.8)}=\frac{\Pr\{\text{IF down in }(t, t+dt]\cap\text{IF up at }t\}\bcancel{\Pr\{\text{SM up at }t\}}}{\Pr\{\text{IF up at }t\}\bcancel{\Pr\{\text{SM up at }t\}}}\\ +\frac{\Pr\{\text{SM down in }(t, t+dt]\cap\text{SM up at }t\}\bcancel{\Pr\{\text{IF up at }t\}}}{\Pr\{\text{SM up at }t\}\bcancel{\Pr\{\text{IF up at }t\}}}\\ =\Pr\{\text{IF down in }(t, t+dt]\ |\ \text{IF up at }t\}+\Pr\{\text{SM down in }(t, t+dt]\ |\ \text{SM up at }t\}\\ =\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM}\hspace{100pt}■ \tag{484.9} $$

なお、本稿はRAMS 2023に投稿中のため一部を秘匿していますが、論文公開後の2023年2月頃に開示予定です。RAMS 2023が終了したため、秘匿部分を開示します。

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