べき集合

時々測度論(もしくはその前の集合論)に戻って解説します。集合$X$の全ての部分集合を考えます。この集合にはべき集合と名前がつけられており、$2^X$で表します。

まず、高々加算個の元$X_i\ (i=1,2,...)$を持つ集合$X$を以下のように表します。 $$X=\{x:x_i\ (i=1, 2, ...)\}$$

$X$の全ての部分集合は、$X$の元の一つ一つについて、作成する部分集合$A_j$に入れるか入れないかを、全ての組み合わせを考えることにより生成できます。そこで、全ての組み合わせの数と部分集合の個数は等しく、その個数は$2^{|X|}$となります。この入れる$(=1)$か入れない$(=0)$かを式で書くと、 $$ f_j(x_i)\ (i=1,2,...)= \begin{cases} 1 & (x_i\in A_j) \\ 0 & (x_i\notin A_j) \end{cases} s.t. j=1, 2, ..., 2^{|X|} $$ という写像の組により与えられます。写像の組を集合関数と置きなおせば、 $$ f_j(A_i)= \begin{cases} 1 & (i=j) \\ 0 & (i\neq j) \end{cases} $$ このように、生成する部分集合$A_j$と写像$f_j$は一対一対応しており、$j=1,2,...2^{|X|}$となります。

これだけだとイメージがわかないので例を挙げます。

$$X=\{1, 2, 3\}$$ として、べき集合$2^X$を考えると、 $$ \begin{cases} X & f_j(x_1) & f_j(x_2) & f_j(x_3) & A_j & A_j^c & j\\ \{1, 2, 3\} & 0 & 0 & 0 & \varnothing & \{1, 2, 3\} & 1\\ \{1, 2, 3\} & 1 & 0 & 0 & \{1\} & \{ 2, 3\} &2\\ \{1, 2, 3\} & 0 & 1 & 0 & \{2\} & \{1, 3\} &3\\ \{1, 2, 3\} & 0 & 0 & 1 & \{3\} & \{1, 2\} &4\\ \{1, 2, 3\} & 1 & 1 & 0 & \{1, 2\} & \{3\} &5\\ \{1, 2, 3\} & 1 & 0 & 1 & \{1, 3\} & \{2\} &6\\ \{1, 2, 3\} & 0 & 1 & 1 & \{ 2, 3\} & \{1\} &7\\ \{1, 2, 3\} & 1 & 1 & 1 & \{1, 2, 3\} & \varnothing &8\\ \end{cases} $$ から、部分集合$A_j$を全て含む集合となるので、 $$ 2^X=\{A_j:j=1,2,...,2^3\}=\{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\} $$ と求められます。

集合関数$f_j$を全て書き並べると、以下のようになります。 $$ \begin{cases} f_1(A)= \begin{cases} 1\ (A=A_1=\varnothing)\\ 0\ (A\neq A_1=\varnothing) \end{cases}\\ f_2(A)= \begin{cases} 1\ (A=A_2=\{1\})\\ 0\ (A\neq A_2=\{1\}) \end{cases}\\ f_3(A)= \begin{cases} 1\ (A=A_3=\{2\})\\ 0\ (A\neq A_3=\{2\}) \end{cases}\\ f_4(A)= \begin{cases} 1\ (A=A_4=\{3\})\\ 0\ (A\neq A_4=\{3\}) \end{cases}\\ f_5(A)= \begin{cases} 1\ (A=A_5=\{1, 2\})\\ 0\ (A\neq A_5=\{1, 2\}) \end{cases}\\ f_6(A)= \begin{cases} 1\ (A=A_6=\{1, 3\})\\ 0\ (A\neq A_6=\{1, 3\}) \end{cases}\\ f_7(A)= \begin{cases} 1\ (A=A_7=\{2, 3\})\\ 0\ (A\neq A_7=\{2, 3\}) \end{cases}\\ f_8(A)= \begin{cases} 1\ (A=A_8=\{1, 2, 3\})\\ 0\ (A\neq A_8=\{1, 2, 3\}) \end{cases}\\ \end{cases} $$

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