23 |
【速報】RAMS 2021にアブストラクトが採択 |
Posts Tagged with "ISO 26262"
既に発行済みのブログであっても適宜修正・追加することがあります。We may make changes and additions to blogs already published.
27 |
$M_\text{PMHF}$の計算 (12) |
#223に示した理由により、本稿の議論は全て取り消します。
前稿において、(227.2)右辺第2項を(一部の係数を除き)展開すると、
$$
\require{cancel}
\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}\\
\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\mathrm{SM}(t)tf_\text{IF}(t)dt
\tag{228.1}
$$
ここで、WolframAlphaによる級数展開を用いると、
integral_0^(τ) (1 - exp(-λ_2 t)) λ_1 exp(-λ_1 t) dt * (τ^-1)
$$ \frac{1}{\tau}\int_0^\tau F_2(t)f_1(t)dt \approx\frac{1}{2}\lambda_1\lambda_2\tau \tag{228.2} $$
integral_0^(τ) (1 - exp(-λ_2 t)) λ_1 exp(-λ_1 t) t dt * (τ^-1)
$$ \frac{1}{\tau}\int_0^\tau F_2(t)tf_1(t)dt \approx\frac{1}{3}\lambda_1\lambda_2\tau^2 \tag{228.3} $$
$$
(228.1)=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\left[(1-K_\text{SM,MPF})F_\mathrm{SM}(t)tf_\text{IF}(t)+K_\text{SM,MPF}F_\mathrm{SM}(u)tf_\text{IF}(t)\right]dt\\
=\frac{1-K_\text{SM,MPF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(t)tf_\text{IF}(t)dt+\frac{K_\text{SM,MPF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(u)tf_\text{IF}(t)dt\\
\quad\text{s.t. }u:=t\bmod\tau\tag{228.4}
$$
(228.4)右辺第2項を$t=i\tau+u, i=0,1,...,n-1,T_\text{lifetime}=n\tau$として$t$を$u$で表す変数変換を行うと、
$$
\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(u)tf_\text{IF}(t)dt
=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\sum_{i=0}^{n-1}\int_0^\tau F_\text{SM}(u)(i\tau+u)f_\text{IF}(i\tau+u)du\\
=\frac{\tau}{T_\text{lifetime}}\sum_{i=0}^{n-1}ie^{-\lambda_\text{IF}i\tau}\int_0^\tau F_\text{SM}(u)f_\text{IF}(u)du+\frac{1}{T_\text{lifetime}}\sum_{i=0}^{n-1}e^{-\lambda_\text{IF}i\tau}\int_0^\tau F_\text{SM}(u)uf_\text{IF}(u)du\\
=\frac{1}{\bcancel{T_\text{lifetime}}}\left(\frac{1}{3}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\tau^{\bcancel{3}2}\right)\left(\bcancel{\tau}\frac{\bcancel{T_\text{lifetime}}(T_\text{lifetime}-\tau)}{\bcancel{\tau}^\bcancel{2}}+\frac{\bcancel{T_\text{lifetime}}}{\bcancel{\tau}}\right)\\
=\frac{1}{3}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\tau^2(T_\text{lifetime}-\tau+1)
\tag{228.5}
$$
(228.3)を(228.4)の第1項、(228.5)を第2項に用いて、
$$ (228.1)=\frac{1-K_\text{SM,MPF}}{\bcancel{T_\text{lifetime}}} \left(\frac{1}{3}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}^{\bcancel{3}2}\right) +K_\text{SM,MPF} \left(\frac{1}{3}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\tau^2(T_\text{lifetime}-\tau+1)\right) \tag{228.6} $$
26 |
$M_\text{PMHF}$の計算 (11) |
#223に示した理由により、本稿の議論は全て取り消します。
前稿において、LAT2ではIFのAvailability(227.1で赤字で表示)は$R_\text{IF}(t)$でも$A_\text{IF}(t)$でもないことを解説しました。
$$
\overline{q_{\mathrm{DPF1,IFR}}}=\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)\color{red}{A_{\mathrm{IF}}(t)}\lambda_{\mathrm{IF}}dt
\approx K_\text{IF,RF}\alpha
\tag{227.1}
$$
LAT2に来た時刻を$s$としたとき、$A_\text{IF}(s)R_\text{IF}(t-s)$で表される状態確率となりますが、問題は$s$が確率的に値を取ることです。これを消去するため、前稿(224.8)の結果を使用すれば、
$$
(227.1)=\frac{K_\mathrm{IF,RF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\mathrm{SM}(t)\left(1-\frac{1}{2}K_\text{IF,MPF}\lambda_\text{IF}(t-\tau)\right)R_\text{IF}(t)\lambda_\mathrm{IF}dt\\
=\frac{K_\mathrm{IF,RF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\mathrm{SM}(t)\left(1-\frac{1}{2}K_\text{IF,MPF}\lambda_\text{IF}(t-\tau)\right)f_\text{IF}(t)dt\\
=\frac{K_\mathrm{IF,RF}}{T_\text{lifetime}}\left(1+\frac{1}{2}K_\text{IF,MPF}\lambda_\text{IF}\tau\right)\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\mathrm{SM}(t)f_\text{IF}(t)dt\\
