LAT1⇒DPF2の平均PUDの計算

次にLAT1からDPF2の平均PUDを計算します。同様に、LAT1の状態確率が前稿#105と比べて変化します。具体的にはIFのVSG preventable部分の確率が下がります。

前稿#105の式(105.1)はそのままです。LAT1からDPF2への平均PUDは、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{DPF2,IFR}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{DPF2\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT1\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt)\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT1\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT1\ at\ }t\} \end{eqnarray} \tag{363.1} $$ LAT1の状態確率に対する条件を求めます。IFのフォールトのうちMPF detectedはlatentとならず、直ちに修理されるものとみなされるため、LAT1は

• IFの不稼働状態、かつ
• SM1によりVSGは抑止され、かつSM1により検出されず、かつ
• SM2により検出されず、かつ
• SM1の稼働状態

のようにこの条件が追加されます。これを確率式で書くと以下のように赤字の条件が加わります。さらに(355.1)を用いて書き換えると、 $$ \Pr\{\mathrm{LAT1\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF\ down\ at\ }t\cap\text{IF preventable}\\ \cap\color{red}{\text{IF not detected }}\cap\mathrm{SM\ up\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ at\ }t\}\Pr\{\text{IF preventable}\}\color{red}{\Pr\{\text{IF not detected}\}}\Pr\{\mathrm{SM\ up\ at\ }t\}\\ =K_{\mathrm{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}Q_{\mathrm{IF}}(t)A_{\mathrm{SM}}(t)\tag{363.2} $$ と書けます。

一方、 $$ \require{cancel} \Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT1\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\\ \mathrm{SM\ up\ at\ }t\cap\bcancel{\mathrm{IF^R\ down\ at\ }t}\cap\bcancel{\text{IF preventable}}\cap\bcancel{\color{red}{\text{IF not detected}}}\}\\ =\Pr\{\mathrm{SM\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{SM\ up\ at\ }t\}=\lambda_{\mathrm{SM}}dt\tag{363.3} $$ であるから、(363.1)は、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{DPF2, IFR}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}K_{\mathrm{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}Q_{\mathrm{IF}}(t)A_{\mathrm{SM}}(t)\lambda_{\mathrm{SM}}dt\\ &=&\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\left[(1-K_{\mathrm{IF,MPF}})F_{\mathrm{IF}}(t)+K_{\mathrm{IF,MPF}}F_{\mathrm{IF}}(u)\right]\\ & &\cdot\left[(1-K_\text{SM,MPF})f_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}f_\text{SM}(u)\right]dt\\ &\approx&\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}}{2}\lambda_{\mathrm{SM}}\lambda_{\mathrm{IF}}\left[(1-K_{\mathrm{MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF}}\tau\right]\\ &=&K_{\mathrm{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta, \end{eqnarray}\tag{363.4} $$

$$ ただし、\begin{cases} \begin{eqnarray} u&:=&t\bmod\tau\\ \beta&:=&\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF}}\tau]\\ K_{\mathrm{MPF}}&:=&K_{\mathrm{IF,MPF}}+K_{\mathrm{SM,MPF}}-K_{\mathrm{IF,MPF}}K_{\mathrm{SM,MPF}}\\ \end{eqnarray}\end{cases} $$

RAMS 2022においてMPF detectedの再考に基づくPMHF式の論文発表が終了したため、秘匿部分を開示します。

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LAT2⇒DPF1の平均PUDの計算

IFRモデルのLAT2からDPF1への平均PUDの計算を行いますが、MPF detectedの寄与分を改訂します。前稿#107での計算を基本として、MPF detectedが即修理となるため、IFのVSG preventable部分の稼働確率が上がります。従って、LAT2のIF preventable部分の稼働確率も同じだけ上がります。

前稿#107の式(107.1)はそのままです。LAT2からDPF1への平均PUDは、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{DPF1,IFR}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{DPF1\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\cap\ \mathrm{IF\ down\ in\ }(t, t+dt]\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ & &\cdot\Pr\{\mathrm{LAT2}\mathrm{\ at\ }t\} \end{eqnarray} \tag{362.1} $$ LAT2は、基本的にはIFの稼働状態でかつSM1の不稼働状態ですが、MPF detectedの定義である、

