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$M_\text{PMHF}$の計算 (10) |
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SMがフォールトしてLAT2のステートに来た時刻を$s$とすると、時刻$t$以前に来たことから$0\le s\le t$であり、SMとIFは故障事象自体は独立ですが、相手の故障事象により自分の状態確率が変化します。
この論点は、LAT2においてはSMがフォールトしているので、IFがアンリペアラブルである⇒LAT2に来た時間$s$により状態確率$\Pr\{\text{LAT2 at }t\}$が変化する⇒マルコフ性が崩れる、と新たに誤解したことによるものです。
正しくは、IFのリペアラビリティは1st SMであるSM(=LAT2でダウンしている)により決まりません。IFのリペアラビリティは2nd SMにのみ決定され、2nd SMは故障しないため、マルコフ性は崩れていません。従って本稿(#223)以降(~#228)の議論は全て取り消します。
正しい議論は以前のhttp://fs-micro.com/blogSummary.htmlの「PMHFの計算」～「PMHFの計算(8)」のとおりです。
従って、時刻$t$以前の時刻$s$の$0\le s\le t$におけるIFの平均稼働確率を求め、それを用いて状態確率を表し、さらに遷移確率をかけるという方法で解きます。
以前求めた、$M_\text{PMHF}$の計算(8)の式(222.2)は、
$$
\begin{eqnarray}
\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}&=&\Pr\{\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\
&=&\Pr\{\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\}\Pr\{\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\
&=&\color{red}{A_{\mathrm{IF}}(t)}Q_{\mathrm{SM}}(t)\tag{222.2再掲}
\end{eqnarray}
$$
でしたが、IFのAvailability$\Pr\{\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\}$は、OPRに居る時、すなわち時刻$s$以前にSMがupな状態では、IFはリペアラブル($=\mathrm{IF^\text{R}}$)であり、時刻$s$でSMにフォールトが起きてdownしLAT2に来た時からは、IFはアンリペアラブル($=\mathrm{IF^\text{U}}$)となります。よって、本来は
$$
\begin{eqnarray}
\Pr\{\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\}&=&\Pr\{\mathrm{IF^\text{R}\ up\ at\ }s\cap\mathrm{IF^\text{U}\ up\ in\ }(s, t]\}\\
&=&\Pr\{\mathrm{IF^\text{R}\ up\ at\ }s\}\Pr\{\mathrm{IF^\text{U}\ not\ failed\ in\ }(s, t]\}\\
&=&A_\text{IF}(s)R_\text{IF}(t-s)\tag{223.1}
\end{eqnarray}
$$
従って、(222.2)で右辺に$A_\text{IF}(t)$を使用したのは、LAT2におけるIFのAvailabilityの上限を求めたことになります。その理由は、大小関係は
$$
R(t)\le A(s)R(t-s)\le A(t)\quad\text{s.t. }0\le s\le t\tag{223.2}
$$
だからです。従って、IFのAvailabilityの下限を求めるには、右辺を$R_\text{IF}(t)$とおいて積分します。これは規格式と同じPMHF式を与えます。IFのAvailabilityの下限の積分はIFUモデルと同じになるため、(104.5)を参考にして、
$$
\overline{q_{\mathrm{DPF1,IFR}}}=\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)\color{red}{R_{\mathrm{IF}}(t)}\lambda_{\mathrm{IF}}dt
\approx K_\text{IF,RF}\alpha
\tag{223.3}
$$
SMのフォールトも同様であり、DPF2平均確率を求めれば、
$$
\overline{q_{\mathrm{DPF2,IFR}}}=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{IF}}(t)R_{\mathrm{SM}}(t)\lambda_{\mathrm{SM}}dt
\approx\beta
\tag{223.4}
$$
前稿と同様に$K_\text{IF,RF}=1$とします。表221.1及び222.1より、
| $0$ | $\gamma$ | $\gamma$ | ||
| $0$ | $\alpha$ | $\beta$ | ||
ただし、
$$
\gamma:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{MPF}\tau\right],\\
\text{s.t. }K_\text{MPF}:=1-(1-K_\text{IF,MPF})(1-K_\text{SM,MPF})=K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}-K_\text{IF,MPF}K_\text{SM,MPF}\tag{223.5}
$$
規格式(1/2のおかしな点を修正後)は$K_\text{IF,RF}=1$として、DPFのみを表示すれば、
$$
\begin{eqnarray}
修正版規格式&=&\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}(1-K_\text{SM,MPF})&\cdot&\lambda_\text{IF}T_\text{lifetime}\\
&+&\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}K_\text{SM,MPF}&\cdot&\lambda_\text{IF}\tau\\
&+&\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}(1-K_\text{IF,MPF})&\cdot&\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}\\
&+&\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}K_\text{IF,MPF}&\cdot&\lambda_\text{SM}\tau\\
\end{eqnarray}
=\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2})T_\text{lifetime}+\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2}\tau\right]=\alpha+\beta\tag{223.6}
$$
表(223.1)より(223.6)と(223.5)の2倍を比較するため、差を計算すれば、
$$
\begin{eqnarray}
&=&\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[\left(1-\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2}\right)T_\text{lifetime}+\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2}\tau\right]\\
& &-\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[\left(1-K_\text{MPF}\right)T_\text{lifetime}+K_\text{MPF}\tau\right]\\
&=&\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[\left(K_\text{MPF}-\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2}\right)T_\text{lifetime}-\left(K_\text{MPF}-\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2}\right)\tau\right]\\
&=&\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left(K_\text{MPF}-\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2}\right)(T_\text{lifetime}-\tau)\\
&=&\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left(\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2}-K_\text{IF,MPF}K_\text{SM,MPF}\right)(T_\text{lifetime}-\tau)\ge 0,\\
&\quad\quad&\text{s.t. }K_\text{IF,MPF}, K_\text{SM,MPF}\in[0, 1), T_\text{lifetime}\gg \tau\tag{223.7}
\end{eqnarray}
$$
よって、
$$2\gamma\le M_\text{PMHF}\le\alpha+\beta
\tag{223.8}$$
これより、規格式はPMHFの上限、論文式はPMHFの下限を表しています。
