Posts Issued in December, 2019

確率論(17)

posted by sakurai on December 26, 2019 #194

根元事象$\img[-0.2em]{/images/up.png}, \img[-0.2em]{/images/dn.png}$が、例えば$N$個のコインの表裏のように、現れる確率が独立に決まっていれば、$\Omega=\{\omega_1, ..., \omega_{2^N}\}$のような標本空間の取り方も合理的ですが、$N$個の部品が故障する場合は、稼働度に応じて瞬間の不稼働確率が定まるので、いっそのこと標本空間を$\acute{\Omega}=\{e_0,...e_N\}$としても良いわけです。確率変数$X$を$X:\Omega \to\acute{\Omega}$とし、確率変数$\acute{X}$を$\acute{X}:\acute{\Omega}\to\mathbb{R}$とすれば、

$N=2$、$M=N+1=3$のとき、数字を$e$の添え字とすれば、

generate_sigma_algebra(FiniteSet(0,1,2), FiniteSet({0},{1},{2}))

{∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}

要素数=8

$N=3$、$M=N+1=4$のとき、数字を$e$の添え字とすれば、

generate_sigma_algebra(FiniteSet(0,1,2,3), FiniteSet({0},{1},{2},{3}))

{∅,{0},{1},{2},{3},{0,1},{0,2},{0,3},{1,2},{1,3},{2,3},{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3},{0,1,2,3}}

要素数=16

$N=4$、$M=N+1=5$のとき、数字を$e$の添え字とすれば、

generate_sigma_algebra(FiniteSet(0,1,2,3,4), FiniteSet({0},{1},{2},{3},{4}))

{∅,{0},{1},{2},{3},{4},{0,1},{0,2},{0,3},{0,4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{0,1,2},{0,1,3},{0,1,4},{0,2,3},{0,2,4},{0,3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{0,1,2,3},{0,1,2,4},{0,1,3,4},{0,2,3,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4}}

要素数=32

このように、確率空間を変えることにより、元々$N$個の部品の事象の数$2^N$に対する$\sigma$代数の要素数$2^{2^N}$に対して、事象の数$N+1$に対する$\sigma$代数の要素数$2^{N+1}$と激減させることができました。


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確率論(16)

posted by sakurai on December 24, 2019 #193

部分$\sigma$加法族の生成

また、Jupyter Notebookで生成された集合を見てみます。 まず、$N=2$のとき、根元事象を$\omega_i(i=1,...,4)$とすれば、確率変数$X$が故障数を表す場合の基本単位は、 $$\omega_1=\img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/up.png}, \omega_2=\img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/up.png}, \omega_3=\img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png}, \omega_4=\img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png}$$ のとき、 $$e_0=\omega_1, e_1=\{\omega_2, \omega_3\}, e_2=\omega_4$$ 対応する故障数は、 $$X(e_0)=0, X(e_1)=1, X(e_2)=2$$ であり、この基本単位から生成される$\sigma$加法族$\mathcal{F}$は、数値を$\omega$のインデックスとして、

generate_sigma_algebra(FiniteSet(1,2,3,4), FiniteSet({1},{2,3},{4}))

F={∅,{1},{4},{1,4},{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{1,2,3,4}}

len(generate_sigma_algebra(FiniteSet(1,2,3,4), FiniteSet({1},{2,3},{4})))

8

次に$N=3$のときは、根元事象を$\omega_i(i=1,...,8)$とすれば、確率変数$X$が故障数を表す場合の基本単位は、 $$\omega_1=\img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/up.png}, \omega_2=\img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/up.png}, \omega_3=\img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/up.png}, \omega_4=\img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png}, \omega_5=\img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/up.png}, \omega_6=\img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png}, \omega_7=\img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png}, \omega_8=\img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png} $$ のとき、 $$e_0=\omega_1, e_1=\{\omega_2, \omega_3, \omega_4\}, e_2=\{\omega_5, \omega_6, \omega_7\}, e_3=\omega_8$$ 対応する故障数は、 $$X(e_0)=0, X(e_1)=1, X(e_2)=2, X(e_3)=3$$ であり、この基本単位から生成される$\sigma$加法族は、数値を$\omega$のインデックスとして、

generate_sigma_algebra(FiniteSet(1,2,3,4,5,6,7,8), FiniteSet({1},{2,3,4},{5,6,7},{8}))