• IFの不稼働
• SM1による検出
• VSGとはならない

の3条件を満たす部分も稼働とみなすため、赤字の条件を追加します。さらに(355.1)を用いて書き換えると、 $$ \begin{eqnarray} \Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}&=&\Pr\{(\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\\ & &\color{red}{\cup\ (\mathrm{IF^R\ down\ at\ }t\ \cap\ \mathrm{IF^R\ detectable}\ \cap\ \mathrm{IF^R\ preventable})})\\ & &\cap\ \mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\ &=&(\Pr\{\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\}+\Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ at\ }t\}\\ & &\color{red}{\cdot\Pr\{\mathrm{IF^R detectable}\ |\ \mathrm{IF^R preventable}\}}\cdot\Pr\{\mathrm{IF^R preventable}\})\\ & &\cdot\Pr\{\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\ &=&\left[(1-K_{\text{IF,RF}})R_\text{IF}(t)+K_{\text{IF,RF}}A_\text{IF}(t)+\color{red}{K_\text{det}}K_\text{IF,RF}Q_\text{IF}(t)\right]Q_{\mathrm{SM}}(t) \end{eqnarray}\tag{362.2} $$ となります。この場合、$\Pr\{\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\}$は、$\text{IF preventable}$と$\overline{\text{IF preventable}}$のORであり、DPFの意味では前者のみなのですが、形式上SMがdownしている状態であるため、SPFもDPF扱いとなるので、両方の場合を含めています。ちなみに、 $$ \begin{eqnarray} \Pr\{\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\}&=&\Pr\{(\mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\ \cap\ \overline{\text{IF preventable}})\\ & &\cup\ (\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\ \cap\ \text{IF preventable})\}\\ &=&(1-K_{\text{IF,RF}})R_\text{IF}(t)+K_{\text{IF,RF}}A_\text{IF}(t) \end{eqnarray}\tag{362.3} $$ を(362.2)に用いています。

一方、(107.7)と同様に $$ \require{cancel} \Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\cap\ \bcancel{\mathrm{SM\ down\ at\ }t}\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\}=\lambda_{\mathrm{IF}}dt\tag{362.4} $$ となります。よって、LAT2からDPF1への平均PUDは、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{DPF1,IFR}}}&=&\frac{1-K_\mathrm{IF,RF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)R_{\mathrm{IF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt+\frac{K_\mathrm{IF,RF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)A_{\mathrm{IF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt\\ & &+\frac{\color{red}{K_\text{IF,det}}K_\mathrm{IF,RF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)(1-A_{\mathrm{IF}}(t))\lambda_{\mathrm{IF}dt}\\ &=&\frac{1-K_\mathrm{IF,RF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\mathrm{SM}(t)f_{\mathrm{IF}}(t)dt\\ & &+\frac{K_\mathrm{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\mathrm{SM}(t)q_\mathrm{IF}(t)dt\\ & &+\frac{\color{red}{K_\text{det}}K_\mathrm{IF,RF}\lambda_\mathrm{IF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)dt\\ &=&\frac{1-K_\mathrm{IF,RF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}[(1-K_\mathrm{SM,MPF})F_{\mathrm{SM}}(t)+K_\mathrm{SM,MPF}F_{\mathrm{SM}}(u)]f_{\mathrm{IF}}(t)dt\\ & &+\frac{K_\mathrm{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}[(1-K_\mathrm{SM,MPF})F_{\mathrm{SM}}(t)+K_\mathrm{SM,MPF}F_{\mathrm{SM}}(u)]\\ & &\cdot\left[(1-K_\mathrm{IF,MPF})f_{\mathrm{IF}}(t)+K_\mathrm{IF,MPF}f_{\mathrm{IF}}(u)\right]dt\\ & &+\frac{K_\mathrm{IF,RF}\color{red}{K_\text{det}}\lambda_\text{IF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}[(1-K_\mathrm{SM,MPF})F_{\mathrm{SM}}(t)+K_\mathrm{SM,MPF}F_{\mathrm{SM}}(u)]dt\\ \end{eqnarray}\tag{362.5} $$ これに(360.5)及び(360.8)を用いて、 $$ \begin{eqnarray} (362.5)&\approx&\frac{1-K_\mathrm{IF,RF}}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_\mathrm{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{SM,MPF}\tau]\\ & &+\frac{K_\mathrm{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1- K_\mathrm{MPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{MPF}\tau]\\ & &+\frac{K_\mathrm{IF,RF}\color{red}{K_\text{det}}}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}[(1-K_\mathrm{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{SM,MPF}\tau]\\ &=&(1-K_\mathrm{IF,RF}+K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{det}})\alpha+K_\mathrm{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta, \end{eqnarray}\tag{362.6} $$

$$ ただし、\begin{cases} \begin{eqnarray} u&:=&t\bmod\tau\\ \alpha&:=&\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_\mathrm{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{SM,MPF}\tau]\\ \beta&:=&\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_\mathrm{MPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{MPF}\tau]\\ K_\mathrm{MPF}&:=&K_\mathrm{IF,MPF}+K_\mathrm{SM,MPF}-K_\mathrm{IF,MPF}K_\mathrm{SM,MPF}\\ &=&1-(1-K_\mathrm{IF,MPF})(1-K_\mathrm{SM,MPF}) \end{eqnarray} \end{cases} $$

RAMS 2022においてMPF detectedの再考に基づくPMHF式の論文発表が終了したため、秘匿部分を開示します。

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前稿#355の続きです。変更方針はMPF latentに分類していたMPF detectedを即時修理とするものです。従って、MPF detectedは故障しないことと等価です。

