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故障率 (2) |
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和文は英文の後に続きます。
(English text comes here.)
$$
v(0)=??
$$
$$
v(0)=100
$$
$$
v(t+1)-v(t)
$$
$$
-v(t)\cdot \lambda
$$
$$
v(t+1)-v(t)=-\lambda\cdot v(t)
$$
$$
N=v(0)
$$
$$
\frac{v(t+1)}{N}-\frac{v(t)}{N}=-\lambda t\cdot\frac{v(t)}{N}
$$
$$
R(t) \stackrel{def}=\frac{v(t)}{v(0)}=\frac{v(t)}{N}
$$
$$
R(t+1)-R(t)=-\lambda\cdot R(t)
$$
$$
R(t+\Delta t)-R(t)
$$
$$
\frac{1}{\Delta t}\cdot[R(t+\Delta t)-R(t)]=-\lambda R(t)
$$
$$
\lim_{\Delta t \to 0}\frac{R(t+\Delta t)-R(t)}{\Delta t}=-\lambda R(t)
$$
$$
\frac{dR(t)}{dt}=-\lambda R(t)
$$
$$
-\lambda=\frac{1}{R(t)}\frac{dR(t)}{dt}
$$
$$
-\lambda=\frac{d}{dt}\ln R(t)
$$
$$
-\int_0^t \lambda dx=-\lambda t + C_1
$$
$$
\int_0^t \frac{d}{dx}\ln R(x)dx=\ln R(t)+C_2
$$
$$
-\lambda t=\ln R(t)+C
$$
$$
R(t)=e^{-\lambda t-C}
$$
$$
v(0)=N=100\\
\frac{v(0)}{N}=R(0)=1
$$
$$
R(0)=e^{-0-C}=1\\
C=0
$$
$$
R(t)=e^{-\lambda t}\\
F(t)=1-e^{-\lambda t}
$$
$$
F(t)=1-R(t)=1-e^{-\lambda t}
$$