F={∅,{1},{8},{1,8},{2,3,4},{5,6,7},{1,2,3,4},{1,5,6,7},{2,3,4,8},{5,6,7,8},{1,2,3,4,8},{1,5,6,7,8},{2,3,4,5,6,7},{1,2,3,4,5,6,7},{2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,7,8}}

len(generate_sigma_algebra(FiniteSet(1,2,3,4,5,6,7,8), FiniteSet({1},{2,3,4},{5,6,7},{8})))

16

次に$N=4$のときは、根元事象を$\omega_i(i=1,...,16)$とすれば、確率変数$X$が故障数を表す場合の基本単位は、 $$\omega_1=\img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/up.png}, \omega_2=\img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/up.png}, \omega_3=\img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/up.png}, \omega_4=\img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/up.png}, \omega_5=\img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png}, \omega_6=\img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/up.png},\\ \omega_7=\img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/up.png}, \omega_8=\img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png}, \omega_9=\img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/up.png}, \omega_{10}=\img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png}, \omega_{11}=\img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png},\\ \omega_{12}=\img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/up.png}, \omega_{13}=\img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png}, \omega_{14}=\img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png}, \omega_{15}=\img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png}, \omega_{16}=\img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png}, $$ のとき、 $$e_0=\omega_1, e_1=\{\omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5\}, e_2=\{\omega_6, \omega_7, \omega_8, \omega_9, \omega_{10}, \omega_{11}\}, e_3=\{\omega_{12}, \omega_{13}, \omega_{14}, \omega_{15}\}, e_4=\omega_{16}$$ 対応する故障数は、 $$X(e_0)=0, X(e_1)=1, X(e_2)=2, X(e_3)=3, X(e_4)=4$$ であり、この基本単位から生成される$\sigma$加法族は、数値を$\omega$のインデックスとして、

generate_sigma_algebra(FiniteSet(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16), FiniteSet({1},{2,3,4,5},{6,7,8,9,10,11},{12,13,14,15},{16}))

F={∅,{1},{16},{1,16},{2,3,4,5},{12,13,14,15},{1,2,3,4,5},{1,12,13,14,15},{2,3,4,5,16},{12,13,14,15,16},{1,2,3,4,5,16},{1,12,13,14,15,16},{6,7,8,9,10,11},{1,6,7,8,9,10,11},{6,7,8,9,10,11,16},{1,6,7,8,9,10,11,16},{2,3,4,5,12,13,14,15},{1,2,3,4,5,12,13,14,15},{2,3,4,5,12,13,14,15,16},{1,2,3,4,5,12,13,14,15,16},{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11},{6,7,8,9,10,11,12,13,14,15},{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11},{1,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15},{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,16},{6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16},{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,16},{1,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16},{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15},{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15},{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16},{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}}

len(generate_sigma_algebra(FiniteSet(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16), FiniteSet({1},{2,3,4,5},{6,7,8,9,10,11},{12,13,14,15},{16})))

32

部品が$N$個ある場合の基本単位数は$N+1$となり、部分$\sigma$加法族の要素数は$2^{N+1}=2\cdot 2^N$となります。


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確率論(15)

posted by sakurai on December 20, 2019 #192

実例が無いとわかりにくいので、実例を見てみます。2個の部品があり、稼働状態を$\img[-0.2em]{/images/up.png}$、故障状態を$\img[-0.2em]{/images/dn.png}$で表すとき、見本空間を $$ \Omega=\{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4\}, s.t. \omega_1=\img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/up.png}, \omega_2=\img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/up.png}, \omega_3=\img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png}, \omega_4=\img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png} $$ とします。可測空間$(\Omega, \mathcal{F})$があり、$\mathcal{F}$を$\Omega$の全ての部分集合から成る集合族とすれば、$\sigma$加法族$\mathcal{F}$の元は$2^4=16$個あり、 $$ \mathcal{F}=\{\varnothing, \{\omega_1\}, \{\omega_2\}, \{\omega_3\}, \{\omega_4\}, \{\omega_1, \omega_2\}, \{\omega_1, \omega_3\}, \{\omega_1, \omega_4\}, \{\omega_2, \omega_3\}, \{\omega_2, \omega_4\}, \{\omega_3, \omega_4\}, \\ \{\omega_1, \omega_2, \omega_3\}, \{\omega_1, \omega_2, \omega_4\}, \{\omega_1, \omega_3, \omega_4\}, \{\omega_2, \omega_3, \omega_4\}, \Omega\} $$ となります。これは$\Omega$の根元事象ひとつ一つを見分けることに相当します。これをJupyter Notebookで確認すると、

generate_sigma_algebra(FiniteSet(1,2,3,4), FiniteSet({1},{2},{3},{4}))

