人間:

$t, u$で表現してください。

ChatGPT:

指摘いただき、ありがとうございます。以下に修正した数式を示します。

検出可能な故障と検出不可能な故障の合計不稼働度 $ Q_\text{SM}(t) $ は、$ u = t - \tau_n $ として以下のように表されます。

$$ Q_\text{SM}(t) = Q_\text{SM}^{(1)}(t) + Q_\text{SM}^{(2)}(t) = F_\text{SM}(u) K + F_\text{SM}(t) (1 - K) $$

ここで、$ F_\text{SM}(u) $ は最後の検査以降の時間 $ u $ における不信頼度、$ F_\text{SM}(t) $ は全体の不信頼度を示します。また、$ K $ はフォールトの検出率を表しています。

定数を前置して、非検出の場合の項を前にしてください。

ご指摘いただき、ありがとうございます。指定通り、不稼働度 $ Q_\text{SM}(t) $ を再定義します。ここで、 $ u = t - \tau_n $ と置いています。

$$ Q_\text{SM}(t) = \img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} $$

上記の式では、$ (1 - K) F_\text{SM}(t) $ 項が検出不可能な故障（検出されずに残る故障）を示し、$ K F_\text{SM}(u) $ 項が検出可能な故障（検出されて修理される故障）を示します。また、$ K $ はフォールトの検出率を表しています。

単純な計算ミス等が発生して少々もたつきましたが、正解を導き出しました。特に説明を求めていないにも関わらず、式の説明までしてくれるところが興味深いです。

なお、本稿はRAMS 2025に投稿予定のため一部を秘匿しています。

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人間:

検出不可能な故障の説明が誤りです。いかなる検出周期でも検出できないのだから、$t$までに一度も修理がおきず、$t$における不稼働度は不信頼度に等しいわけです。

ChatGPT:

申し訳ありません、再度の間違いを訂正します。

検出不可能な故障：これはいかなる検査周期でも検出されない故障です。したがって、故障が発生した瞬間から、時刻 $ t $ まで一度も修理が行われず、その結果、不稼働度 $ Q_\text{SM}^{(2)}(t) $ はそのまま故障発生時から時刻 $ t $ までの不信頼度 $ F_\text{SM}(t) $ に等しくなります。

$$ Q_\text{SM}^{(2)}(t) = F_\text{SM}(t) $$

これを以前に計算した検出可能な故障についての不稼働度と合わせると、全体の不稼働度 $ Q_\text{SM}(t) $ は以下のようになります。

$$ Q_\text{SM}(t) = Q_\text{SM}^{(1)}(t) + Q_\text{SM}^{(2)}(t) = F_\text{SM}(t - \tau_n) K + F_\text{SM}(t) $$

これで、定期検査と修理を行うシステムにおける、時刻 $ t $ における不稼働度を表現したことになります。

$K$を見落としているようです。

おっしゃるとおり、私の最後の数式には$ K $が抜けていました。お詫び申し上げます。その修正は次のようになります。

検出可能な故障と検出不可能な故障の合計不稼働度 $ Q_\text{SM}(t) $ は以下のように表すことができます。

$$ Q_\text{SM}(t) = Q_\text{SM}^{(1)}(t) + Q_\text{SM}^{(2)}(t) = F_\text{SM}(t - \tau_n) K + F_\text{SM}(t) (1 - K) $$

この式で、$ K $はフォールト検出率を表しています。

かなり修正されて良くなってきました。あと一息です。

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人間:

検出不可能な故障についての説明が誤りです。任意の時点でフォールトが起きたら時刻$t$まで検出不可能なので、そのように修正してください。

ChatGPT:

申し訳ありません、検出不可能な故障についての説明が不正確でした。以下に訂正した説明を提供します。

1. 検出可能な故障：
   これは最後の検査時間$ \tau_n $以降に起きたフォールトで、次の検査までに検出されると考えられます。したがって、$ t $における不稼働度$ Q_\text{SM}^{(1)}(t) $は、最後の検査以降に発生したフォールトの不信頼度$ F_\text{SM}(t - \tau_n) $と、フォールトが検出される確率$ K $の積として表されます。 $$ Q_\text{SM}^{(1)}(t) = F_\text{SM}(t - \tau_n) K $$

