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規格第2版のPMHF式の疑問 (2) |
「ISO 26262第2版解説書」(日本規格協会)のPMHF式の続きです。
そもそもの(309.2)式ですが、意味を考えてみます。まずSMとIFのフォールトは独立なので、SMとIFの確率は積で表されるのは正しいです。一方で独立ではないIF同志の確率が積で表されるところが誤っています。具体的には、時刻$t$から$T_\text{lifetime}$までの、IFの故障確率は、遷移確率が故障率$\times dt$となるため、
$$
\int_t^{T_\text{lifetime}}d\!\Pr\{\text{IF fails in }(t', t'+dt]\ \cap\ \text{IF not failed till }t'\}\\
=\int_t^{T_\text{lifetime}}d\!\Pr\{\text{IF fails in }(t', t'+dt]\ | \text{IF not failed till }t'\}\cdot\Pr\{\text{IF not failed till }t'\}\\
=\int_t^{T_\text{lifetime}}\lambda_\text{IF}R_\text{IF}(t')dt'=\int_t^{T_\text{lifetime}}f_\text{IF}(t')dt'
\tag{310.1}
$$
となるはずです。(310.2)は独立ではない事象を確率の積をとり、
$$
\int_t^{T_\text{lifetime}}d\!\Pr\{\text{IF fails in }(t', t'+dt]\ \cap\ \text{IF not failed till }t'\}\\
=\int_t^{T_\text{lifetime}}d\!\Pr\{\text{IF fails in }(t', t'+dt]\}\cdot\Pr\{\text{IF not failed till }t'\}\}\ \ \ \ ※1\\
=\int_t^{T_\text{lifetime}}f_\text{IF}(t')R_\text{IF}(t')dt'\\
=\int_t^{T_\text{lifetime}}f_\text{IF}(t')R_\text{IF}(\color{red}{t})dt'\ \ \ \ ※2\tag{310.2}
$$
※1 独立で無い事象の積としている
※2 積分変数を勝手に変更している
としているところが疑問です(疑問2, 3)。
どうやら、勝手に積分変数を変更しているのではなくて以下のように、 $$ \int_t^{T_\text{lifetime}}d\!\Pr\{\text{IF fails in }(t', t'+dt]\}\cdot\Pr\{\text{IF not failed till }t\}\\ =\int_t^{T_\text{lifetime}}f_\text{IF}(t')dt'\cdot R_\text{IF}(t)\tag{310.3} $$ と推測します。この場合、時刻$t$から$t'$の間の確率が無視されているので、結局誤りです。
なお、本稿はRAMS 2024に投稿予定のため一部を秘匿していますが、論文公開後の2024年2月頃に開示予定です。
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