{∅,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}}

であり、上記と一致することが判ります。

次に、事象の故障部品数を表す確率変数$X$を考えます。

このとき、 $$ X(\omega_1)=0, X(\omega_2)=X(\omega_3)=1, X(\omega_4)=2 $$ であり、$\sigma$加法族の基本単位は $$ X^{-1}(0)=\omega_1, X^{-1}(1)=\{\omega_2, \omega_3\}, X^{-1}(2)=\omega_4 $$ の3つとなります。

可測空間$(\Omega, \mathcal{G})$を考え、上記基本単位から生成される$\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$となる部分$\sigma$加法族$\mathcal{G}$は、 $$ \mathcal{G}=\{\varnothing, \{\omega_1\}, \{\omega_4\}, \{\omega_1, \omega_4\}, \{\omega_2, \omega_3\}, \{\omega_1, \omega_2, \omega_3\}, \{\omega_2, \omega_3, \omega_4\}, \Omega\} $$ となります。これをJupyter Notebookで確認すると、

generate_sigma_algebra(FiniteSet(1,2,3,4), FiniteSet({1},{2,3},{4}))

{∅,{1},{4},{1,4},{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{1,2,3,4}}

であり、上記と一致することが判ります。


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確率論(14)

posted by sakurai on December 13, 2019 #191

可積分

前記事のフィルトレーションの定義中に可積分が前提とされていましたが、定義されていなかったので定義しておきます。

$\forall t\in T$について$X_t$が$L^1$に属するとき、すなわち$E(\mid X_t\mid)\lt \infty\ \ (\forall t\in T)$のとき、$X$を可積分であるという。

マルコフ過程

確率過程$X$が生成するフィルトレーションを$\{\mathcal{F}^X_t\}$とするとき、任意のBorel集合$\mathcal{B}$に対して、 $$ P(X_u\in \mathcal{B}\mid\mathcal{F}^X_t\}=P(X_u\in\mathcal{B}\mid X_t)\ \ \ \ \ (u\gt t) $$ であるとき、$X$をマルコフ過程という。

式で明らかなように、システムがいかなる過程を通ってきたとしても、ある状態になるのは、現在の状態のみに依存し、過去の状態に依存しないことを意味します。この性質をマルコフ性と呼びます。


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確率論(13)

posted by sakurai on December 12, 2019 #190

マルチンゲール

マルチンゲールの定義です。

可積分な$\text{c}\grave{\text{a}}\text{dl}\grave{\text{a}}\text{g}$過程$M=\{M_t\mid t\in T\}$が$\{\mathcal{F}_t\}$に適合していて、ほとんど確実に $$ E(M_t\mid \mathcal{F}_s)=M_s\ \ \ \ (t\gt s) $$ が成り立つとき、$M$を$\{\mathcal{F}_t\}$に関するマルチンゲールという。

これで分かるように、マルチンゲールとなる確率過程に関しては、過去($s$)の事象を完全に記憶していても、未来の期待値は現在の期待値と同じであることを表しています。いわゆる公平な賭けを表す確率過程です。

上記確率過程$M$が $$ E(M_t\mid \mathcal{F}_s)\geq M_s\ \ \ \ (t\gt s) $$ が成り立つとき、$M$を$\{\mathcal{F}_t\}$に関する劣マルチンゲールという。 $$ E(M_t\mid \mathcal{F}_s)\leq M_s\ \ \ \ (t\gt s) $$ が成り立つとき、$M$を$\{\mathcal{F}_t\}$に関する優マルチンゲールという。

教科書にはランダムウォークの例が良く書かれていますが、増加、減少の確率が$\frac{1}{2}$であるときに限りマルチンゲールとなります。不信頼度は非減少関数なので、劣マルチンゲールです。