2. 検出不可能な故障：
   これは最後の検査時間$ \tau_n $より前に起き、次の検査までに検出されないと考えられるフォールトです。したがって、$ t $における不稼働度$ Q_\text{SM}^{(2)}(t) $は、最後の検査以前に発生したフォールトの不信頼度$ F_\text{SM}(\tau_n) $と、フォールトが検出されない確率$ 1 - K $の積として表されます。 $$ Q_\text{SM}^{(2)}(t) = F_\text{SM}(\tau_n) (1 - K) $$ ここで、$ \tau_n = \lfloor \frac{t}{\tau} \rfloor \tau $であり、$ u = t - \tau_n $としました。以上の2つの不稼働度を合計すると、全体の不稼働度$ Q_\text{SM}(t) $を得ます。 $$ Q_\text{SM}(t) = Q_\text{SM}^{(1)}(t) + Q_\text{SM}^{(2)}(t) = F_\text{SM}(t - \tau_n) K + F_\text{SM}(\tau_n) (1 - K) $$

検出可能な場合の説明は合っています。ところが検出不可能な場合の説明が、最後の検査を問題にしている点で誤っています。

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人間:

説明が矛盾しています。両方のケースで$1-K$を用いています。また、検出不可能なケースで$t-\tau_n$と誤って用いています。さらに検出可能なケースで$F_\text{SM}(t)$としています。

ChatGPT:

おっしゃる通り、私の説明は間違いが含まれております。ここでの重要な点は、検出可能な故障と検出不可能な故障について別々に考える必要があるということです。

検出可能な故障について考えると、これは最後の検査$ \tau_n $以降に発生し、次の検査時間までに検出されると考えられます。したがって、不稼働度$ Q_\text{SM}^{(1)}(t) $は、最後の検査以降に発生したフォールトの不信頼度$ F_\text{SM}(t - \tau_n) $とフォールトが検出される確率$ K $の積として表されます。

$$ Q_\text{SM}^{(1)}(t) = F_\text{SM}(t - \tau_n) K $$

一方、検出不可能な故障について考えると、これは最後の検査$ \tau_n $以前に発生し、次の検査時間までに検出されないと考えられます。したがって、不稼働度$ Q_\text{SM}^{(2)}(t) $は、最後の検査以前に発生したフォールトの不信頼度$ F_\text{SM}(u) $とフォールトが検出されない確率$ 1 - K $の積として表されます。

$$ Q_\text{SM}^{(2)}(t) = F_\text{SM}(u) (1 - K) $$

ここで、$ u = t - \tau_n $と置いています。これらを合計すると、全体の不稼働度$ Q_\text{SM}(t) $を得ることができます。

$$ Q_\text{SM}(t) = Q_\text{SM}^{(1)}(t) + Q_\text{SM}^{(2)}(t) = F_\text{SM}(t - \tau_n) K + F_\text{SM}(u) (1 - K) $$

検出可能の場合の説明は合っています。ところが、検出不可能の場合の説明が誤っています。

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前回は、稼働度の一般方程式 $$ A(t) = R(t) + \int_{0}^{t} m(x) \cdot R(t - x) dx $$ を定期修理の場合に特殊化することにより、数式変形を用いて不稼働度$Q(t)$を導出させましたが、今回は過去記事のように、不稼働度をフォールトの検出・非検出に分けて考えさせ、$Q(t)$を導出させます。

例によってChatGPTは毎回回答が変わるので、よりましな回答をした場合について記載します。まず、以下にChatGPTに対する質問を記載します。

人間:

ISO 26262の範囲では故障率$\lambda$は一定値をとるため、フォールトの分布は指数分布となります。

一般にはSM (Safety Mechanism)にフォールトが起きても直ちにVSG(Violation of a safety goal)とならないため、意図機能が動作している間に修理が可能であり、これをリペアラブルエレメントと言います。SMの故障率は$\lambda_\text{SM}$です。

定期検査修理スキームは以下のとおりです。2nd SMによるSMに対する定期検査が、周期$\tau$で行われます。 $i$番目の検査時刻は$i\tau,\ \ i=1,...,n$とするとき、最近の検査時刻を$\tau_n$とすれば、$\tau_n=n\tau=\lfloor\frac{t}{\tau}\rfloor \tau$と表されます。定期検査により検出された(フォールト検出率を$K$, 一定値)フォールトは全て、瞬時に修理されるものとします。

SMのフォールトについて、(1)検出可能、(2)検出不可能の2つに分けて考え、それぞれの、tにおける不稼働度$Q_\text{SM}(t)$を、SMの不信頼度$F_\text{SM}(t)$を用いて表現してください。$u\equiv t-\tau_n$として$\tau$及び$\tau_n$を消去したうえで$t, u$で表現してください。exponential表現は使用しないこと。