-\frac{K_\mathrm{IF,RF}K_\text{IF,MPF}\lambda_\text{IF}}{2T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\mathrm{SM}(t)tf_\text{IF}(t)dt
\tag{227.2}
$$
(227.2)右辺第1項は、積分公式から
$$
\frac{K_\mathrm{IF,RF}}{2}\left(1+\frac{1}{2}K_\text{IF,MPF}\lambda_\text{IF}\tau\right)\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,MPF}\tau\right]\tag{227.3}
$$
(227.2)右辺第2項を(一部の係数を除き)展開すると、
$$
\require{cancel}
\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}\\
=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\left[(1-K_\text{SM,MPF})F_\mathrm{SM}(t)tf_\text{IF}(t)+K_\text{SM,MPF}F_\mathrm{SM}(u)tf_\text{IF}(t)\right]dt\\
=\frac{(1-\bcancel{K_\text{SM,MPF}})}{T_\text{lifetime}}\lambda_\text{IF}\int_0^{T_\text{lifetime}}te^{-\lambda_\text{IF}t}dt-\frac{1-K_\text{SM,MPF}}{T_\text{lifetime}}\lambda_\text{IF}\int_0^{T_\text{lifetime}}te^{-(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})t}dt\\
+\bcancel{\frac{K_\text{SM,MPF}\lambda_\text{IF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}te^{-\lambda_\text{IF}t}dt}-\frac{K_\text{SM,MPF}\lambda_\text{IF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}te^{-\lambda_\text{IF}t-\lambda_\text{SM}u}dt\\
=\frac{\lambda_\text{IF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}te^{-\lambda_\text{IF}t}dt-\frac{1-K_\text{SM,MPF}}{T_\text{lifetime}}\lambda_\text{IF}\int_0^{T_\text{lifetime}}te^{-(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})t}dt\\
-\frac{K_\text{SM,MPF}\lambda_\text{IF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}te^{-\lambda_\text{IF}t-\lambda_\text{SM}u}dt
\quad\text{s.t. }u:=t\bmod\tau\tag{227.4}
$$
(225.3)及び(226.1)の結果を用いて、
$$
(227.4)=\lambda_\text{IF}\left(\frac{T_\text{lifetime}}{2}-\frac{\lambda_\text{IF}T_\text{lifetime}^2}{3}\right)\\
-(1-K_\text{SM,MPF})\lambda_\text{IF}\left(\frac{T_\text{lifetime}}{2}-\frac{(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})T_\text{lifetime}^2}{3}\right)\\
-K_\text{SM,MPF}\lambda_\text{IF}\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}
\quad\text{s.t. }u:=t\bmod\tau\tag{227.5}
$$
25 |
PMHF計算に関する積分公式 (3) |
#223に示した理由により、本稿の議論は全て取り消します。
前稿の続きで、ISO 26262のPMHFの導出の場合、確率積分を実行する際に次の(226.1)が出てくるため、あらかじめ結果を導出しておき、後程積分公式として使用します。
$$
\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}
\tag{226.1}
$$
$t=i\tau+u, i=0,1,...,n-1, n:=\frac{T_\text{lifetime}}{\tau}$とおいて変数変換すれば、
$$
(226.1)=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\sum_{i=0}^{n-1}\int_0^\tau(i\tau+u)e^{-\lambda_\text{IF}(i\tau+u)-\lambda_\text{SM}u}du\\
=\tau\sum_{i=0}^{n-1}i e^{-\lambda_\text{IF}i\tau}
\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^\tau e^{-(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})u}du
+\sum_{i=0}^{n-1}e^{-\lambda_\text{IF}i\tau}\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^\tau ue^{-(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})u}du\\
\tag{226.2}
$$
ここで、(226.2)右辺第1項の級数の和を求めるため和を$x$とおけば、
$$
x:=\sum_{i=0}^{n-1}i e^{-\lambda_\text{IF}i\tau}=e^{-\lambda_\text{IF}\tau}+2e^{-\lambda_\text{IF}2\tau}+...+(n-1)e^{-\lambda_\text{IF}(n-1)\tau}\tag{226.3}
$$
となり、
$$
e^{-\lambda_\text{IF}\tau}x=\sum_{i=0}^{n-1}i e^{-\lambda_\text{IF}(i+1)\tau}=e^{-\lambda_\text{IF}2\tau}+...+(n-2)e^{-\lambda_\text{IF}(n-1)\tau}+(n-1)e^{-\lambda_\text{IF}n\tau}\tag{226.4}
$$
よって、(226.3)-(226.4)より、
$$
x(1- e^{-\lambda_\text{IF}\tau})=e^{-\lambda_\text{IF}\tau}+e^{-\lambda_\text{IF}2\tau}+...+e^{-\lambda_\text{IF}(n-1)\tau}-(n-1)e^{-\lambda_\text{IF}n\tau}\\
