任意の集合$A$及び$B$について、以下の2つの等式が成立する。 $$ \overline{(A\cap B)}=\overline{A}\cup\overline{B}, 及び\overline{(A\cup B)}=\overline{A}\cap\overline{B} $$

証明： 記号$\lor$を論理和、$\land$を論理積とする。全体集合を$\Omega$として、$\forall x$に対して $$ x\in\overline{(A\cap B)}\Rightarrow x\in\Omega\setminus (A\cap B)\\ \Rightarrow x\in\{x\in\Omega\land x\notin (A\cap B)\}\\ \Rightarrow x\in\{(x\in\Omega\land x\notin A)\lor(x\in\Omega\land x\notin B)\}\\ \Rightarrow x\in(\{x\in\Omega\land x\notin A\}\cup\{x\in\Omega\land x\notin B)\})\\ \Rightarrow x\in\overline{A}\cup\overline{B} $$ よって、$\overline{(A\cap B)}\subset\overline{A}\cup\overline{B}$が成立する。同様に、$\forall x$に対して $$ x\in(\overline{A}\cup\overline{B}) \Rightarrow x\in(\{x\in\Omega\land x\notin A\}\cup\{x\in\Omega\land x\notin B)\})\\ \Rightarrow x\in\{(x\in\Omega\land x\notin A)\lor(x\in\Omega\land x\notin B)\}\\ \Rightarrow x\in\{x\in\Omega\land x\notin (A\cap B)\}\\ \Rightarrow x\in\Omega\setminus (A\cap B)\Rightarrow x\in\overline{(A\cap B)} $$ より、$\overline{A}\cup\overline{B}\Rightarrow\overline{(A\cap B)}$が成立する。以上より $$ \overline{(A\cap B)}=\overline{A}\cup\overline{B} $$

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