ChatGPT:

まず、故障が$ t $で発生し、それが検出可能かどうかを分けて考えてみましょう。

1. 検出可能なフォールト:
   これは、最後の検査$ \tau_n $以降に発生したものです。$ t $における不稼働度は、発生してから次の検査までの間故障が検出されない確率を考えればよく、これは、$ K $の補数である$ 1-K $を用いて表すことができます。したがって、$ t $における不稼働度$ Q_\text{SM}^{(1)}(t) $は次のようになります。 $$ Q_\text{SM}^{(1)}(t) = F_\text{SM}(t) (1 - K) $$

2. 検出不可能なフォールト:
   これは、最後の検査$ \tau_n $より前に発生したものです。$ t $における不稼働度は、発生してから最後の検査までの間故障が検出されない確率を考えればよく、これは、$ K $の補数である$ 1-K $を用いて表すことができます。したがって、$ t $における不稼働度$ Q_\text{SM}^{(2)}(t) $は次のようになります。 $$ Q_\text{SM}^{(2)}(t) = F_\text{SM}(t- \tau_n) (1 - K) $$ ここで、$ u = t - \tau_n $とすると、以上の2つの不稼働度をまとめて表現することができます。 $$ Q_\text{SM}(t) = Q_\text{SM}^{(1)}(t) + Q_\text{SM}^{(2)}(t) = F_\text{SM}(t) (1 - K) + F_\text{SM}(u) (1 - K) $$ これが、定期検査と修理を行うシステムにおける、$ t $における不稼働度を表現したものとなります。

考え方の方向は良いのですが、細部でいろいろ問題がありそうです。まず検出可・不可について両者ともに$1-K$を誤って用いています。さらに、検出可の場合は最後に検出された後からのフォールトのみを考えれば良いのですが、その点について検出不可の場合と混乱しているようです。

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人間:

$M_\text{PMHF}$の定義は以下です。

$$M_\text{PMHF}\equiv\frac{1}{T_\text{lifetime}}Q(T_\text{lifetime})$$

これを時刻$t$に対して書き、車両寿命間でどうなるかを見てみます。

時間は$t$=1e4まで、$\tau$=1000, $\lambda$=0.001、$K_\text{MPF}$=0.8のとき、$\frac{1}{t}Q(t)$のグラフを赤で描いてください。

ChatGPT:

# Update the parameters
tau = 1000
K_MPF = 0.8

# Redefine t_values to range from 0 to 1e4
t_values = np.linspace(0, 1e4, 1000)

# Calculate Q(t) for different values of t, choosing the appropriate value of i for each t
Q_values = [Q(t, int(t/tau)) if t != 0 else 0 for t in t_values]

# Calculate 1/t * Q(t) for different values of t
Q_t_values = [Q_val/t if t != 0 else 0 for t, Q_val in zip(t_values, Q_values)]

# Plot the function 1/t * Q(t)
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(t_values, Q_t_values, label="1/t * Q(t)", color="red")
plt.xlabel("Time (t)")
plt.ylabel("1/t * Q(t)")
plt.title("Graph of 1/t * Q(t) with τ = 1000, λ = 0.001 and K_MPF = 0.8")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

$M_\text{PMHF}$は本来はサブシステムに関するメトリクスですが、ここではあえてリペアラブルエレメント単体に関して不稼働度の時間平均のグラフを書かせてみました。

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人間:

$t$は1万時間、$\tau$は1000時間、$\lambda$は0.0001としたとき、$K_\text{MPF}$=0.2, 0.4, 0.6, 0.8の4本のグラフを一枚に表してください。また、色のバリエーションをつけてください。ただし明度が高いと見づらいので低くしてください。

ChatGPT:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math

# Parameters
lambda_ = 0.0001
tau = 1000
K_MPF_values = [0.2, 0.4, 0.6, 0.8]

# Functions
def F(t, lambda_):
    return 1 - np.exp(-lambda_ * t)

def Q(t, lambda_, tau, K_MPF):
    n = np.floor(t / tau)
    u = t - n * tau
    return (1 - K_MPF) * F(t, lambda_) + K_MPF * F(u, lambda_)

