人間:

$Q(t)$ (Point Unavailability)を時間微分したものが$q(t)$ (Point Unavailable Density; PUD)ですが、どのような式になりますか？

ChatGPT:

不稼働度 $Q(t)$ の時間微分は、その瞬間の不稼働確率密度 $q(t)$ を与えます。先ほどの $Q(t)$ の式から、以下のように $q(t)$ を得ることができます。

$$ q(t) = \frac{dQ(t)}{dt} $$

この微分を計算すると、次の結果が得られます。

$$ q(t) = \img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} $$

ここで、$f(t)$ は時間 $t$ における故障率（PDT: Point Density of Failures）であり、 $f(u)$ は時間 $u$ における故障率です。また、 $K_\text{MPF}$ は検出率を表します。これは、時間 $t$ と $u=t-n\tau$ における故障の一部が検出され修理されることを示しています。

第2項の符号が誤っています。また、説明において、$f(t)$を誤って「故障率」と呼んでいるのは見過ごせません。

なお、本稿はRAMS 2025に投稿予定のため一部を秘匿しています。

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人間:

それでは不稼働度$Q(t)$はどうなりますか？$F(t)$を用いて表してください。できるかぎり簡約化して$F(t)$項でまとめて表してください。定数は先頭に出してください。

ChatGPT:

稼働度 $A(t)$ の最終形を $1 - F(t)$ によって表現し、それを用いて不稼働度 $Q(t) = 1 - A(t)$ を求めます。

稼働度 $A(t)$ の最終形式は次の通りでした：

$$A(t) = (1 - K_\text{MPF}) (1 - F(t)) + K_\text{MPF} (1 - F(u))$$

これを $Q(t)$ の式に代入します：

$$Q(t) = 1 - {(1 - K_\text{MPF})(1 - F(t)) + K_\text{MPF}(1 - F(u))}$$

これを整理します：

$$Q(t) = F(t) - K_\text{MPF} (F(t) - F(u))$$

更にこれを整理すると、

$$Q(t) = (1 - K_\text{MPF})F(t) + K_\text{MPF} F(u) $$

となります。これは不稼働度 $Q(t)$ が不信頼度 $F(t)$ と $F(u)$ の組み合わせで表されることを示しています。ただし、これは修理の間隔 $\tau$ が一定である場合に限ります。

先生側(人間側)の手助けもあり、$Q(t)$を正しく導出できました。一方、ChatGPTとの会話の中で、(626.2)の式の誤りも検出できました。教えるのが一番の勉強とはまさにこのことです。

なお、本稿はRAMS 2025に投稿予定のため一部を秘匿しています。

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人間:

$A(t)$はどうなりますか？$u\equiv t-n\tau$として最終形の$A(t)$を$t$と$u$で表してください($n$と$\tau$を消去)。$R(t)$項でまとめ、定数は項の先頭に出してください。

ChatGPT:

変数変換 $u \equiv t - n\tau$ を用いて稼働度 $A(t)$ の表現を変換します。初めに求めた最終形

$$ A(t) = R(t) - K_\text{MPF} R(t) + K_\text{MPF} R(t - n\tau) $$

で、$t - n\tau$ を $u$ とすると、式は以下のように書き換えられます：

$$ A(t) =\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} $$

これは、時間 $t$ での稼働度 $A(t)$ が信頼度 $R(t)$ と前回の修理からの時間 $u$ での信頼度 $R(u)$ の組み合わせであることを示しています。ここで、修理の間隔 $\tau$ と修理の回数 $n$ が消去されています。

細かく指示した結果、$A(t)$を正しく導出できました。

なお、本稿はRAMS 2025に投稿予定のため一部を秘匿しています。

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人間:

なるほど、その理由がわかりました。 $$m(x)=K_\text{MPF}F(i\tau)$$ としていたのが誤りでした。

正しくは、$m(x)$はリニューアルデンシティなので、瞬間の変化量です。修理量は検査区間において 積分した故障について一定値$K_\text{MPF}$をかけるので、 $$\int_0^\tau m(x)dx = \int_0^\tau K_\text{MPF}f(x)dx = K_\text{MPF}F(\tau)$$ とすべきでした。これであれば次元の矛盾は解消されます。

ChatGPT:

ご説明いただきありがとうございます。おっしゃるとおり、$m(x)$はリニューアル密度として瞬間的な変化を表し、故障の累積に一定の値をかける形で修理量が表現されます。

これに基づき、$\int_0^{\tau} m(x)dx = \int_0^{\tau} K_\text{MPF} f(x)dx = K_\text{MPF}F(\tau)$と修正した形で表現すると、次元の矛盾が解消されます。

したがって、稼働度 $A(t)$ の方程式は次のようになります。

$$ A(t) = R(t) + K_\text{MPF} \left[ \sum_{i=1}^{n} (1 \cdot R(t-i\tau) - R(\tau) \cdot R(t-i\tau)) \right] $$