=\underbrace{e^{-\lambda_\text{IF}\tau}+e^{-\lambda_\text{IF}2\tau}+...+e^{-\lambda_\text{IF}(n-1)\tau}+e^{-\lambda_\text{IF}n\tau}}_{\text{n terms}}-ne^{-\lambda_\text{IF}n\tau}\\
=e^{-\lambda_\text{IF}\tau}\frac{1-e^{-\lambda_\text{IF}T_\text{lifetime}}}{1-e^{-\lambda_\text{IF}\tau}}-n e^{-\lambda_\text{IF}T_\text{lifetime}}\tag{226.5}
$$
よって、Maclaurin展開の1次近似を用いれば、
$$
\require{cancel}
x\approx\frac{\bcancel{\lambda_\text{IF}}T_\text{lifetime}}{\lambda_\text{IF}^\bcancel{2}\tau^2}(1-\lambda_\text{IF}\tau)-\frac{n(1-\lambda_\text{IF}T_\text{lifetime})}{\lambda_\text{IF}\tau}\\
=\frac{T_\text{lifetime}(\bcancel{1}-\bcancel{\lambda_\text{IF}}\tau)-T_\text{lifetime}(\bcancel{1}-\bcancel{\lambda_\text{IF}}T_\text{lifetime})}{\bcancel{\lambda_\text{IF}}\tau^2}=\frac{T_\text{lifetime}(T_\text{lifetime}-\tau)}{\tau^2}\tag{226.6}
$$
次に、(226.2)右辺第2項の級数の和は、
$$
\sum_{i=0}^{n-1}e^{-\lambda_\text{IF}i\tau}=e^{-\lambda_\text{IF}\tau}+...+e^{-\lambda_\text{IF}(n-1)\tau}=\frac{1-e^{-\lambda_\text{IF}T_\text{lifetime}}}{1-e^{-\lambda_\text{IF}\tau}}
\approx\frac{\bcancel{\lambda_\text{IF}}T_\text{lifetime}}{\bcancel{\lambda_\text{IF}}\tau}
\tag{226.7}
$$
次に、(226.2)右辺第1項の定積分の値は、
$$
\int_0^\tau e^{-(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})u}du
=\left[\frac{e^{-(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})u}}{-(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})}\right]_0^\tau
=\frac{e^{-(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\tau}-1}{-(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})}\\
\approx\frac{1}{\bcancel{\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM}}}\left(\bcancel{(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})}\tau-\frac{1}{2}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})^\bcancel{2}\tau^2\right)
=\tau\left(1-\frac{1}{2}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\tau\right)
\tag{226.8}
$$
以上から、$\color{red}{(226.5)}$と$\color{green}{(226.6)}$を(226.2)に適用し、$\color{blue}{(226.7})$と部分積分の結果$\color{purple}{(225.1)}$を用いれば、
$$
(226.2)=\bcancel{\tau}\color{red}{\left(\frac{\bcancel{T_\text{lifetime}}(T_\text{lifetime}-\tau)}{\bcancel{\tau^2}}\right)}\frac{1}{\bcancel{T_\text{lifetime}}}\color{blue}{\bcancel{\tau}\left(1-\frac{1}{2}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\tau\right)}\\
+\color{green}{\frac{\bcancel{T_\text{lifetime}}}{\bcancel{\tau}}}\frac{1}{\bcancel{T_\text{lifetime}}}
\color{purple}{\left(\frac{\tau^\bcancel{2}}{2}-
\frac{(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\tau^{\bcancel{3}2}}{3}\right)}\\
=(T_\text{lifetime}-\tau)\left(1-\frac{1}{2}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\tau\right)+\left(\frac{\tau}{2}-\frac{1}{3}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\tau^2\right)\\
=\left(1-\frac{1}{2}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\tau\right)T_\text{lifetime}-\frac{\tau}{2}+\frac{1}{6}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\tau^2
\tag{226.9}
$$
24 |
PMHF計算に関する積分公式 (2) |
#223に示した理由により、本稿の議論は全て取り消します。
ISO 26262のPMHFの導出の場合、確率積分を実行する際に次の(225.1)が出てくるため、あらかじめ結果を導出しておき、後程積分公式として使用します。
$$
\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}
\tag{225.1}
$$
部分積分により、
$$
\require{cancel}
(225.1)=\left[\frac{t e^{-\lambda t}}{-\lambda }\right]_0^{\tau}
-\int_0^{\tau}\frac{e^{-\lambda t}}{-\lambda }dt
=\left(\frac{\tau e^{-\lambda\tau}}{-\lambda }\right)