OPR⇒SPFの平均PUDの計算

従来はMPF detectedをMPF latent扱いにしていたものを、MPF detectedに変更しました。MPFの意味はVSG preventableなIFのフォールトであるため、SPFの計算に影響はありません。従って、以下は前稿#103と同様です。

OPRステートからSPFステートへの平均PUD(66.13)を計算します。

OPRからSPFへの平均PUDは、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{SPF,IFU}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{SPF\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{OPR\ at\ }t\cap\mathrm{IF\ down\ in\ }(t, t+dt]\cap\overline{\mathrm{IF\ preventable}}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{OPR\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{OPR\ at\ }t\}\Pr\{\overline{\mathrm{IF\ preventable}}\} \end{eqnarray} \tag{361.1} $$ ここでOPRは、 $$ \begin{eqnarray} \Pr\{\mathrm{OPR\ at\ }t\}&=&\Pr\{\mathrm{IF\ up\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ up\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\}\Pr\{\mathrm{SM\ up\ at\ }t\}\\ &=&R_\mathrm{IF}(t)A_\mathrm{SM}(t)\end{eqnarray}\tag{361.2} $$

一方、(361.1)の右辺積分中の条件付き確率式は、 $$ \Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{OPR\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\cap\text{SM up at }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\}=\lambda_{\mathrm{IF}}dt \tag{361.3} $$ よって平均PUDは、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{SPF,IFU}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}(1-K_{\mathrm{IF,RF}})R_\mathrm{IF}(t)A_\mathrm{SM}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt\\ &=&\frac{1-K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\left[1-Q_\text{SM}(t)\right]f_{\mathrm{IF}}(t)dt\\ &=&\frac{1-K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}f_{\mathrm{IF}}(t)dt-\frac{1-K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\text{SM}(t)f_{\mathrm{IF}}(t)dt\\ &=&\frac{1-K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}F_\text{IF}(T_\text{lifetime})\\ & &-\frac{1-K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\left[(1-K_\text{SM,MPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}F_\text{SM}(u)\right]f_{\mathrm{IF}}(t)dt,\\ & &\text{ただし、}u:=t\bmod\tau \end{eqnarray} \tag{361.4} $$ よって、$F_\text{SM}(t)=1-e^{-\lambda_{\mathrm{SM}}t}\approx\lambda_{\mathrm{SM}}t$と近似し、 $$ \begin{eqnarray} (361.4)&\approx&(1-K_{\mathrm{IF,RF}})\lambda_{\mathrm{IF}}-\frac{1-K_{\mathrm{IF,RF}}}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau]\\ &=&(1-K_{\mathrm{IF,RF}})\lambda_{\mathrm{IF}}-(1-K_{\mathrm{IF,RF}})\alpha,\\ & &\text{ただし、} \alpha:=\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau] \end{eqnarray} \tag{361.5} $$

RAMS 2022においてMPF detectedの再考に基づくPMHF式の論文発表が終了したため、秘匿部分を開示します。

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引き続き、前稿の続きの計算をします。本稿では次の(360.1)及び(360.2)を求めます。 $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(t)dt\tag{360.1} $$ 及び $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(u)dt,\quad s.t.\ u:=t\bmod\tau\tag{360.2} $$ まず、(360.1)式に、$F_\text{SM}(t)=1-e^{-\lambda_\text{SM}t}$を代入し、 $$ \require{cancel} \begin{eqnarray} (360.1)&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}(1-e^{-\lambda_\text{SM}t})dt=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\left[t+\frac{e^{-\lambda_\text{SM}t}}{\lambda_\text{SM}}\right]^{T_\text{lifetime}}_0\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\left(T_\text{lifetime}-\bcancel{0}+\frac{1}{\lambda_\text{SM}}(e^{-\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}}-1)\right)\\ \end{eqnarray}\tag{360.3} $$ ここで$\lambda t\ll 1$の条件で$e^{-\lambda t}$のMaclaurin展開は $$e^{-\lambda t}=1-\lambda t + \frac{1}{2}\lambda^2 t^2-O((\lambda t)^3)$$であるから、$O((\lambda t)^3)\approx 0$と近似し、これを(360.3)に代入すると(360.3)は、 $$ \begin{eqnarray} (360.3)&\approx&\frac{1}{\bcancel{T_\text{lifetime}}}\left(\bcancel{T_\text{lifetime}}+\frac{1}{\bcancel{\lambda_\text{SM}}}(-\bcancel{\lambda_\text{SM}}\bcancel{T_\text{lifetime}}+\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}^\bcancel{2}T_\text{lifetime}^\bcancel{2})\right)\\ &=&\bcancel{1}-\bcancel{1}+\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}=\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime} \end{eqnarray}\tag{360.4} $$ 以上から次のように(360.1)の値が求められました。

