Article #476

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規格第2版のPMHF式の疑問(12)

posted by sakurai on May 23, 2022 #476

パターン1

再度、ISO 26262第2版解説書に示された導出過程に沿ってPMHF式を導出します。この導出過程によればパターン2に重大な誤りがあります。その原因はIFのフォールトの積分範囲なのですが、次稿で説明します。

図309.1の再掲になりますが図476.1に解説書のパターン1の導出過程を引用します。

図%%.1
図476.1 規格解説書パターン1

時刻$t$がSM1のフォールト発生時刻、時刻$t'$が引き続くIFのフォールト発生時刻です。$t$と$t'$の制約を示します。 $$ \begin{eqnarray} \begin{cases} t: \text{Time of fault of SM1}, 0\le t\le T_\text{lifetime} \\ t': \text{Time of fault of IF}, t\le t'\le T_\text{lifetime} \end{cases} \end{eqnarray}\tag{476.1} $$

図476.1ではパターン1のIFのフォールトの積分範囲、つまり$t'$の範囲は$t\le t'\le T_\text{lifetime}$となっています。従って、$t$が大となるに従って$t'$の範囲が狭くなり、IFのフォールト発生確率も小さくなります。つまり、$t$と$\Pr\{\text{IF fails at }t'\}$は逆相関の関係があります。

図%%.2
図476.2 2nd editionパターン1積分範囲

基本的には解説書に従った導出過程で計算しますが、誤りを適宜修正します。まずIFのフォールトに関する積分である、「時刻$t$までup、かつ、$t'$でフォールトする確率」という以下の式(476.2)(図476.1から抜粋引用)は $$ \int_t^{T_\text{lifetime}}f_\text{IF,DPF}(t')dt'\cdot R_\text{IF}(t)\quad\quad\color{red}{(誤りであるため注意)} \tag{476.2} $$ (476.3)に示す2か所が誤りとその修正です。ただしこの誤りはたまたま結果に影響しません。 $$ \begin{eqnarray} \begin{cases} R_\text{IF}(t)&\Rightarrow&R_\text{IF}(t')\quad\quad\text{(up条件)}\\ f_\text{IF,DPF}(t')&\Rightarrow&\lambda_\text{IF,DPF}\quad\quad\text{(down条件)} \end{cases} \end{eqnarray}\tag{476.3} $$

(476.3)はIFに関するup条件及びdown条件ですが、この両者は同じIFに関する事象であるため独立ではありません。down条件に関しては(66.8)で示す条件付き確率を用いる必要があります。従って(476.2)を(476.4)のように、「時刻$t'$までup、かつ、$t'$でフォールトする条件付き確率」と修正します。するとIFのフォールトに関する確率(476.2)は、 $$ \Pr\{\text{IF ups at }t\cap\text{IF fails in }[t, T_\text{lifetime})\cap\text{IF fault prevented}\}\\ =\int_t^{T_\text{lifetime}}d\!\Pr\{\text{IF downs in }[t', t'+dt')\cap\text{IF ups at }t'\cap\text{IF fault prevented}\}\\ =\int_t^{T_\text{lifetime}}d\!\Pr\{\text{IF downs in }[t', t'+dt')\ |\ \text{IF ups at }t'\}\\ \cdot\Pr\{\text{IF ups at }t'\}\Pr\{\text{IF fault prevented}\}\\ =\int_t^{T_\text{lifetime}}K_\text{IF, DPF}\lambda_\text{IF}R_\text{IF}(t')dt'=K_\text{IF, DPF}\int_t^{T_\text{lifetime}}f_\text{IF}(t')dt'\\ =K_\text{IF, DPF}\left\lbrack F_\text{IF}(t')\right\rbrack_t^{T_\text{lifetime}} =K_\text{IF, DPF}\left[F_{\text{IF}}(T_\text{lifetime})-F_\text{IF}(t)\right]\\ \approx K_\text{IF, DPF}\lambda_\text{IF}\left(T_\text{lifetime}-t\right) \tag{476.4} $$ と表せます。

$t$におけるIFの車両寿命までのフォールト確率を表せたので、パターン1のPMHFは、 $$ \require{cancel} M_\text{PMHF,P1}=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}d\!\Pr\{\text{SM1 downs in }[t, t+dt)\cap\text{SM1 ups at }t\\ \cap\text{SM1 fault undetected}\}\\ \cdot\Pr\{\text{IF ups at }t\cap\text{IF fails in }[t, T_\text{lifetime})\cap\text{IF fault prevented}\}\\ =\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}d\!\Pr\{\text{SM1 downs in }[t, t+dt)\ |\ \text{SM1 ups at }t\}\\ \cdot\Pr\{\text{SM1 ups at }t\}\Pr\{\text{SM1 fault undetected}\}\\ \cdot\Pr\{\text{IF ups at }t\cap\text{IF fails in }[t, T_\text{lifetime})\cap\text{IF fault prevented}\}\\ =\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\lambda_\text{SM1}(1-K_\text{SM1,DPF})R_\text{SM1}(t)K_\text{IF,DPF}\lambda_\text{IF}\left(T_\text{lifetime}-t\right)dt\\ =\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}(1-K_\text{SM1,DPF})f_\text{SM1}(t)K_\text{IF,DPF}\lambda_\text{IF}\left(T_\text{lifetime}-t\right)dt\\ \approx\frac{1}{\bcancel{T_\text{lifetime}}}(1-K_\text{SM1,DPF})K_\text{IF,DPF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM1}\left\lbrack T_\text{lifetime}\bcancel{t}-\frac{1}{2}t^\bcancel{2}\right\rbrack_0^{T_\text{lifetime}}\\ =\frac{1}{2}K_\text{IF,DPF}(1-K_\text{SM1,DPF})\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM1}T_\text{lifetime}\\ =\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} \tag{476.5} $$ となります。なお、式変形中に弊社積分公式(471.3)を使用しています。

結果の(476.5)は次の図476.3に引用する規格第2版式のパターン1と正確に一致します。

図%%.3
図476.3 規格第2版式(パターン1をハイライト)

さらに(476.5)は、次の図476.4に引用する規格初版第1式のパターン1に相当する部分(黄色部分)とも(IF⇒mと読み替えることにより)正確に一致します。

図%%.4
図476.4 規格初版式第1式(パターン1をハイライト)

なお、本稿は[RAMS 2024]に投稿予定のため一部を秘匿していますが、論文公開後の2024年2月頃に開示予定です。

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