-\left[\frac{e^{-\lambda t}}{\lambda ^2}\right]_0^{\tau}\\
=-\frac{\tau}{\lambda}e^{-\lambda \tau}
+\left(\frac{1-e^{-\lambda\tau}}{\lambda ^2}\right)\\
\approx-\frac{\tau}{\lambda}\left(1-\lambda\tau+\frac{1}{2}\lambda^2\tau^2\right)
+\frac{1}{\lambda^\bcancel{2}}\left(\bcancel{\lambda}\tau-\frac{1}{2}\lambda^\bcancel{2}\tau^2+\frac{1}{6}\lambda^{\bcancel{3}2}\tau^3\right)\\
=-\frac{1}{\bcancel{\lambda}}\left(\bcancel{\tau}-\bcancel{\lambda}\tau^2+\frac{1}{2}\lambda ^\bcancel{2}\tau^3\right)
+\frac{1}{\bcancel{\lambda}}\left(\bcancel{\tau}-\frac{1}{2}\bcancel{\lambda}\tau^2+\frac{1}{6}\lambda^\bcancel{2}\tau^3\right)\\
=\frac{\tau^2}{2}-\frac{\lambda\tau^3}{3}
\tag{225.2}
$$
積分範囲が$[0, \tau)$ではなく、$[0, T_\text{lifetime})$の場合で車両寿命で平均化する場合は、$\tau$を$T_\text{lifetime}$と置きなおせば、
$$
\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}} t e^{-\lambda t}dt
=\frac{T_\text{lifetime}}{2}-\frac{\lambda T_\text{lifetime}^2}{3}\tag{225.3}
$$
と求まります。
20 |
IFのAvailabilityの平均化 |
#223に示した理由により、本稿の議論は全て取り消します。
今回はダイレクトに
$$
\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}
\tag{224.1}
$$
を求めます。
まず、(224.1)式に、指数分布式である
$$
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
A_\text{IF}\text(s)&=&(1-K_\text{IF,MPF})e^{-\lambda_\text{IF}s}+K_\text{IF,MPF}e^{-\lambda_\text{IF}u}, u:=s\bmod \tau及び\\
R_\text{IF}(s)&=&e^{-\lambda_\text{IF}s}
\end{cases}
\end{eqnarray}\tag{224.2}
$$
を代入し、
$$
\begin{eqnarray}
(224.1)&=&\frac{1}{t}\int_0^t\left[(1-K_\text{IF,MPF})e^{-\lambda_\text{IF}s}+K_\text{IF,MPF}e^{-\lambda_\text{IF}u}\right]e^{-\lambda_\text{IF}(t-s)}ds\\
&=&\frac{1-K_\text{IF,MPF}}{t}\int_0^te^{-\lambda_\text{IF}s}e^{-\lambda_\text{IF}(t-s)}ds
+\frac{K_\text{IF,MPF}}{t}\int_0^te^{-\lambda_\text{IF}u}e^{-\lambda_\text{IF}(t-s)}ds\\
&=&\frac{1-K_\text{IF,MPF}}{t}e^{-\lambda_\text{IF}t}\int_0^t ds
+\frac{K_\text{IF,MPF}}{t}e^{-\lambda_\text{IF}t}\int_0^te^{-\lambda_\text{IF}(u-s)}ds\\
\end{eqnarray}
\tag{224.3}
$$
ここで、右辺第2項において、$u=s\bmod\tau$より、$s=i\tau+u, i=0,1,...,k-1, t=k\tau$とおいて、$s$を$u$と$i$で表し
$$
\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}
\tag{224.4}
$$
を計算すると、
$$
(224.4)=\sum_{i=0}^{k-1}\int_0^\tau e^{\lambda_\text{IF}i\tau}du
=\sum_{i=0}^{k-1}e^{\lambda_\text{IF}i\tau}\int_0^\tau du
=\tau\sum_{i=0}^{k-1}e^{\lambda_\text{IF}i\tau}
\tag{224.5}
$$
ここで、等比数列の和及びMaclaurin展開の1次近似より、
$$
\require{cancel}
(224.5)=\tau\frac{1-e^{\lambda_\text{IF}k\tau}}{1-e^{\lambda_\text{IF}\tau}}
=\tau\frac{1-e^{\lambda_\text{IF}t}}{1-e^{\lambda_\text{IF}\tau}}
\approx\bcancel{\tau}\frac{\bcancel{\lambda_\text{IF}}t-\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}^\bcancel{2}t^2}{\bcancel{\lambda_\text{IF}}\bcancel{\tau}-\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}^\bcancel{2}\tau^\bcancel{2}}
=\frac{t-\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}t^2}{1-\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\tau}\\
\approx\left(t-\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}t^2\right)\left(1+\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\tau\right)
\tag{224.6}
$$
であるから、(224.6)及び(224.4)の結果を(224.3)に用いれば、
$$
(224.3)\approx\frac{1-K_\text{IF,MPF}}{\bcancel{t}}e^{-\lambda_\text{IF}t}\bcancel{t}
+\frac{K_\text{IF,MPF}}{\bcancel{t}}e^{-\lambda_\text{IF}t}\bcancel{t}\left(1-\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}t\right)\left(1+\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\tau\right)\\
\tag{224.7}
$$
ここで、$\lambda_\text{IF}^2\approx0$と置いて、
$$
(224.7)\approx\left(1\bcancel{-K_\text{IF,MPF}}\right)e^{-\lambda_\text{IF}t}