$$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(t)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}\tag{360.5} $$ 次に(360.2)は、 $$ \begin{eqnarray} (360.2)&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\sum_{i=0}^{n-1}\int_{i\tau}^{(i+1)\tau}(1-e^{-\lambda_\text{SM}u})du =\frac{n}{T_\text{lifetime}}\int_0^\tau\left(1- e^{-\lambda_\text{SM}u}\right)du\\ &=&\frac{\bcancel{n}1}{\bcancel{T_\text{lifetime}}\tau}\left[u\bcancel{-}+\frac{e^{-\lambda_\text{SM}u}}{\bcancel{-}\lambda_\text{SM}}\right]^{\tau}_0 =\frac{1}{\tau}\left(\tau-\bcancel{0}+\frac{1}{\lambda_\text{SM}}\left(e^{-\lambda_\text{SM}\tau}-1\right)\right) \end{eqnarray}\tag{360.6} $$ ここで同様に、$$e^{-\lambda t}\approx1-\lambda t + \frac{1}{2}\lambda^2 t^2$$を用いて、 $$ \begin{eqnarray} (360.8)&=&\frac{1}{\bcancel{\tau}}\left(\bcancel{\tau}+\frac{1}{\bcancel{\lambda_\text{SM}}}\left(-\bcancel{\lambda_\text{SM}}\bcancel{\tau}+\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}^\bcancel{2}\tau^\bcancel{2}\right)\right) &=&\bcancel{1}-\bcancel{1}+\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\tau\\ &=&\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\tau \end{eqnarray}\tag{360.7} $$ 以上から次のように(360.2)の値が求められました。 $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(u)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\tau,\quad s.t.\ \ u:=t\bmod\tau\tag{360.8} $$

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引き続き、前稿の続きの計算をします。本稿では次の(358.1)及び(358.2)を求めます。 $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}R_\text{SM}(t)f_\text{IF}(\color{red}{u})dt,\ \ s.t.\ \ u:=t\bmod\tau\tag{358.1} $$

$$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}R_\text{SM}(\color{red}{u})f_\text{IF}(\color{red}{u})dt,\ \ s.t.\ \ u:=t\bmod\tau\tag{358.2} $$ (358.1)に$R_\text{SM}(i\tau+u)=e^{-\lambda_\text{SM}(i\tau+u)}$及び、$f_\text{IF}(u)=\lambda_\text{IF} e^{-\lambda_\text{IF}u}$を代入し、 $$ (358.1)=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\sum_{i=0}^{n-1} \int_{i\tau}^{(i+1)\tau}e^{-\lambda_\text{SM}(i\tau+u)}\lambda_\text{IF}e^{-\lambda_\text{IF}u}du\\ =\frac{\lambda_\text{IF}}{T_\text{lifetime}}\sum_{i=0}^{n-1}e^{-\lambda_\text{SM}i\tau}\int_0^{\tau}e^{-(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})u}du\tag{358.3} $$ ここで、$\sum_{i=0}^{n-1}e^{-\lambda_\text{SM}i\tau}$を計算すると、等比数列の和及びMaclaurin展開の1次近似より、 $$ \require{cancel} \sum_{i=0}^{n-1}e^{-\lambda_\text{SM}i\tau} =\frac{1-e^{-\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}}}{1-e^{-\lambda_\text{SM}\tau}} \approx\frac{\bcancel{\lambda_\text{SM}}T_\text{lifetime}}{\bcancel{\lambda_\text{SM}}\tau} =\frac{T_\text{lifetime}}{\tau}\tag{358.4} $$ これを用いて、 $$ (358.3)=\frac{\lambda_\text{IF}}{\bcancel{T_\text{lifetime}}}\frac{\bcancel{T_\text{lifetime}}}{\tau}\left[\frac{e^{-(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})u}}{-(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})}\right]^{\tau}_0 =\frac{\lambda_\text{IF}}{\tau(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})}\left(1-e^{-(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})\tau}\right)\tag{358.5} $$ 同様にMaclaurin展開の2次近似を用いると、 $$ e^{-\lambda t}\approx1-\lambda t + \frac{1}{2}\lambda^2 t^2 $$ より、 $$ (358.7)\approx\frac{\lambda_\text{IF}}{\bcancel{\tau(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF}})} \left(\bcancel{(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})\tau} -\frac{1}{2}(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})^\bcancel{2}\tau^\bcancel{2}\right)\\ =\lambda_\text{IF}\left(1-\frac{1}{2}(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})\tau\right) =\lambda_\text{IF}-\frac{\lambda_\text{IF}}{2}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\tau\tag{358.6} $$ 以上から次のように(358.1)の値が求められました。 $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}R_\text{SM}(t)f_\text{IF}(u)dt\approx\lambda_\text{IF}\left(1-\frac{1}{2}(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})\tau\right),\ \ s.t.\ \ u:=t\bmod\tau\tag{358.7} $$

