Article #10

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PMHFの意味

posted by sakurai on May 25, 2016

PMHFの定義式

式(10.1)はISO 26262 Part10に掲載されている、安全機構に引き続いて主機能が故障する場合のPMHF式です。

\[ M_{PMHF} = \lambda_{RF} + \frac 1 2 \lambda_{M,MPF}(\lambda_{SM,MPF,l}T_{lifetime}+ \lambda_{SM,MPF,d}\tau) \tag{10.1} \]

結論だけあって説明がほとんどありません。そのためこのブログで式の導出について説明していきたいと思います。

ところで、FSマイクロ株式会社では、(10.1)が「安全機構が故障して次に主機能が故障する場合」というのは誤りではないかと考えます。(10.1)式の$\frac{1}{2}$より後の第2項目以降はこの場合なのですが、第1項の$\lambda_{RF}$は主機能が故障して安全機構が安全目標侵害を防止した残余の故障率なので、安全機構は動作していなければならないはずです。

PMHFとは、ランダムハードウェア故障のメトリック(数値目標)で、正確に表現すれば「アイテムの車両寿命における故障確率(=アイテムの車両寿命における不稼働率$PoF(T_{lifetime})$の時間平均)」となります。以下はISO26262規格には書かれていませんが、PMHFの定義式です。

PMHFの定義式: \[ M_{PMHF} \stackrel{def}{=} \frac{1}{T_{lifetime}}PoF_{item, T_{lifetime}} =\frac{1}{T_{lifetime}} \Pr\{\text{item is down at } T_{lifetime}\} \tag{10.2} \]

ここで、時刻$t$におけるitemの時点不稼働率(Point Unavailability; PUA)である$Q_{item}(t)$を考えます。 $Q_{item}(t)$は以下の式で定義されるように、ある時刻$t$においてアイテムが稼働していない確率です。

\[ Q_{item}(t) \stackrel{def}{=} \Pr\{\text{item is down at } t\} \tag{10.3} \]

一方で、$A_{item}(t)$は、1からPUAである$Q_{item}(t)$を引いたものであり、修理が可能なitemにおいて、$t$までに一度も故障が起きない確率と、$t$までに故障が起き修理された後$t$までに故障が起きない確率に分けられるので、

$$ A_{item}(t) \stackrel{def}{=} \Pr\lbrace\text{item is up at } t\rbrace\\ =\Pr\lbrace{\text{item not failed in }(0, t]\rbrace} + \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \Pr\lbrace{\text{item is repaired at }\tau_i \cap \text{item is up in }(\tau_i, t]\rbrace} \tag{10.4} $$

と表されます。式の意味は、Point Availabilityは、Reliability(1度も故障しない確率)に加えて、各検査インターバルで故障検出を行い、検出された分については全て修理し、それが現在まで故障しない確率との和となります。

PMHFの意味

ここで、故障率はかなり低いため、(10.4)のうち修理される部分を無視しPMHFの定義式(10.2)に適用しすれば、$X_{item}$を無故障運転時間としたとき、

\[ M_{PMHF} \approx \frac{1}{T_{lifetime}} \Pr\{\text{item is failed in }(0, T_{lifetime}]\} =\frac{1}{T_{lifetime}} \Pr\{X_{item}\lt T_{lifetime}\} =\frac{1}{T_{lifetime}} F_{item}(T_{lifetime}) \tag{10.5} \]

式10.5の式に対して、不信頼度$F(t)$の近似式である(7.2)を用いて $$ F_{item}(t)=1-e^{-\lambda_{item}t}\approx \lambda_{item}t, ~~\mbox{s.t.}~~ \lambda_{item}t \ll 1 \tag{10.6} $$

を適用すれば、次の(10.7)が得られます。 \[ M_{PMHF} \approx \lambda_{item},~~\mbox{s.t.}~~ \lambda_{item}T_{lifetime} \ll 1 \tag{10.7} \]

これにより、PMHFは$\lambda_{item}T_{lifetime} \ll 1$の場合に「アイテムの車両寿命間の平均的な故障率」とみなすことができます。

※このブログは2016年に書かれたものであり、新しい研究結果を以下に連載していますので、参考にしてください
https://fs-micro.com/post/show/id/59.html


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