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確率論(12)

posted by sakurai on December 10, 2019 #189

確率変数の生成するフィルトレーション

時刻$t$までの確率過程$X$の挙動$\{X_s(\omega)\mid 0\leq s\leq t\}$を全て可測とする$\sigma$加法族を$\sigma(X_s\mid s\leq t)$と表し、これを右連続化したものを$\mathcal{F}^X_t$と表すとき、それらの集合$\{\mathcal{F}^X_t\}$を、確率過程$X=\{X_t\}$により生成されるフィルトレーションという。

ただし、$\mathcal{F}^X_t$が右連続($\text{c}\grave{\text{a}}\text{dl}\grave{\text{a}}\text{g}$)であるということは、任意の$t\in T$に対して、

左極限$\mathcal{F}^X_{t-}:=\lim_{s\uparrow t}\mathcal{F}^X_s$が存在し、かつ 右極限$\mathcal{F}^X_{t+}:=\lim_{s\downarrow t}\mathcal{F}^X_s$が存在しかつ$\mathcal{F}^X_t$に等しい

ことをいいます。

独立増分確率過程

確率過程$X_t$について、区間での増分が独立となる場合には、独立増分過程という

次の定理が成り立ちます。

独立増分過程$X_t$が可積分のとき、その平均が一定であれば、$\{\mathcal{F}^X_t\}$を$X_t$が生成するフィルトレーションとして、次式が成立する。 $$ E(X_t-X_s\mid \mathcal{F}^X_s)=0 (t\gt s) $$

$$ E(X_t-X_s\mid \mathcal{F}^X_s)=E(X_t-X_s)=E(X_t)-E(X_s)=0 $$ より、題意が成り立ちます。


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確率論(11)

posted by sakurai on December 9, 2019 #188

今までは、スタティックな確率事象を議論してきましたが、いよいよ時間によって変化する確率事象、つまり確率過程について説明していきます。

確率過程

確率空間$(\Omega, \mathcal{F}, P)$、可測空間$(\mathcal{S}, \Sigma)$、全順序集合$T$が与えられ、時刻$t\in T$で添え字付けられる状態空間$\mathcal{S}$に値をとる確率過程$X_t$とは、 $$ X:\Omega\times T\to\mathcal{S} $$ であり、全ての$t\in T$に対して$X_t$が$\Omega$上の確率変数となるものをいう。

確率過程は時間的に変化する確率変数であり、「すべての$t\in T$に対して」というのは$\omega\in\Omega$を固定するという意味です。これはサンプルパスと言われます。一方で$t$を固定すれば、ある時刻の確率変数$X(\omega)$が得られます。従って、確率過程とは確率変数の時間変化に他なりません。

ただし、上の定義内の直積$\times$は、以下のような定義です。

$$ \Omega\times T=\{(\omega, t)\mid \omega\in\Omega\land t\in T\} $$

すなわち、2つの集合からひとつずつ取り出してペアとした集合です。

フィルトレーション

可測空間$(\Omega, \mathcal{F})$において、$t\in T$をパラメータとする$\mathcal{F}$の部分$\sigma$加法族の族$\{\mathcal{F}_t\mid t\in T\}$が$0\leq s\leq t\Longrightarrow\mathcal{F}_s\subseteq\mathcal{F}_t$を満たすとき、増大情報系(フィルトレーション)という。

適合

フィルトレーション$\{\mathcal{F}_t\}$が与えられた確率空間$(\Omega, \mathcal{F}, P)$上の確率過程$\{X_t(\omega)\}$が任意の$t\in T$に対して$X_t$が$\mathcal{F}_t$可測になるとき、フィルトレーション$\{\mathcal{F}_t\}$に適合するという。

従って、$X_t$が$\{\mathcal{F}_t\}$に適合している場合は、ある時刻での$X_t$が時刻$t$までに観測しうる情報で表せることを意味しています。これを因果的(causal)といい、そのような空間をフィルター付き確率空間$(\Omega, \mathcal{F}, P, \{\mathcal{F}_t\})$と呼びます。