次に(358.2)は同様に、$R_\text{SM}(i\tau+u)=e^{-\lambda_\text{SM}(i\tau+u)}$及び、$f_\text{IF}(i\tau+u)=\lambda_\text{IF} e^{-\lambda_\text{IF}i\tau+u}$を代入し、 $$ (358.1)=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\sum_{i=0}^{n-1} \int_{i\tau}^{(i+1)\tau}e^{-\lambda_\text{SM}(i\tau+u)}\lambda_\text{IF}e^{-\lambda_\text{IF}(i\tau+u)}du\\ =\frac{\lambda_\text{IF}}{T_\text{lifetime}}\sum_{i=0}^{n-1}e^{-(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})i\tau}\int_0^{\tau}e^{-(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})u}du\tag{358.8} $$ ここで、$\sum_{i=0}^{n-1}e^{-(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})i\tau}$を計算すると、等比数列の和及びMaclaurin展開の1次近似より、 $$ \require{cancel} \sum_{i=0}^{n-1}e^{-(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})i\tau} =\frac{1-e^{-(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})T_\text{lifetime}}}{1-e^{-(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})\tau}} \approx\frac{\bcancel{(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})}T_\text{lifetime}}{\bcancel{(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})}\tau} =\frac{T_\text{lifetime}}{\tau}\tag{358.9} $$ これを用いて、 $$ (358.8)=\frac{\lambda_\text{IF}}{\bcancel{T_\text{lifetime}}}\frac{\bcancel{T_\text{lifetime}}}{\tau}\left[\frac{e^{-(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})u}}{-(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})}\right]^{\tau}_0 =\frac{\lambda_\text{IF}}{\tau(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})}\left(1-e^{-(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})\tau}\right)\tag{358.10} $$ 同様にMaclaurin展開の2次近似を用いると、 $$ e^{-\lambda t}\approx1-\lambda t + \frac{1}{2}\lambda^2 t^2 $$ より、 $$ (358.7)\approx\frac{\lambda_\text{IF}}{\bcancel{\tau(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF}})} \left(\bcancel{(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})\tau} -\frac{1}{2}(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})^\bcancel{2}\tau^\bcancel{2}\right)\\ =\lambda_\text{IF}\left(1-\frac{1}{2}(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})\tau\right) =\lambda_\text{IF}-\frac{\lambda_\text{IF}}{2}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\tau\tag{358.11} $$ 以上から次のように(358.2)の値が求められました。 $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}R_\text{SM}(u)f_\text{IF}(u)dt\approx\lambda_\text{IF}\left(1-\frac{1}{2}(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})\tau\right),\ \ s.t.\ \ u:=t\bmod\tau\tag{358.12} $$

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引き続き、前稿の発展形の積分公式を載せておきます。本稿では次の(357.1)及び(357.2)を求めます。 $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}R_\text{SM}(t)f_\text{IF}(t)dt\tag{357.1} $$

$$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}R_\text{SM}(\color{red}{u})f_\text{IF}(t)dt,\ \ s.t.\ \ u:=t\bmod\tau\tag{357.2} $$ まず、(357.1)式に、$R_\text{SM}(t)=e^{-\lambda_\text{SM}t}$及び、$f_\text{IF}(t)=\lambda_\text{IF} e^{-\lambda_\text{IF} t}$を代入し、 $$ (357.1)=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}e^{-\lambda_\text{SM}t}\lambda_\text{IF}e^{-\lambda_\text{IF}t}dt=\frac{\lambda_\text{IF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}e^{-(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})t}dt\\ =\frac{\lambda_\text{IF}}{T_\text{lifetime}}\left[\frac{e^{-(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})t}}{-(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})}\right]^{T_\text{lifetime}}_0 =\frac{\lambda_\text{IF}}{T_\text{lifetime}(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})}\left(1-e^{-(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})T_\text{lifetime}}\right)\tag{357.3} $$ ここで$\lambda t\ll 1$の条件で$e^{-\lambda t}$のMaclaurin展開は $$ e^{-\lambda t}=1-\lambda t + \frac{1}{2}\lambda^2 t^2-O((\lambda t)^3) $$ となるため、$O((\lambda t)^3)\approx 0$と近似し、これを(357.3)に代入すると、 $$ \require{cancel} (357.3)\approx\frac{\lambda_\text{IF}}{\bcancel{T_\text{lifetime}}\bcancel{(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})}} \left(\bcancel{(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})}\bcancel{T_\text{lifetime}} -\frac{1}{2}(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})^\bcancel{2}{T_\text{lifetime}}^\bcancel{2}\right)\\ =\lambda_\text{IF}\left(1-\frac{1}{2}(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})T_\text{lifetime}\right) =\lambda_\text{IF}-\frac{\lambda_\text{IF}}{2}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})T_\text{lifetime}\tag{357.4} $$ 以上から次のように(357.1)の値が求められました。 $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}R_\text{SM}(t)f_\text{IF}(t)dt\approx\lambda_\text{IF}\left(1-\frac{1}{2}(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})T_\text{lifetime}\right)\tag{357.5} $$