+K_\text{IF,MPF}e^{-\lambda_\text{IF}t}\left(\bcancel{1}-\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}(t-\tau)\right)\\
=e^{-\lambda_\text{IF}t}-\frac{1}{2}K_\text{IF,MPF}\lambda_\text{IF}(t-\tau)e^{-\lambda_\text{IF}t}
=\left(1-\frac{1}{2}K_\text{IF,MPF}\lambda_\text{IF}(t-\tau)\right)R_\text{IF}(t)
\tag{224.8}
$$
以上から、$s$を消去して$t$で表すことができました。
17 |
$M_\text{PMHF}$の計算 (10) |
SMがフォールトしてLAT2のステートに来た時刻を$s$とすると、時刻$t$以前に来たことから$0\le s\le t$であり、SMとIFは故障事象自体は独立ですが、相手の故障事象により自分の状態確率が変化します。
この論点は、LAT2においてはSMがフォールトしているので、IFがアンリペアラブルである⇒LAT2に来た時間$s$により状態確率$\Pr\{\text{LAT2 at }t\}$が変化する⇒マルコフ性が崩れる、と新たに誤解したことによるものです。
正しくは、IFのリペアラビリティは1st SMであるSM(=LAT2でダウンしている)により決まりません。IFのリペアラビリティは2nd SMにのみ決定され、2nd SMは故障しないため、マルコフ性は崩れていません。従って本稿(#223)以降(~#228)の議論は全て取り消します。
正しい議論は以前のhttp://fs-micro.com/blogSummary.htmlの「PMHFの計算」~「PMHFの計算(8)」のとおりです。
従って、時刻$t$以前の時刻$s$の$0\le s\le t$におけるIFの平均稼働確率を求め、それを用いて状態確率を表し、さらに遷移確率をかけるという方法で解きます。
以前求めた、$M_\text{PMHF}$の計算(8)の式(222.2)は、
$$
\begin{eqnarray}
\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}&=&\Pr\{\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\
&=&\Pr\{\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\}\Pr\{\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\
&=&\color{red}{A_{\mathrm{IF}}(t)}Q_{\mathrm{SM}}(t)\tag{222.2再掲}
\end{eqnarray}
$$
でしたが、IFのAvailability$\Pr\{\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\}$は、OPRに居る時、すなわち時刻$s$以前にSMがupな状態では、IFはリペアラブル($=\mathrm{IF^\text{R}}$)であり、時刻$s$でSMにフォールトが起きてdownしLAT2に来た時からは、IFはアンリペアラブル($=\mathrm{IF^\text{U}}$)となります。よって、本来は
$$
\begin{eqnarray}
\Pr\{\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\}&=&\Pr\{\mathrm{IF^\text{R}\ up\ at\ }s\cap\mathrm{IF^\text{U}\ up\ in\ }(s, t]\}\\
&=&\Pr\{\mathrm{IF^\text{R}\ up\ at\ }s\}\Pr\{\mathrm{IF^\text{U}\ not\ failed\ in\ }(s, t]\}\\
&=&A_\text{IF}(s)R_\text{IF}(t-s)\tag{223.1}
\end{eqnarray}
$$
従って、(222.2)で右辺に$A_\text{IF}(t)$を使用したのは、LAT2におけるIFのAvailabilityの上限を求めたことになります。その理由は、大小関係は
$$
R(t)\le A(s)R(t-s)\le A(t)\quad\text{s.t. }0\le s\le t\tag{223.2}
$$
だからです。従って、IFのAvailabilityの下限を求めるには、右辺を$R_\text{IF}(t)$とおいて積分します。これは規格式と同じPMHF式を与えます。IFのAvailabilityの下限の積分はIFUモデルと同じになるため、(104.5)を参考にして、
$$
\overline{q_{\mathrm{DPF1,IFR}}}=\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)\color{red}{R_{\mathrm{IF}}(t)}\lambda_{\mathrm{IF}}dt
\approx K_\text{IF,RF}\alpha
\tag{223.3}
$$
SMのフォールトも同様であり、DPF2平均確率を求めれば、
$$
\overline{q_{\mathrm{DPF2,IFR}}}=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{IF}}(t)R_{\mathrm{SM}}(t)\lambda_{\mathrm{SM}}dt
\approx\beta
\tag{223.4}
$$
前稿と同様に$K_\text{IF,RF}=1$とします。表221.1及び222.1より、
$0$ | $\gamma$ | $\gamma$ | ||
$0$ | $\alpha$ | $\beta$ |
ただし、
$$
\gamma:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{MPF}\tau\right],\\
\text{s.t. }K_\text{MPF}:=1-(1-K_\text{IF,MPF})(1-K_\text{SM,MPF})=K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}-K_\text{IF,MPF}K_\text{SM,MPF}\tag{223.5}
$$
規格式(1/2のおかしな点を修正後)は$K_\text{IF,RF}=1$として、DPFのみを表示すれば、
$$
\begin{eqnarray}
修正版規格式&=&\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}(1-K_\text{SM,MPF})&\cdot&\lambda_\text{IF}T_\text{lifetime}\\
&+&\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}K_\text{SM,MPF}&\cdot&\lambda_\text{IF}\tau\\
&+&\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}(1-K_\text{IF,MPF})&\cdot&\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}\\
&+&\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}K_\text{IF,MPF}&\cdot&\lambda_\text{SM}\tau\\