# Time range
t_max = 1e4
t = np.linspace(0, t_max, 500)

# Plot with color variation
plt.figure(figsize=(10, 6))

colors = ['blue', 'green', 'purple', 'red']

for K_MPF, color in zip(K_MPF_values, colors):
    # Compute Q(t)
    Q_t = Q(t, lambda_, tau, K_MPF)
    plt.plot(t, Q_t, label=f'K_MPF = {K_MPF}', color=color)

plt.xlabel('Time (t)', fontsize=14)
plt.ylabel('Q(t)', fontsize=14)
plt.title('Graph of Q(t) for various K_MPF', fontsize=16)
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

上記のグラフは、パラメータ $ \lambda = 0.0001, \tau = 1000 $ と時間範囲 $ t = 0 $ から $ t = 1 \times 10^{4} $ における $ K_{\text{MPF}} = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 $ の各ケースでの $ Q(t) $ の挙動を色分けして示しています。

各 $ K_{\text{MPF}} $ の値に対応するラインは、指定した色（青、緑、紫、赤）で描画されています。これにより、各 $ K_{\text{MPF}} $ の値の影響を一目で理解することが容易になります。

修理の効果 $ K_{\text{MPF}} $ を大きくすると、全体的な信頼度が向上することが確認できます。また、検査周期 $ \tau = 1000 $ 時間毎の信頼度の改善（リセット）の影響も $ K_{\text{MPF}} $ が大きいほど顕著になります。

なお、上記のグラフは特定のパラメータ設定に基づいていますので、異なるパラメータ値や時間範囲でグラフを描くことも可能です。必要であれば、お知らせください。

このようにChatGPTはグラフを描くだけでなく、$K_\text{MPF}$を振った時の挙動まで(頼んでいないのに)分析してくれます。ChatGPTのアルゴリズムは、次にくる確率が高い言葉が選択されるのだそうですが、単にそれだけでプログラミングができたり、ここまでできるものでしょうか？

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人間:

$Q(t)=(1−K_\text{MPF})F(t)+K_\text{MPF}F(u)$、ただし$F(t)$は不信頼度であり、$F(t)=1-e^{-\lambda t}$。また$u=t-n\tau$、$\tau$は検査周期、$n=\lfloor\frac{t}{\tau}\rfloor$であるとき$Q(t)$のグラフを描いてください。

ChatGPT:

まず、与えられた情報から数式を整理し、Pythonで使用できる形にまとめましょう。

• $ F(t) = 1 - e^{-\lambda t} $ は不信頼度（unreliability）関数です。ここで、$ \lambda $ は故障率です。
• $ u = t - n\tau $ は最後の検査からの経過時間を表します。ここで、$ \tau $ は検査周期、$ n = \lfloor \frac{t}{\tau} \rfloor $ は検査回数を表します。
• $ Q(t) = (1 - K_{\text{MPF}})F(t) + K_{\text{MPF}}F(u) $ は修理による信頼度の改善を表す関数です。ここで、$ K_{\text{MPF}} $ は修理の効果を表します。

この情報を基に、特定のパラメータ値（例えば $ \lambda = 0.1, \tau = 5, K_{\text{MPF}} = 0.2 $）で $ Q(t) $ のグラフを描くことができます。

ただし、$ t $ の範囲を指定していないため、ここでは $ t = 0 $ から $ t = 50 $ の範囲でグラフを描くことにします。もし異なる範囲やパラメータ値を希望する場合は、お知らせください。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math

# Parameters
lambda_ = 0.1
tau = 5
K_MPF = 0.2

# Functions
def F(t, lambda_):
    return 1 - np.exp(-lambda_ * t)

def Q(t, lambda_, tau, K_MPF):
    n = np.floor(t / tau)
    u = t - n * tau
    return (1 - K_MPF) * F(t, lambda_) + K_MPF * F(u, lambda_)

# Time range
t = np.linspace(0, 50, 500)

# Compute Q(t)
Q_t = Q(t, lambda_, tau, K_MPF)

# Plot
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(t, Q_t, label='Q(t)')
plt.xlabel('Time (t)', fontsize=14)
plt.ylabel('Q(t)', fontsize=14)
plt.title('Graph of Q(t)', fontsize=16)
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

上記のグラフは、与えられたパラメータ（$ \lambda = 0.1, \tau = 5, K_{\text{MPF}} = 0.2 $）と時間範囲 $ t = 0 $ から $ t = 50 $ における $ Q(t) $ の挙動を示しています。

$ Q(t) $ は時間とともに増加し、一定の検査周期 $ \tau = 5 $ 毎に信頼度が改善（リセット）されていることがわかります。これは、検査と修理が行われるたびにシステムの信頼度が高まることを表しています。