次に(357.2)式はやや複雑になりますが、基本的には同様な計算を行います。まず、$u:=t\bmod\tau$であることから、$t=i\tau+u, i=0, 1, 2, ..., n-1, T_\text{lifetime}=n\tau$とおき、$t$を$i$と$u$で表します。従って(357.2)に$R_\text{SM}(u)=e^{-\lambda_\text{SM}u}$及び、$f_\text{IF}(i\tau+u)=\lambda_\text{IF} e^{-\lambda_\text{IF}(i\tau+u)}$を代入し、 $$ (357.2)=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\sum_{i=0}^{n-1} \int_{i\tau}^{(i+1)\tau}e^{-\lambda_\text{SM}u}\lambda_\text{IF}e^{-\lambda_\text{IF}(i\tau+u)}du\\ =\frac{\lambda_\text{IF}}{T_\text{lifetime}}\sum_{i=0}^{n-1}e^{-\lambda_\text{IF}i\tau}\int_0^{\tau}e^{-(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})u}du\tag{357.6} $$ ここで、$\sum_{i=0}^{n-1}e^{-\lambda_\text{IF}i\tau}$を計算すると、等比数列の和及びMaclaurin展開の1次近似より、 $$ \sum_{i=0}^{n-1}e^{-\lambda_\text{IF}i\tau} =\frac{1-e^{-\lambda_\text{IF}T_\text{lifetime}}}{1-e^{-\lambda_\text{IF}\tau}} \approx\frac{\bcancel{\lambda_\text{IF}}T_\text{lifetime}}{\bcancel{\lambda_\text{IF}}\tau} =\frac{T_\text{lifetime}}{\tau}\tag{357.7} $$ これを用いて、 $$ (357.5)=\frac{\lambda_\text{IF}}{\bcancel{T_\text{lifetime}}}\frac{\bcancel{T_\text{lifetime}}}{\tau}\left[\frac{e^{-(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})u}}{-(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})}\right]^{\tau}_0 =\frac{\lambda_\text{IF}}{\tau(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})}\left(1-e^{-(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})\tau}\right)\tag{357.8} $$ 同様にMaclaurin展開の2次近似を用いると、 $$ e^{-\lambda t}\approx1-\lambda t + \frac{1}{2}\lambda^2 t^2 $$ より、 $$ (357.7)\approx\frac{\lambda_\text{IF}}{\bcancel{\tau(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF}})} \left(\bcancel{(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})\tau} -\frac{1}{2}(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})^\bcancel{2}\tau^\bcancel{2}\right)\\ =\lambda_\text{IF}\left(1-\frac{1}{2}(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})\tau\right) =\lambda_\text{IF}-\frac{\lambda_\text{IF}}{2}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\tau\tag{357.9} $$ 以上から次のように(357.2)の値が求められました。 $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}R_\text{SM}(u)f_\text{IF}(t)dt\approx\lambda_\text{IF}\left(1-\frac{1}{2}(\lambda_\text{SM}+\lambda_\text{IF})\tau\right),\ \ s.t.\ \ u:=t\bmod\tau\tag{357.10} $$

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積分公式に引き続き、次の(356.1)及び(356.2)について、あらかじめ結果を導出しておき、積分公式として使用します。 $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}R_\text{SM}(t)dt\tag{356.1} $$ 及び $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}R_\text{SM}(u)dt,\ \ s.t.\ \ u:=t\bmod\tau\tag{356.2} $$ まず、(356.1)式に、$R_\text{SM}(t)=e^{-\lambda_\text{SM}t}$を代入し、 $$ \require{cancel} \begin{eqnarray} (356.1)&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}e^{-\lambda_\text{SM}t}dt=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\left[-\frac{e^{-\lambda_\text{SM}t}}{\lambda_\text{SM}}\right]^{T_\text{lifetime}}_0\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}\lambda_\text{SM}}\left(1-e^{-\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}}\right)\\ \end{eqnarray}\tag{356.3} $$ ここで$\lambda t\ll 1$の条件で$e^{-\lambda t}$のMaclaurin展開は $$e^{-\lambda t}=1-\lambda t + \frac{1}{2}\lambda^2 t^2-O((\lambda t)^3)$$であるから、$O((\lambda t)^3)\approx 0$と近似し、これを(356.3)に代入すると(356.3)は、 $$ \begin{eqnarray} (356.3)&\approx&\frac{1}{\bcancel{T_\text{lifetime}\lambda_\text{SM}}}\left(\bcancel{\lambda_\text{SM}}\bcancel{T_\text{lifetime}}-\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}^\bcancel{2}T_\text{lifetime}^\bcancel{2}\right)\\ &=&1-\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime} \end{eqnarray}\tag{356.4} $$ 以上から次のように(356.1)の値が求められました。