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確率論(10)

posted by sakurai on December 6, 2019 #187

基本単位についての定理です。

$X$を可測集合$(\Omega, \mathcal{F})$上の実確率変数、つまり$\mathcal{F}$可測写像とすると、これは$\mathcal{F}$の基本単位上で定数となる。

まず、確率変数$X$は前記事で定義したように、$\mathcal{F}$可測であることから逆像が$\mathcal{F}$の要素となります。これを表すために、定数を$x\in\mathcal{B}$とすれば、その逆像は$A=X^{-1}(\{x\})$と書け、$A\in\mathcal{F}$と表せます。$\mathcal{F}$の基本単位を$C$で表し、$C\cap A\neq\varnothing$となるようにとれば、$C$は基本単位であるため、$C\subset A=X^{-1}(\{x\})$。これをXにより写像すれば、$X(C)\subset X(A)=x$より、基本単位のXによる写像は定数となります。


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確率論(9)

posted by sakurai on December 3, 2019 #186

基本単位

  1. $\Omega$の部分集合の族$\mathcal{G}$が$\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$を満たし、かつ$\mathcal{G}$自身が$\sigma$加法族であるとき、$\mathcal{G}$を$\mathcal{F}$の部分$\sigma$加法族という。
  2. $\sigma$加法族$\mathcal{G}$の要素集合$A(\neq\varnothing)$で、$A$自身と$\varnothing$を除く全ての$A$の部分集合が$\mathcal{G}$に属さないとき、$A$を$\mathcal{G}$の基本単位という。

基本単位は情報の粗さを決定する最小単位です。例を挙げてみます。

標本集合 $$ \Omega=\{\img[-0.2em]{/images/d1s.png}, \img[-0.2em]{/images/d2s.png}, \img[-0.2em]{/images/d3s.png}, \img[-0.2em]{/images/d4s.png}, \img[-0.2em]{/images/d5s.png}, \img[-0.2em]{/images/d6s.png}\} $$ があり、どのような基本単位で事象を考えるかについて、例えば、$\sigma$加法族$\mathcal{F}$に関して、 $$ A_1=\{\img[-0.2em]{/images/d1s.png}\}, A_2=\{\img[-0.2em]{/images/d2s.png}\}, A_3=\{\img[-0.2em]{/images/d3s.png}\}, A_4=\{\img[-0.2em]{/images/d4s.png}\}, A_5=\{\img[-0.2em]{/images/d5s.png}\}, A_6=\{\img[-0.2em]{/images/d6s.png}\} $$ のような集合$A_i (i=1,...,6)$を考えると、これは上記の基本単位の定義を明らかに満たしています。 各事象集合$A_i$に属する集合は根元事象で、その部分集合から自分自身と$\varnothing$は無いため、$\mathcal{F}$に属さず、$A_i$は$\mathcal{F}$の基本単位となります。

次に、奇数の目の集合と偶数の目の集合を考えます。 $$ A_\text{odd}=\{\img[-0.2em]{/images/d1s.png}, \img[-0.2em]{/images/d3s.png}, \img[-0.2em]{/images/d5s.png}\}, A_\text{even}=\{\img[-0.2em]{/images/d2s.png}, \img[-0.2em]{/images/d4s.png}, \img[-0.2em]{/images/d6s.png}\}, \mathcal{G}=\{A_\text{odd}, A_\text{even}, \Omega, \varnothing\} $$ 自分自身と$\varnothing$を除く$A_\text{odd}$の部分集合は、 $$ \{\img[-0.2em]{/images/d1s.png}\}, \{\img[-0.2em]{/images/d3s.png}\}, \{\img[-0.2em]{/images/d5s.png}\}, \{\img[-0.2em]{/images/d1s.png}, \img[-0.2em]{/images/d3s.png}\}, \{\img[-0.2em]{/images/d1s.png}, \img[-0.2em]{/images/d5s.png}\}, \{\img[-0.2em]{/images/d3s.png}, \img[-0.2em]{/images/d5s.png}\} $$ となり、いずれも$\mathcal{G}$に属していません。$A_\text{even}$に関しても同様であり、$A_\text{odd}$、$A_\text{even}$とも、$\mathcal{G}$の基本単位となります。

この例は、確率微分方程式とその応用, 清兼泰明, 森北出版の例2.3.10に掲載されているものです。


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