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確率論 (12) |
確率変数の生成するフィルトレーション
時刻tまでの確率過程Xの挙動{Xs(ω)∣0≤s≤t}を全て可測とするσ加法族をσ(Xs∣s≤t)と表し、これを右連続化したものをFXtと表すとき、それらの集合{FXt}を、確率過程X={Xt}により生成されるフィルトレーションという。
ただし、FXtが右連続(cˊadlˊag)であるということは、任意のt∈Tに対して、
左極限FXt−:=lims↑tFXsが存在し、かつ 右極限FXt+:=lims↓tFXsが存在しかつFXtに等しい
ことをいいます。
独立増分確率過程
確率過程Xtについて、区間での増分が独立となる場合には、独立増分過程という
次の定理が成り立ちます。
独立増分過程Xtが可積分のとき、その平均が一定であれば、{FXt}をXtが生成するフィルトレーションとして、次式が成立する。 E(Xt−Xs∣FXs)=0(t>s)
E(Xt−Xs∣FXs)=E(Xt−Xs)=E(Xt)−E(Xs)=0 より、題意が成り立ちます。