$$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}R_\text{SM}(t)dt\approx1-\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}\tag{356.5} $$ 次に(356.2)は、 $$ \begin{eqnarray} (356.2)&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\sum_{i=0}^{n-1}\int_{i\tau}^{(i+1)\tau}e^{-\lambda_\text{SM}u}du =\frac{n}{T_\text{lifetime}}\int_0^\tau e^{-\lambda_\text{SM}u}du\\ &=&\frac{\bcancel{n}1}{\bcancel{T_\text{lifetime}}\tau}\left[\frac{e^{-\lambda_\text{SM}u}}{-\lambda_\text{SM}}\right]^{\tau}_0 =\frac{1}{\tau\lambda_\text{SM}}\left(1-e^{-\lambda_\text{SM}\tau}\right) \end{eqnarray}\tag{356.6} $$ ここで同様に、$$e^{-\lambda t}\approx1-\lambda t + \frac{1}{2}\lambda^2 t^2$$を用いて、 $$ \begin{eqnarray} (356.3)&\approx&\frac{1}{\bcancel{\tau\lambda_\text{SM}}}\left(\bcancel{\lambda_\text{SM}}\bcancel{\tau}-\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}^\bcancel{2}\tau^\bcancel{2}\right)\\ &=&1-\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\tau \end{eqnarray}\tag{356.7} $$ 以上から次のように(356.2)の値が求められました。 $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}R_\text{SM}(u)dt\approx1-\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\tau,\ \ s.t.\ \ u:=t\bmod\tau\tag{356.8} $$

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動機

長い間MPF detectedの扱いに疑問が潜在していました。弊社では、MPF detectedは結局修理されないので、いつの日か2つ目のSMのフォールトによりDPFとなると考えます。従って、MPF detectedは結局MPF latent (=LF)となるとした上でPMHF式を導出しています。しかしながら、この考え方には、次の2点の問題があります。

• 規格のフォールト分類フローでは、MPF detectedとMPF latentが分離されているにも関わらず、弊社ではどちらもMPF latentと扱っているため、規格のフォールト分類と矛盾する。
• 規格LFMの計算式にMPF detectedが入っていない。これは、規格はMPF detectedは安全側だと考えているためだと推測されるが、弊社では上記の理由から危険側としている。

そこで、これらを満足する方法を検討します。最初の論文で導入された、SM1による検出率を意味する次の条件付き確率$K_\text{det}$を、ここで再び使用します。 $$ K_\text{det}:=\Pr\{\text{Fault detected}\ |\ \text{Fault prevented}\}\tag{355.1} $$

これはFMCというよりも、アーキテクチャ的に次のように0または1の値をとります。

• 検出系(非冗長系)：1st SMはIFのフォールトを検出することによりVSG抑止を行う場合。この場合は検出するから抑止されるのであり、抑止される部分に対する検出される割合は100%です。すなわち$K_\text{det}=1$となります。
• 冗長系：1st SMはIFの代替機能を持つことによりVSG抑止を行う場合。この場合はVSG抑止はしますが、1st SMは一切検出を行いません。従って、抑止される部分の検出される割合は0%です。すなわち$K_\text{det}=0$となります。また、両チャネルが同時にフォールトすることは無いため、VSG抑止率は100%、すなわち$K_\text{IF,RF}=1$となります。

さて、MPF detectedの考え方ですが、主機能のVSGが抑止されているので、運転はできないかもしれないものの、とりあえず安全状態は保たれます。従ってSPFもDPFも発生しません。しかるべき時間後に(レッカー車で)修理工場へ持っていき、修理が行われ、その後に運転が継続できると考えます。

主機能は動作しないので、通電はされず、運転時間は増大しません。従って、故障から修理までの時間は無視することができるので、1st SMにより検出された故障は瞬間的に修理された＝故障が起きなかったのと等価です。

やや無理がある解釈の感がありますが、今回このように仮定してPMHF式の導出を進めることにします。 ブログ記事#361に続きます。

RAMS 2022においてMPF detectedの再考に基づくPMHF式の論文発表が終了したため、秘匿部分を開示します。

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前稿の式を評価します。

$$ A_\text{SM}(t)=R_\text{SM}(t)+K_\text{SM,FMC,MPF}\left[-R_\text{SM}(t)+R_\text{SM}(u)\right]\\ =R_\text{SM}(t)+K_\text{SM,FMC,MPF}\left[F_\text{SM}(t)-F_\text{SM}(u)\right]\\ \text{s.t. }u:=t-n\tau=t-\lfloor\frac{t}{\tau}\rfloor\tau\tag{351.1} $$ 教科書等のとおり、稼働度は信頼度と修理度の和で表され、(351.1)式の$$ K_\text{SM,FMC,MPF}\left[F_\text{SM}(t)-F_\text{SM}(u)\right] $$ は修理度を意味します。この式は、最期の区間を除いた全ての区間において起きた検出可能フォールトは、その検査周期の最後で完全に修理され、最後の区間のみが修理が行われないことを表しています。

