upやdownを数式で書いてみます。

ランダムプロセス$\eta_s$において、確率変数$X$を無故障稼働時間とします。$\mathcal{M}$を稼働状態のサブセットとし、$\mathcal{P}$を不稼働状態のサブセットとすれば、$X=\inf\lbrace s:\eta_{s}\in\mathcal{P}\rbrace$と示すことができます。 non-repairable elementの故障率$\lambda(t)$は、 $$\lambda(t)=\lim_{dt\to 0}\frac{\Pr\lbrace X\le t+dt\ |\ t\lt X\rbrace}{dt}\tag{67.1}$$ より形式的に瞬間故障確率(故障率$\times dt$)が求められ、 $$\lambda(t)dt=\Pr\lbrace X\le t+dt\ |\ t\lt X\rbrace=\frac{\Pr\lbrace t\lt X\le t+dt\rbrace}{\Pr\lbrace t\lt X\rbrace}=\frac{f(t)}{R(t)}dt\tag{67.2}$$

repairable elementのダウン$\varphi(t)$率は、Christiane Cocozza-Thivent他の論文"The Failure Rate in Reliability. Numerical Treatment"の(1.2)式によれば、

$$\varphi(t)=\lambda_V(t)=\lim_{dt\to 0}\frac{\Pr\lbrace \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\ |\ \eta_t\in\mathcal{M}\rbrace}{dt}\tag{67.3}$$ より形式的に瞬間ダウン確率(ダウン率$\times dt$)が求められ、条件付き確率の公式より、 $$\varphi(t)dt=\Pr\lbrace \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\ |\ \eta_t\in\mathcal{M}\rbrace=\frac{\Pr\lbrace \eta_{t}\in\mathcal{M}\cap\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\rbrace}{\Pr\lbrace\eta_{t}\in\mathcal{M}\rbrace}=\frac{q(t)}{A(t)}dt\tag{67.4}$$ となります。さらに前記論文が引用している同著者の論文"The failure rate in reliability: approximations and bounds"の(3.17)式の証明に、

$$\varphi(t)=\lambda_V(t)=\frac{1}{\Pr\lbrace \eta_{t}\in\mathcal{M}\rbrace}\lim_{dt\to 0}\frac{1}{dt}\int_{\mathcal{M}}\Pr\lbrace \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\ |\ \eta_t=\eta\rbrace\Pr\lbrace\eta_{t}\in d\eta\rbrace\tag{67.5}$$ とあります。(67.4)と(67.5)を比較すれば、 $$q(t)dt=\Pr\lbrace \eta_{t}\in\mathcal{M}\cap\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\rbrace=\int_{\mathcal{M}}\Pr\lbrace \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\ |\ \eta_t=\eta\rbrace\Pr\lbrace\eta_{t}\in d\eta\rbrace\tag{67.6}$$

が得られます。

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