根元事象$\img[-0.2em]{/images/up.png}, \img[-0.2em]{/images/dn.png}$が、例えば$N$個のコインの表裏のように、現れる確率が独立に決まっていれば、$\Omega=\{\omega_1, ..., \omega_{2^N}\}$のような標本空間の取り方も合理的ですが、$N$個の部品が故障する場合は、稼働度に応じて瞬間の不稼働確率が定まるので、いっそのこと標本空間を$\acute{\Omega}=\{e_0,...e_N\}$としても良いわけです。確率変数$X$を$X:\Omega \to\acute{\Omega}$とし、確率変数$\acute{X}$を$\acute{X}:\acute{\Omega}\to\mathbb{R}$とすれば、

$N=2$、$M=N+1=3$のとき、数字を$e$の添え字とすれば、

generate_sigma_algebra(FiniteSet(0,1,2), FiniteSet({0},{1},{2}))

{∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}

要素数=8

$N=3$、$M=N+1=4$のとき、数字を$e$の添え字とすれば、

generate_sigma_algebra(FiniteSet(0,1,2,3), FiniteSet({0},{1},{2},{3}))

{∅,{0},{1},{2},{3},{0,1},{0,2},{0,3},{1,2},{1,3},{2,3},{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3},{0,1,2,3}}

要素数=16

$N=4$、$M=N+1=5$のとき、数字を$e$の添え字とすれば、

generate_sigma_algebra(FiniteSet(0,1,2,3,4), FiniteSet({0},{1},{2},{3},{4}))

{∅,{0},{1},{2},{3},{4},{0,1},{0,2},{0,3},{0,4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{0,1,2},{0,1,3},{0,1,4},{0,2,3},{0,2,4},{0,3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{0,1,2,3},{0,1,2,4},{0,1,3,4},{0,2,3,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4}}

要素数=32

このように、確率空間を変えることにより、元々$N$個の部品の事象の数$2^N$に対する$\sigma$代数の要素数$2^{2^N}$に対して、事象の数$N+1$に対する$\sigma$代数の要素数$2^{N+1}$と激減させることができました。

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