\end{eqnarray}
=\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2})T_\text{lifetime}+\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2}\tau\right]=\alpha+\beta\tag{223.6}
$$
表(223.1)より(223.6)と(223.5)の2倍を比較するため、差を計算すれば、
$$
\begin{eqnarray}
&=&\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[\left(1-\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2}\right)T_\text{lifetime}+\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2}\tau\right]\\
& &-\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[\left(1-K_\text{MPF}\right)T_\text{lifetime}+K_\text{MPF}\tau\right]\\
&=&\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[\left(K_\text{MPF}-\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2}\right)T_\text{lifetime}-\left(K_\text{MPF}-\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2}\right)\tau\right]\\
&=&\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left(K_\text{MPF}-\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2}\right)(T_\text{lifetime}-\tau)\\
&=&\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left(\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2}-K_\text{IF,MPF}K_\text{SM,MPF}\right)(T_\text{lifetime}-\tau)\ge 0,\\
&\quad\quad&\text{s.t. }K_\text{IF,MPF}, K_\text{SM,MPF}\in[0, 1), T_\text{lifetime}\gg \tau\tag{223.7}
\end{eqnarray}
$$
よって、
$$2\gamma\le M_\text{PMHF}\le\alpha+\beta
\tag{223.8}$$
これより、規格式はPMHFの上限、論文式はPMHFの下限を表しています。
16 |
$M_\text{PMHF}$の計算 (9) |
IFRモデル
全く同様な計算をIFRモデルでも行います。同様に(2)を(2a)と(2b)に分離します(図222.1の赤矢印)。
次に(2b)のSPF方向への確率積分は、IFUモデルと変わりません。SPFは、IFのフォールトがアンプリベンタブル(VSG抑止不可)な場合に起きるためです。 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{SPF(2b),IFR}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{SPF(2b)\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\cap\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\\ & &\cap\overline{\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}\Pr\{\overline{\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}}\} \end{eqnarray} \tag{222.6} $$ 同様に(221.2)、(221.3)を用いれば、 $$ (222.6)=\frac{1-K_{\text{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)R_{\mathrm{IF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt \tag{222.7} $$ これに(104.5)の結果を利用すれば、 $$ (222.7)=(1-K_{\text{IF,RF}})\alpha\tag{222.8} $$ 以上より、IFRモデルの統合、分離方式を比較すると、表222.1のようになります。変化点を黄色で示しています。
(1)SPF | (2)DPF1 | (3)DPF2 | ||
---|---|---|---|---|
LAT2統合 | $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-(1-K_\text{IF,RF})\alpha$ (103.7) |
$(1-K_\text{IF,RF})\alpha+K_\text{IF,RF}\beta$ (107.8) |
$K_\text{IF,RF}\beta$ (106.4) |
|
規格式1(1)+(2)$\dagger$ | $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_\text{IF,RF}\beta$ | |||
規格式3(1)+(2)+(3)$\dagger$ | $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+2K_\text{IF,RF}\beta$ | |||
(1)SPF | (2b)SPF' | (2a)DPF1 | (3)DPF2 | |
LAT2分離 | $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-(1-K_\text{IF,RF})\alpha$ | $(1-K_\text{IF,RF})\alpha$ (222.7) |
$K_\text{IF,RF}\beta$ (222.5) |
$K_\text{IF,RF}\beta$ |
(1)+(2b)SPF | (2a)DPF1 | (3)DPF2 | ||
SPF統合 | $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}$ | $K_\text{IF,RF}\beta$ | $K_\text{IF,RF}\beta$ | |
SPF/DPF統合 | $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}$ | $2K_\text{IF,RF}\beta$ |
$$ \text{ただし、} \begin{cases} \alpha:=\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau]\\ \beta:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{MPF}\tau\right]\\ K_\text{MPF}:=K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}-K_\text{IF,MPF}K_\text{SM,MPF} \end{cases} $$