なお、上記のグラフは特定のパラメータ設定に基づいていますので、異なるパラメータ値や時間範囲でグラフを描くことも可能です。必要であれば、お知らせください。

• ChatGPTのコードインタプリターを用いました。
• 「$ u = t - n\tau $ は最後の検査からの経過時間を表します」という説明は少々驚きます。式を与えただけですが、ChatGPTは式の意味を正確に理解しています。
• 従来はグラフを描くのにプログラムを自分で作成するのは当たり前として、パラメータも全て指定する必要があったのが、AIにより全て全自動で書いて貰えるようになりました。ただし、プログラムやパラメータの妥当性は確認する必要があります。

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人間:

ChatGPTはAIで機械であるのに、機械的な計算誤りをするのはなぜでしょうか？具体的には、 $$Q(t)=(1−K_\text{MPF})F(t)+K_\text{MPF} F(u)$$ を時間微分したら、 $$q(t)=\frac{dQ(t)}{dt}=(1−K_\text{MPF})f(t)−K_\text{MPF} f(u)$$ となると回答しました。これは単純な計算ミスですが、どうしてミスしたのでしょうか？

ChatGPT:

大変申し訳ございません。ChatGPTが数学的なミスを犯す理由は、その基本的な動作の仕組みに由来します。GPTは、大量のテキストデータから人間の言語を模倣する方法を学び、特定の入力に対する最も適切な出力を予測します。しかし、それは単に学習データ内のパターンを検出することでこれを達成しており、内部的には数学的な演算を理解しているわけではありません。

したがって、ユーザーが求めた微分の計算を行うとき、ChatGPTは実際に微分の計算を実行するわけではなく、訓練データ内で見たパターンに基づいて最も適切な答えを生成しようとします。そのため、訓練データに含まれるパターンが間違っていたり、パターンが不完全だったりすると、結果として間違った答えを出力することがあります。

また、微分などの数学的操作は、文脈によって適用されるべき正しい規則が異なることがしばしばあります。これに対応するためには、真の数学的理解が必要で、現行のAIモデルではこれを完全には達成できません。

以上の理由から、ChatGPTは時折、数学的な誤りを犯すことがあります。それらのミスは、現行のAI技術の制限を反映したものであり、人間が間違いを犯すのとは根本的に異なる形で発生します。

「内部的には数学的な演算を理解しているわけでは」無いとのことです。むしろ、単なるパターンマッチでこれほどの推論ができるものでしょうか。

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人間:

説明が間違いです。$f(t)$は故障率ではなくPDFと呼ばれます。

ChatGPT:

ご指摘いただき、ありがとうございます。修正いたします。

確かに、$f(t)$ は確率密度関数（PDF: Probability Density Function）または故障率密度（PDT: Point Density of Failures）と呼ばれ、時間 $t $における故障の発生確率密度を表します。

同様に、$f(u)$ は時間 $u$ での故障の発生確率密度を表し、$K_\text{MPF}$ は検出率を表します。これは、時間$ t $と $u=t-n\tau$ における故障の一部が検出され修理されることを示しています。

したがって、$q(t)$ は以下のように表されます。

$$ q(t) = (1-K_\text{MPF})f(t) - K_\text{MPF} f(u) $$

ここで、$u=t-n\tau$ です。これは、故障が発生し、それが検出され修理されない確率と、前回の修理以降の故障が検出・修理される確率の差を表しています。

人間:

差ではなく和ではないですか？さらに最後の行ですが、$f(t)$は確率ではなく、確率密度です。

ChatGPT:

ご指摘いただき、ありがとうございます。その通りです。私の説明は誤っていました。

確かに、$f(t)$ は確率ではなく、確率密度関数（Probability Density Function、PDF）です。これは、時間 $t$ における故障の確率密度を表します。

同様に、$f(u)$ は時間 $u$ での故障の確率密度を表します。

したがって、PUD (Point Unavailable Density) の $q(t)$ は以下のように表されます：

$$ q(t) = \img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} $$

これは、時間 $t$ における故障の確率密度とそれが未検出・未修理である確率、および前回の修理以降の故障が検出・修理される確率密度の和を表しています。

ChatGPTは機械にも関わらずよく計算間違いをします。機械なら機械的な計算くらいは間違えないで欲しいものです。ついでにミスの理由を聞いてみます。

なお、本稿はRAMS 2025に投稿予定のため一部を秘匿しています。

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