このように、修理度は故障した部分に基づき不信頼度で表すのが便利なので、(351.1)のように、稼働度は信頼度と不信頼度で表されます。

一方、不稼働度は、 $$ Q_\text{SM}(t)=1-A_\text{SM}(t)=F_\text{SM}(t)-K_\text{SM,FMC,MPF}\left[F_\text{SM}(t)-F_\text{SM}(u)\right]\\ =\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}\\ \ \text{s.t. }u:=t-n\tau=t-\lfloor\frac{t}{\tau}\rfloor\tau\tag{351.2} $$ のように、不信頼度とマイナスの修理度の和で表されるので、結果として不稼働度は(351.2)のように不信頼度とSMの検出カバレージで表されます。

なお、本稿はRAMS 2025に投稿予定のため一部を秘匿しています。

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3. 稼働度の定義からの導出

ついでに既出ですが、リペアラブルエレメントの不稼働度$Q(t)$の数式的な求め方を示します。基本的にはブログ記事に示す導出方法です。

$$ Q_\text{SM}(t):=\Pr\{\text{(repairable)SM down at }t\}=1-A_\text{SM}(t)\tag{350.1} $$ 一方、稼働度は、 $$ A_\text{SM}(t):=\Pr\{\text{(repairable)SM up at }t\}\\ =R(t)+\int_0^t m(x)R(t-x)dx\tag{350.2} $$ ここで、$A(t)$は時刻tにおけるポイントアベイラビリティ、$R(t)$は時刻tにおけるリライアビリティ(信頼度)、$m(t)$は時刻tにおけるリニューアル密度(修理密度)です。

規格に従えば、修理周期は教科書一般にあるように指数関数分布はとらず、定期的に$\tau$毎に行われるため、稼働度として(350.2)は(350.3)と表せます。ここで、$i$は$i$番目の定期検査・修理を意味し、時刻$t$までに$n$回の定期検査・修理が行われるものとします。 $$ A_\text{SM}(t)=R_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}F_\text{SM}(\tau)\sum_{i=1}^n R_\text{SM}(t-i\tau)\tag{350.3} $$ ここで、$K_\text{SM,FMC,MPF}$は少々長いので、$K_\text{SM,MPF}$と省略しました。PMHFの議論中のKはFMC(Failure Mode Coverage)に決まっているためです。

修理分$K_\text{SM,MPF}F_\text{SM}(\tau)$が時刻$t$の関数でないのは、検出能力$K_\text{MPF}$は一定で、かつ毎回の故障確率も一定で、検出した分は全て修理されるため、修理分が一定となるためです。(350.3)式の総和を展開すれば、 $$ \require{cancel} A_\text{SM}(t)=R_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}\left[1-R_\text{SM}(\tau)\right]\cdot\\ \left[R_\text{SM}(t-\tau)+R_\text{SM}(t-2\tau)+...+R_\text{SM}(t-(n-1)\tau)\right]\\ =R_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}\left[\bcancel{R_\text{SM}(t-\tau)}-R_\text{SM}(t)\\ +\bcancel{R_\text{SM}(t-2\tau)}-\bcancel{R_\text{SM}(t-\tau)}\\ ...\\ +R_\text{SM}(t-n\tau)-\bcancel{R_\text{SM}(t-(n-1)\tau)}\right]\\ =R_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}\left[-R_\text{SM}(t)+R_\text{SM}(t-n\tau)\right] \tag{350.4} $$ ここで、$u:=t-n\tau$とパラメータ$u$を定義し、(350.1)に(350.4)を代入すれば、 $$ Q_\text{SM}(t)=1-A_\text{SM}(t)=F_\text{SM}(t)-K_\text{SM,MPF}\left[F_\text{SM}(t)\bcancel{-1}+\bcancel{1}-F_\text{SM}(u)\right]\\ =\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} \tag{350.5} $$ 以上から、(348.1)、(349.3)、(350.5)で示されたように、導出手法は異なっても同一のPUA方程式が導出されることがわかります。

このリペアラブルエレメントの不稼働度$Q(t)$(350.5)及び、それを時間微分した不稼働密度$q(t)$の方程式(350.6)は、PMHF方程式の導出の根幹です。

$$ q_\text{SM}(t)=\frac{dQ_\text{SM}(t)}{dt}=(1-K_\text{SM,MPF})\frac{dF_\text{SM}(t)}{dt}+K_\text{SM,MPF}\frac{dF_\text{SM}(u)}{du}\frac{du}{dt}\\ =\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} \tag{350.6} $$

なお、本稿はRAMS 2025に投稿予定のため一部を秘匿しています。

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