前稿と同様、SPF統合のほうが単純な式となっています。LAT2統合において、SPFもDPF1も複雑な式でしたが、まとめ方を変えると単純な式となるため、この方が本質だと考えます。
一般式
表222.1より、2020年RAMS論文で示したように一般式は以下のようになります。 $$ M_\text{PMHF}=\bbox[#ccffff,2pt]{(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+2K_\text{IF,RF}\beta}\\ =(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{MPF}\tau\right]\\ s.t.\quad K_\text{MPF}:=K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}-K_\text{IF,MPF}K_\text{SM,MPF} \tag{222.9} $$
また、$K_\text{IF,MPF}=0$のとき、すなわち、IFRモデルにおいて、IFの2nd SMが存在せずアンリペアラブルとなるときは$K_\text{MPF}=K_\text{SM,MPF}$となるため、$\beta=\alpha$となり、当然ですがIFRモデルはIFUモデルと同一の式となります。
冗長構成
IFRモデルはIFもSMもリペアラブルということは冗長構成により$K_\text{IF,RF}=1$となるため、それを適用したものを表222.2に示します。SPFが0となるため、LAT2統合でもSPF統合でも
- $M_\text{PMHF,SPF}=0$
- $M_\text{PMHF,DPF1}=\beta$
となり変わりません。
(1)SPF | (2)DPF1 | (3)DPF2 | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
LAT2統合 | $0$ | $\beta$ | $\beta$ | |||
規格式1(1)+(2)$\dagger$ | $\beta$ | |||||
規格式3(1)+(2)+(3)$\dagger$ | $2\beta$ | |||||
(1)SPF | (2b)SPF' | (2a)DPF1 | (3)DPF2 | |||
LAT2分離 | $0$ | $0$ | $\beta$ | $\beta$ | ||
(1)+(2b)SPF | (2a)DPF1 | (3)DPF2 | ||||
SPF統合 | $0$ | $\beta$ | $\beta$ | |||
SPF/DPF統合 | $0$ | $2\beta$ |
$$M_\text{PMHF,RD}=\bbox[#ccffff,2pt]{2\beta}\\ =\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{MPF}\tau\right]\tag{222.10}$$
$\dagger$規格式1: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第1式(ブログの図104.2)の条件=IFが後にフォールトする場合。DPF2はSMが後にフォールトする場合なので対象外
$\dagger$規格式3: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第3式(ブログの図105.2)の条件=IF, SMのフォールトの順を問わない場合
13 |
$M_\text{PMHF}$の計算 (8) |
IFUモデル LAT2分離
IFUモデルのLAT2ステートにおいて、IFのアンプリベンタブル(VSG抑止不可)な部分にフォールトが起きた場合、そのフォールトはSMのup/down状態に依存しないため、本質的には広義のSPF(SMがあるので狭義ではRF)ですが、形式的にはSMのフォールトに引き続いて起きるためDPFとしました(#104)。
前稿(#102~#108)のPMHF導出においては、DPFとして扱いましたが、「$M_{\mathrm{PMHF}}$の計算(2)」のMarkov chain図を変更し、LAT2からDPF1への遷移(2)を分離して、DPF1への遷移(2a)とSPF1への遷移(2b)とに分離します(図221.1の赤矢印)。
図221.1の(1)、(3)の確率微分方程式は変わりません。まず(2a)のDPF1方向への確率積分は、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{DPF1,IFU}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{DPF1\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\cap\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\\ & &\cap\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}\Pr\{\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}\} \end{eqnarray} \tag{221.1} $$ ここで(104.2)、(104.3)より、 $$ \Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\}\Pr\{\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\=R_{\mathrm{IF}}(t)Q_{\mathrm{SM}}(t)\tag{221.2} $$ (104.4)より、 $$ \Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\}=\lambda_{\mathrm{IF}}dt\tag{221.3} $$ (221.2)、(221.3)を(221.1)に用いれば、 $$ \overline{q_{\mathrm{DPF1,IFU}}}=\frac{K_{\text{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)R_{\mathrm{IF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt \tag{221.4} $$ ゆえに、(104.5)の結果を利用すれば、(2a)は、 $$ (221.4)=K_{\text{IF,RF}}\alpha\tag{221.5} $$
次に(2b)のSPF方向への確率積分は、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{SPF(2b),IFU}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{SPF(2b)\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\cap\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\\ & &\cap\overline{\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}\Pr\{\overline{\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}}\} \end{eqnarray} \tag{221.6} $$ 同様に(221.2)、(221.3)を用いれば、 $$ \overline{q_{\mathrm{SPF(2b),IFU}}}=\frac{1-K_{\text{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)R_{\mathrm{IF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt \tag{221.7} $$ ゆえに、(104.5)の結果を利用すれば、(2b)は、 $$ (221.7)=(1-K_{\text{IF,RF}})\alpha\tag{221.8} $$