さらに、$i=n$ のときの第1項と、$j=0$ のときの第2項のみがキャンセルされず残ります。そのため、結果は次のようになります。

$$ A(t) = \img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} $$

これにより、次元的な問題が解消され、稼働度 $A(t)$ の表現が一貫性を持つようになりました。ただし、具体的な値は $R(t)$ の形状や特性、そして $K_\text{MPF}$ の値によります。

(626.2)の式は誤っていました(現在は修正済み)。$m(x)$は確率密度なので区間で積分しなければ修理度になりません。ChatGPTとの対話により、この誤りに気付くことができました。

なお、本稿はRAMS 2025に投稿予定のため一部を秘匿しています。

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人間:

ところで、$A(t)$の式は次元間違いがあるのではないでしょうか？$A(t)$も$R(t)$も無次元ですが、$K_\text{MPF}$のかかる項では$K_\text{MPF}$と$R(t)$が無次元なのに$\tau$が時間の次元を持ちます。

ChatGPT:

ご指摘いただいた通り、$A(t)$と$R(t)$は両方とも無次元量で、これらは時間 $t$ によって変化します。一方で、$\tau$ は時間の次元を持ちます。そのため、$K_\text{MPF} \cdot \tau$ の項が時間の次元を持ってしまいます。これは次元的に矛盾が生じてしまいます。

あなたが初めに紹介した方程式は、

$$ A(t) = R(t) + \int_{0}^{t} m(x) \cdot R(t - x) dx $$

であり、ここで $m(x)$ は修理率で時間の逆数の次元を持つ量でした。したがって、修理率を反映した項は時間の次元を持たないということは不適切かもしれません。

したがって、もし $K_\text{MPF}$ が実際に修理率を表すのであれば、それは時間の逆数の次元を持つべきで、修理期間 $\tau$ を乗じると無次元になるべきです。この場合、次元的には問題ありません。

あるいは、$K_\text{MPF}$ が無次元であるならば、$K_\text{MPF} \cdot \tau$ が無次元となるように、別の無次元パラメータを導入する必要があります。たとえば、$K_\text{MPF}$ を修理率に関する無次元化パラメータとして解釈することも考えられます。ただし、その場合、$K_\text{MPF}$ の解釈やその値をどのように決定するかが問題となります。

最終的な $A(t)$ の式を得るためには、これらの考慮事項を含めた更なる情報が必要になります。

ChatGPTも何かおかしいと思っているようです。少々考えてみましょう。

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人間:

計算が間違っているようです。$i=1, 2, 3, ..., n$とし、$j=(i-1)=0, 1, 2, ... n-1$とします。和の項が大部分キャンセルするので、$\sum$の項をそれぞれ第1、第2項とすると、第1項が$i=n$のとき、第2項が$j=0$のときのみがキャンセルされずに残ります。$A(t)$はどうなりますか？

ChatGPT:

了解しました。インデックス $i$ を $1, 2, 3, ..., n$ とし、$j = i - 1$ を $0, 1, 2, ..., n-1$ とします。そして、和の項がほとんどキャンセルすることを利用します。このとき、$A(t)$ の方程式は次のようになります。

$$ A(t) = R(t) + K_\text{MPF} \cdot \tau \left[ \sum_{i=1}^{n} R(t-i\tau) - \sum_{j=0}^{n-1} R(t-j\tau) \right] $$

そして、$i=n$ のときの第1項と、$j=0$ のときの第2項のみがキャンセルされず残ります。そのため、結果は次のようになります。

$$ A(t) = R(t) + K_\text{MPF} \cdot \tau \left[ R(t-n\tau) - R(t) \right] $$

したがって、最終的な $A(t)$ の式は次のようになります。

$$ A(t) = R(t) - K_\text{MPF} \cdot \tau \left[ R(t) - R(t-n\tau) \right] $$

この式は、時間 $t$ での稼働度 $A(t)$ を表しています。ただし、具体的な値は $R(t)$ の形状や特性、そして $K_\text{MPF}$ の値によります。

丁寧に教えた結果、$A(t)$の式を導出できました。ただし、元々$A(t)$の式は正しくないことに注意。その点を指摘します。

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記事「$Q(t)$とChatGPT (4)」の続きです。

人間:

最後が誤っています。$R(\tau)R(t-i\tau)=R(t-(i-1)\tau)$と変形されます。

ChatGPT:

大変申し訳ありません。指摘いただいた通り、修理後に信頼度がリセットされるので、$R(\tau) \cdot R(t - i\tau)$は実際には次の修理までの信頼度、つまり$R(t - (i-1)\tau)$ となるべきです。

修正した結果は以下のようになります：

$$ A(t) = R(t) + K_\text{MPF} \cdot \tau \left[ \sum_{i=1}^{n} R(t-i\tau) - \sum_{i=1}^{n} R(t-(i-1)\tau) \right] $$

これをさらに整理して、

$$ A(t) = R(t) + K_\text{MPF} \cdot \tau \left[ R(t) - R(t - n\tau) \right] $$

となります。この形にするためには、シグマの和の項がキャンセルして $R(t) - R(t - n\tau)$ となることを利用しました。

この結果は時間 $t$ での稼働度 $A(t)$ を示していますが、$R(t)$ の具体的な形状や特性により結果は変わります。また、$K_\text{MPF}$ がシステムの性能に依存する一定の値であると仮定しています。

計算において符号の誤りがあるようです。さらに、元々$A(t)$の式は正しくないことに注意。

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人間:

式変形を行います。まず$K_\text{MPF}$は定数であり、$\sum$の外に出せます。次に$F(\tau)$を$(1-R(\tau))$とし、そのカッコをはずします。これは展開とも言い、1の項と$\sum$の項をかけ、そこから$R(\tau)$の項と$\sum$の項をかけたものを引きます。$A(t)$を求めてください。

ChatGPT:

了解しました。与えられた指示に基づいて、稼働度 $A(t)$ の式を変形してみましょう。まず、定数 $K_\text{MPF}$ をシグマの外に出します。次に、不信頼度 $F(\tau)$を $1 - R(\tau)$ と置き換え、展開します。この結果、次のような式を得ます：

$$ A(t) = R(t) + K_\text{MPF} \cdot \tau \left[ \sum_{i=1}^{n} (1 \cdot R(t-i\tau) - R(\tau) \cdot R(t-i\tau)) \right] $$

これをさらに整理すると、

$$ A(t) = R(t) + K_\text{MPF} \cdot \tau \left[ \sum_{i=1}^{n} R(t-i\tau) - \sum_{i=0}^{n} R(\tau) \cdot R(t-i\tau) \right] $$

$$ A(t) = R(t) + K_\text{MPF} \cdot \tau \left[ \sum_{i=1}^{n} R(t-i\tau) - n \cdot R(\tau)^2 \right] $$

となります。ただし、最後の等式では、すべての$i$ について $R(\tau)$ が一定であると仮定しました。

これは、時間 $t$ における稼働度$A(t)$ を表していますが、$R(t)$ の具体的な形状や特性によって、結果は大きく異なる可能性があります。

いくつか計算間違いがあるようです。さらに元々$A(t)$の式は正しくないことに注意。

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人間:

本来不信頼度は時刻$i\tau$までに$F(i\tau)$です。ところが、$(i−1)\tau$時点ですべて修理されているため、各区間先頭の$i\tau$ではゼロにリセットされます。 従って、時刻を$−(i−1)\tau$だけ移動すると、$F(iτ−(i−1)\tau)=F(\tau)$となります。

ChatGPT:

なるほど、それぞれの修理周期が始まるときに不信頼度がリセットされるのであれば、不信頼度は周期的に変動することになります。すなわち、各修理インターバルの開始時点では不信頼度はゼロにリセットされ、その後一定の速度で増加し、次の修理時点までに $F(\tau)$ になります。この条件を反映するために、稼働度 $A(t)$ の式を以下のように書き直すことができます：

$$ A(t) = R(t) + \tau \sum_{i=1}^{n} F(\tau) \cdot K_\text{MPF} \cdot R(t-i\tau) $$

ここで $F(\tau)$ は各修理インターバルの終了時点での不信頼度を表します。また、信頼度 $R(t)$ の更新も各修理インターバルの開始時点で行われると仮定しました。

これは、各修理インターバルが互いに独立していて、それぞれのインターバルの開始時点でシステムが新品同様の状態に戻る（つまり、不信頼度がゼロにリセットされる）という仮定に基づいています。

• 各検査周期において、不信頼度がゼロリセットされるため、区間での不信頼度は$F(\tau)$となるが、それを導出させることは困難であったため、結果を与えた。
• $A(t)$の式は正しくないことに注意。

なお、本稿はRAMS 2025に投稿予定のため一部を秘匿しています。

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人間:

ここで、$m(iτ)$は時刻$i\tau$における修理率です。修理率は、不信頼度×検出率と書き換えられます。検出率は2nd SMの能力で決まるとして、一定値$K_\text{MPF}$とします。検出した分は全て修理される原則です。不信頼度は$F(t)$です。以上から$A(t)$を書き直してください。

ChatGPT:

了解しました。修理率 $m(i\tau)$ が不信頼度 $F(t)$ と一定の検出率 $K_\text{MPF}$ の積とすると、$m(i\tau) = F(i\tau) \cdot K_\text{MPF}$ と表現できます。これを稼働度 $A(t)$ の方程式に代入すると、以下のようになります：

$$ A(t) = R(t) + \tau \sum_{i=1}^{n} F(i\tau) \cdot K_\text{MPF} \cdot R(t-i\tau) $$

ここで、検出率 $K_\text{MPF}$ は2nd SMの能力に基づく一定の値です。また、不信頼度 $F(t)$ と信頼度 $R(t)$ は通常、$F(t) = 1 - R(t)$ の関係にあるとされますが、これはシステムや状況により変わる可能性があるため、具体的な数値を求める際にはこの関係性を確認する必要があります。

$A(t)$の式は正しくないことに注意。後で指摘します。

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