具体例をサイコロの目で表してきましたが、部品の故障とは関係ないので、あまりピンときません。そのため、確率変数を部品の故障で考えることにします。すでに確率変数をFFOT(Failure Free Operating Time)で考慮してきましたが、標本空間$\Omega$や確率空間$(\Omega, \mathcal{F}, P)$から考え直します。

最初に標本空間$\Omega$は、N個の部品から構成されているサブシステムにおいて、全ての故障事象とします。従って、$\Omega$の元は$N$個であり、状態はそれぞれにup, downがあるため、$2^N$です。 $$ \Omega=\{(\omega_n)_{n\in N};\omega_n\in\{\text{up, down}\}\} $$ 次に$\sigma$加法族は$\Omega$の部分集合となりますが、 確率変数$X_n:\Omega\to\mathbb{R}$をn番目の部品のupかdownかを示すものとして、 $$ X_n(\omega)=X(\omega_n)=\begin{cases}1&\omega_n\in\text{up}\\ 0&\omega_n\in\text{down} \end{cases} $$

期待値

確率変数が以下の形で書けるとき、確率変数は単確率変数と呼ぶ。 $$ X(\omega)=\sum_i a_i\mathbf{1}_{A_i}(\omega),\ \ \ \ a_i\in\mathbb{R}, A_i\in\mathcal{F} $$

ただし、$\mathbf{1}_{A_i}(\omega)$は$A\in\mathcal{F}$の指示関数で、

$$ \mathbf{1}_A(\omega):= \begin{cases} 1 & (\omega\in A) \\ 0 & (\omega\notin A) \end{cases} $$

で定義されるものとし、このとき、先の単確率変数の期待値は、以下により定義される。 $$ E(X):=\int_\Omega X(\omega)P(d\omega)=\sum_ia_iP(A_i) $$

指示関数はディラック測度とも呼ばれます。 $$ \delta_\omega(A)= \begin{cases} 1 & (\omega\in A) \\ 0 & (\omega\notin A) \end{cases} $$

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