IFUモデル SPF統合
$\dagger$「IFUモデルのLAT2において、IFのアンプリベンタブル部分にフォールトが起きた場合」について、SPFへの遷移(2b)とDPF1への遷移(2a)の確率積分を行いました。今度はSPFへの確率積分を統合します。図221.1において(1)と(2b)はいずれもSPFとして扱い、これをSPF統合と呼びます。
- LAT2統合 --- $\dagger$の場合、SPFへの遷移(2b)は本質的にSPFであるが、形式的にSMのフォールトに引き続くDPF(2)=(2a)+(2b)として計算、#103~#105の議論
- LAT2分離 --- $\dagger$の場合、LAT2からの遷移(2)を、SPFへの遷移(2b)とDPF1への遷移(2a)に分離、本稿の議論
- SPF統合 --- $\dagger$の場合、LAT2からSPFへの遷移(2b)と、元のOPRからSPFへの遷移(1)を統合、LAT2分離によりそれぞれ求めた確率の組み合わせを変更、本稿の議論
- SPF/DPF統合 --- $\dagger$の場合、SPF統合に加えて、DPF1とDPF2は同じ状態であるため、DPFも統合
それぞれの方式のPMHF式と、参考にPMHF規格式を比較すると、表221.1のようになります。前稿からの変化部分を黄色で示しています。
(1)SPF | (2)DPF1 | (3)DPF2 | ||
---|---|---|---|---|
LAT2統合 | $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-(1-K_\text{IF,RF})\alpha$ (103.7) |
$\alpha$ (104.5) |
$K_\text{IF,RF}\alpha$ (105.5) |
|
規格式1(1)+(2)$\dagger$ | $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_\text{IF,RF}\alpha$ (104.6) |
|||
規格式3(1)+(2)+(3)$\dagger$ | $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+2K_\text{IF,RF}\alpha$ | |||
(1)SPF | (2b)SPF' | (2a)DPF1 | (3)DPF2 | |
LAT2分離 | $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-(1-K_\text{IF,RF})\alpha$ | $(1-K_\text{IF,RF})\alpha$ (221.8) |
$K_\text{IF,RF}\alpha$ (221.5) |
$K_\text{IF,RF}\alpha$ |
(1)+(2b)SPF | (2a)DPF1 | (3)DPF2 | ||
SPF統合 | $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}$ | $K_\text{IF,RF}\alpha$ | $K_\text{IF,RF}\alpha$ | |
SPF/DPF統合 | $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}$ | $2K_\text{IF,RF}\alpha$ |
ただし$\alpha:=\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1- K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau]$
以上より、一般式は、 $$M_\text{PMHF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+2K_\text{IF,RF}\alpha\\ =(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,MPF}\tau\right]\tag{221.9}$$
SPF統合は、SPFのPMHFがRFの定義そのままという、非常に単純な式となっています。従って、#103のSPFのPMHF式や1st editionの規格式が複雑なのは、形式上のDPFをSPFから差し引いたためと言えます。また、DPF1とDPF2はルートが異なるのに同一の確率となっているのが少々驚きです。
$\dagger$規格式1: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第1式(ブログの図104.2)の条件=IFが後にフォールトする場合。DPF2はSMが後にフォールトする場合なので対象外
$\dagger$規格式3: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第3式(ブログの図105.2)の条件=IF, SMのフォールトの順を問わない場合
RAMS 2021において、PMHF式に基づくFTA構築法の論文発表が終了したため、本記事を開示します。
11 |
ISO 26262のFTAに関する論文 (18) |
元に戻って最初の論文を見てみたいと思います。元の論文のFTはLFが考慮されていないものでした。これに対して、前稿において、ワーストケース評価をするため、2nd SMのDC(Diagnostic Coverage)をゼロとして評価しました。
これに対して2nd SMのDCを考慮したらどうなるかを前稿と同様の考え方でやってみます。数式やFTの書き換えルールは基本的に前稿を踏襲しますが、IFUモデルとIFRモデルで数式が異なります。いずれにせよ、$K_\text{SM,MPF}=0$とおいたところに仮に$K_\text{SM,MPF}=0.6$と仮定して計算します。
すると、係数$C_\text{SM,MPF}=0.5368$となり、この係数をEBMとOn-line monitorのDPF項に掛けることになるため、そのFTは図219.1のようになります。
図219.2に図219.1のFTの拡大図を示します。C100として上記係数0.5368をかけています。
MCS分析を実施すると、42個のMCが得られ、3個以上のエレメント故障をカットすると、24個のMCが残ります。結果として、全く変化はありませんでした。
今回カットされた積項を表219.1に示します。加えた定数(赤字)は全て3点故障以上の積項に掛けられており、全てカットされています。ただし、カットされた積項は18個のはずですが、ツールのバグか17個となっています。
得られたMCSを表219.2に示します。エレメント故障は2以下のみであり、定数を青字で示しています。
元々2 outof 4という変則的な2冗長内部のSMなので、IFとSMのANDはそれだけで4エレメント故障の積項となります。従って、この積項に何を追加しても元々消えるべき項でした。
RAMS 2021において、PMHF式に基づくFTA構築法の論文発表が終了したため、本記事を開示します。
ページ: