次回RAMS 2027に投稿する論文「Stochastic Analytical Formulation of Rate-Based Metrics in Functional Safety Standards」のアブストラクトを作成し、投稿しました。従来だとAJEにネイティブチェックしてもらう段階ですが、LLMの精度が上がってるのでAJEには出さずに済みそうです。

過去に掲載した論文の実績と予定をアップデートします。

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Studio 500 3D Pop Up Wall Artの修理をすることになりました。LEDが点滅しなくなったので、点滅回路を作成します。

まずPICを用いて点滅シーケンスを再現します。EAGLEで作成した回路図は以下のようになります。上部のコネクタはin-circuitでPICプログラミングするためのコネクタです。

以下にレイアウト図を示します。

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10 FIT・1万時間では 2 回目以降の寄与はどれくらいか

前稿の (1062.7) は、PFH と PMHF 型の量の厳密な差が、寿命区間 $[0,T]$ における 2 回目以降の危険事象の寄与であることを示していました。ここでは、その差が実用上どの程度の大きさになるのかを、一定危険故障率を仮定した数値例で見ておきます。

前稿の記号をそのまま使えば、

$$ \mathrm{PFH}(0,T)-\mathrm{PMHF}^{\ast}(T) =\frac{1}{T}\sum_{n\ge2}(n-1)\Pr\{N_\text{DF}(T)=n\} \tag{1066.1} $$

です。

ここで、危険事象の発生率を一定とみなし、寿命区間内の危険事象回数 $N_\text{DF}(T)$ をポアソン分布で近似します。たとえば、危険故障率を 10 FIT、車両寿命を 1 万時間とすると、

$$ \lambda = 10\,\mathrm{FIT}=10^{-8}\,\mathrm{h}^{-1},\qquad T = 10^{4}\,\mathrm{h},\qquad \lambda T = 10^{-4} \tag{1066.2} $$

です。

このとき、寿命区間内に 2 回以上危険事象が起きる確率は

$$ \Pr{N_\text{DF}(T)\ge2} =1-e^{-\lambda T}(1+\lambda T) \approx 4.99966668\times10^{-9} \tag{1066.3} $$

となります。これは寿命全体で見ても約 5 ppb です。

これを寿命で割って FIT 風に書けば、

$$ \frac{1}{T}\Pr\{N_\text{DF}(T)\ge2\} \approx 4.99966668\times10^{-13}\,\mathrm{h}^{-1} =4.99966668\times10^{-4}\,\mathrm{FIT} \tag{1066.4} $$

です。

同じ仮定の下で、(1066.1) の厳密差そのものは

$$ \mathrm{PFH}(0,T)-\mathrm{PMHF}^{\ast}(T) =\lambda-\frac{1-e^{-\lambda T}}{T} \approx 4.99983334\times10^{-13}\,\mathrm{h}^{-1}\\ =4.99983334\times10^{-4}\,\mathrm{FIT} \tag{1066.5} $$

となります。(1066.4) とほとんど同じ値になるのは、この条件では 3 回目以降の寄与がさらに極小だからです。

10 FIT という目標値に対する比で見れば、

$$ \frac{4.99983334\times10^{-4}}{10} \approx 4.99983334\times10^{-5} \approx 0.005\,\% \tag{1066.6} $$

です。

したがって、10 FIT・1 万時間という典型的な条件では、PFH と PMHF 型の量の厳密差は数値的には約 $5\times10^{-4}$ FIT にすぎず、2 回目以降の危険事象の寄与は実務上ほぼ無視できる範囲にあります。

この数値例が示しているのは、前稿の (1062.7) が表している「厳密な差」は確かに存在するものの、寿命区間全体に希少事象近似を拡張しても、多くの実用条件ではその差が十分小さい、ということです。

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PFH の $\sum\lambda$ 式は何を省略しているか

前々稿の結果を一般の潜在状態モデルの記号で表すと、PFH 側で、危険事象の直前にある潜在状態の時点不稼働確率を $U_\text{LAT}(t)$、そこから危険事象を生じさせる最後の危険故障率を $\lambda_\text{last}$、単独で危険事象を生じさせる SPF 寄与を $\lambda_\text{SPF}$ としたとき、

$$ \mathrm{PFH}(0,H)\approx\lambda_\text{SPF}+\frac{\lambda_\text{last}}{H}\int_0^H U_\text{LAT}(t)\,dt \tag{1065.1} $$

と書けます。

ここで、各サブシステム $i$ の内部時間依存を平均化した量を

$$ \lambda_i:=\frac{1}{H}\int_0^H w_i(t)\,dt \tag{1065.2} $$

と書きます。規格で見える $\lambda$ は、このような平均量として読めます。

本稿で問題にしたいのは、サブシステム内部で潜在状態を経由する 2 次項が表示式から省略されていることです。すなわち、(1065.1) の第2項

$$ \Delta_\text{2nd}(H):=\frac{\lambda_\text{last}}{H}\int_0^H U_\text{LAT}(t)\,dt \tag{1065.3} $$

に対して

$$ \Delta_\text{2nd}(H)\ll\lambda_\text{SPF} \tag{1065.4} $$

として、これを無視します。すると

$$ \mathrm{PFH}(0,H)\approx\lambda_\text{SPF} \tag{1065.5} $$

となります。

さらに、互いに独立な SPF 寄与が $m$ 個あり、それぞれの平均危険故障率を $\lambda_i$ とすると

$$ \lambda_\text{AVG}\approx\sum_{i=1}^{m}\lambda_i\approx\sum_{i=1}^{m}\lambda_{\text{SPF},i} \tag{1065.6} $$

です。これが規格で見える $\sum\lambda$ 形です。

このことは、1059 で得た PMHF の DPF 項

$$ \frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1065.7} $$

と比較すると分かりやすくなります。前稿の PFH の 2 次項とこの DPF 項は、どちらも

「第1故障率 × 平均露出時間 × 第2故障率」

という同じ 2 次構造を持っています。したがって、規格を素直に読む限り PFH は SPF の和として理解されますが、状態モデルを復元すると PFH 側にも 2 次項は現れ、そこで初めて PMHF の DPF 項と同じ数理構造が見えてきます。

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規格上のPFHの計算式

前稿では、同じ IF-SM 潜在状態モデルを PFH 側にも持ち込むと、PFH も PMHF と同じ形の 2 次項を持つことを示しました。これに対して、IEC 61508 の本文では(図1064.1) PFH は各サブシステムの $\lambda$ を加える形で提示されており、その加法形がどの状態モデルの縮約であり、どの仮定の下で妥当かは、その箇所では明示されていません。

この文の和訳は以下です。したがって、規格を素直に読む限り、PFH は実質的に $\sum\lambda$ で与えられる量として受け取られます。

これに慣れていると、ISO 26262においても故障率は全て加え合わせれば良いと誤解します。逆にこれこそがPMHFの誤った計算法が無くならない理由かもしれません。

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同じ IF-SM 潜在状態モデルを PFH 側に持ち込んだときの形

前稿では、PFH と PMHF 型の量の厳密な差が、区間内における 2 回目以降の危険事象の寄与として表されることを示しました。本稿では、1057〜1059 で用いた IF-SM 潜在状態モデルをそのまま PFH 側にも適用すると、どのような式になるかを示します。

同じ IF-SM 潜在状態モデルを用いると、時刻 $t$ における危険事象への総流入頻度は

$$ w_D(t) =\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,SPF} +\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,DPF} \tag{1063.1} $$

と書けます。第1項は IF の SPF 寄与、第2項は SM の潜在故障状態における IF の危険遷移です。

ここで IF 側については、$\lambda_\text{IF}t\ll1$のときは小確率近似より

$$ \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\} =e^{-\lambda_\text{IF}t}\approx1-\lambda_\text{IF}t\approx1 \tag{1063.2} $$

です。また、1060 の (1060.10) より、第2項の同時確率は $U_\text{SM}(t)$ で近似できるので、

$$ w_D(t)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}U_\text{SM}(t) \tag{1063.3} $$

となります。

評価区間を $H$ とすると、PFH は

$$ \mathrm{PFH}(0,H) =\frac{1}{H}E\{N_D(H)\} =\frac{1}{H}\int_0^H w_D(t)\,dt \tag{1063.4} $$

なので、(1063.3)及び(1063.4)から

$$ \mathrm{PFH}(0,H)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\frac{\lambda_\text{IF,DPF}}{H}\int_0^H U_\text{SM}(t)\,dt \tag{1063.5} $$

です。

ここで、$U_\text{SM}(t)$ の式は (1057.8)、小確率近似は (1057.9) に与えられています。また、その寿命平均の計算は (1059.3)〜(1059.7) と同様です。したがって、

$$ \frac{1}{H}\int_0^H U_\text{SM}(t)\,dt \approx\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})H+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1063.6} $$

となります。

これを (1063.5) に代入すると

$$ \mathrm{PFH}(0,H)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})H+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1063.7} $$

です。さらに、1058 の (1058.5) を代入すると、

$$ \mathrm{PFH}(0,H)\approx(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})H+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1063.8} $$

を得ます。

この式は、1059 で得た PMHF の最終式と同じ形です。したがって、同じ IF-SM 潜在状態モデル、同じ近似、同じ評価区間を用いるなら、PFH と PMHF は 1 次近似では同じ式になります。

ただし、IEC 61508 の本文では PFH は各サブシステムの $\lambda$ を加える形で提示されており、その加法形がどの状態モデルの縮約であり、どの仮定の下で妥当かは明示されていません。したがって、規格を素直に読む限り、PFH は実質的に $\sum\lambda$ で与えられる量として受け取られます。少なくとも規格に表れている式では、潜在状態を経由する二重故障経路は明確化されていません。

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PFH と PMHF の厳密量の差

前稿の (1061.8) により、PFH は区間 $[0,T]$ における危険事象発生回数の期待値を $T$ で割った量として定義されます。本稿では、同じ危険事象に対して PMHF 型の量を定義し、両者が厳密にはどこで異なるのかを整理します。結論を先に言えば、その差は区間内における 2 回目以降の危険事象の寄与です。

同じ危険事象に対して、その初回発生時刻を

$$ \sigma_\text{DF}:=\inf\{t\ge0\mid N_\text{DF}(t)\ge1\} \tag{1062.1} $$

と定義します。

このとき、

$$ \{\sigma_\text{DF}\le T\}=\{N_\text{DF}(T)\ge1\} \tag{1062.2} $$

が成り立ちます。したがって、同じ危険事象に対する PMHF 型の量は

$$ \mathrm{PMHF}^{\ast}(T):=\frac{1}{T}\Pr\{\sigma_\text{DF}\le T\} =\frac{1}{T}\Pr\{N_\text{DF}(T)\ge1\} \tag{1062.3} $$

と書けます。VSG を吸収集合として扱う PMHF は、この形の量に対応します。

一方、前稿の PFH 定義に現れる期待回数は

$$ E\{N_\text{DF}(T)\} =\sum_{n\ge1}n\,\Pr\{N_\text{DF}(T)=n\} \tag{1062.4} $$

です。

これに対して、初回到達確率は

$$ \Pr\{N_\text{DF}(T)\ge1\} =\sum_{n\ge1}\Pr\{N_\text{DF}(T)=n\} \tag{1062.5} $$

です。したがって両者の差は

$$ E\{N_\text{DF}(T)\}-\Pr\{N_\text{DF}(T)\ge1\} =\sum_{n\ge2}(n-1)\Pr\{N_\text{DF}(T)=n\} \tag{1062.6} $$

となります。

前稿の PFH 定義と (1062.3), (1062.6) より、

$$ \mathrm{PFH}(0,T)-\mathrm{PMHF}^{\ast}(T) =\frac{1}{T}\sum_{n\ge2}(n-1)\Pr\{N_\text{DF}(T)=n\} \tag{1062.7} $$

です。

この式が示しているのは、PFH と PMHF 型の量の厳密な差が、区間 $[0,T]$ における 2 回目以降の危険事象の寄与そのものである、ということです。修理系では危険事象発生後も修理復帰し得るため、この項は一般には消えません。

これに対して、寿命区間 $[0,T]$ において危険事象は高々 1 回しか起きないという希少事象近似を

$$ \Pr\{N_\text{DF}(T)\ge2\}\approx0 \tag{1062.8} $$

と置けば、

$$ E\{N_\text{DF}(T)\}\approx\Pr\{N_\text{DF}(T)\ge1\} \tag{1062.9} $$

となります。したがって、PFH と PMHF 型の量の差は 1 次では見えなくなります。

要するに、PFH と PMHF の違いは、厳密には繰返し発生を数える量と初回到達をみる量の違いです。しかし希少事象近似を寿命区間全体にまで拡張すると、その差は 2 回目以降の発生確率に押し込められ、1 次では見えなくなります。次稿では、1057〜1059 で用いた IF-SM 潜在状態モデルを PFH 側にも持ち込み、同じ一次近似の下でどのような式になるかを示します。

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PFH の定式化（修理系の危険事象と計数過程）

前稿までは、VSG を吸収集合とするサブシステムに対して PMHF を導きました。本稿からは PFH 側へ移ります。PFH 側では、危険状態に入った後も点検や修理により稼働状態へ復帰し得るので、危険状態集合は一般には吸収集合ではありません。本稿では区間平均量としての PFH を定義します。

サブシステム過程を $(\eta_t^\text{PFH})_{t\ge0}$ とし、稼働集合を $\mathcal M$、危険状態集合を $\mathcal P_\text{DF}$ とします。状態確率行ベクトルと生成行列を

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathbf p^\text{PFH}(t) =\bigl[\mathbf p_M(t)\ \mathbf p_P(t)\bigr], \\ \frac{d}{dt}\mathbf p^\text{PFH}(t)=\mathbf p^\text{PFH}(t)\mathbf Q^\text{PFH}, \\ \mathbf Q^\text{PFH} =\left(\matrix{ \mathbf Q_{MM} & \mathbf Q_{MP} \cr \mathbf Q_{PM} & \mathbf Q_{PP} }\right) \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1061.1} $$

と表します。ここで修理系では、一般に $\mathbf Q_{PM}\neq\mathbf 0$ です。

危険状態の時点不稼働確率を

$$ U_\text{DF}(t) :=\Pr\{\eta_t^\text{PFH}\in\mathcal P_\text{DF}\} =\mathbf p_P(t)\mathbf 1 \tag{1061.2} $$

と定義します。ここで $\mathbf 1$ は適切な次元の全成分 1 の列ベクトルです。

一方、稼働集合から危険状態集合への条件付き遷移率、すなわち Vesely 故障率は

$$ \lambda_V^\text{PFH}(t) :=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{PFH}\in\mathcal P_\text{DF}\mid\eta_t^\text{PFH}\in\mathcal M\}}{dt} =\frac{\mathbf p_M(t)\mathbf Q_{MP}\mathbf 1}{\mathbf p_M(t)\mathbf 1} \tag{1061.3} $$

です。

したがって、時刻 $t$ における危険状態への総流入頻度は

$$ w_\text{DF}(t) :=\mathbf p_M(t)\mathbf Q_{MP}\mathbf 1 =\Pr\{\eta_t^\text{PFH}\in\mathcal M\}\lambda_V^\text{PFH}(t) \tag{1061.4} $$

と書けます。これは、その時刻に稼働集合にいる確率と、その条件の下で危険状態へ移る率との積です。

他方、$U_\text{DF}(t)$ の時間変化は、危険状態への流入だけではなく、危険状態からの修理復帰にも依存します。(1061.2)を微分し、(1061.1)のブロック行列から $P$成分の前進方程式を取り出し、さらに生成行列の行和ゼロ$\mathbf{Q}_{PP}\mathbf{1}=-\mathbf{Q}_{PM}\mathbf 1$を用いると、危険状態確率の増加率は『流入 minus 流出』に書き直せるので

$$ \begin{eqnarray} \frac{d}{dt}U_\text{DF}(t) &=& \frac{d}{dt}\bigl(\mathbf p_P(t)\mathbf 1\bigr)\\ &=& \mathbf p_M(t)\mathbf Q_{MP}\mathbf 1+\mathbf p_P(t)\mathbf Q_{PP}\mathbf 1\\ &=& \mathbf p_M(t)\mathbf Q_{MP}\mathbf 1-\mathbf p_P(t)\mathbf Q_{PM}\mathbf 1 \end{eqnarray} \tag{1061.5} $$

となります。最後の等号では、各行の行和が 0 であることから $\mathbf Q_{PP}\mathbf 1=-\mathbf Q_{PM}\mathbf 1$ を用いました。したがって、修理系では一般に $dU_\text{DF}(t)/dt$ と $w_\text{DF}(t)$ は一致しません。

ここで、危険状態集合への進入回数を数える計数過程を $N_\text{DF}(t)$ とします。微小時間 $dt$ の間にその期待増分は

$$ E\{N_\text{DF}(t+dt)-N_\text{DF}(t)\} =w_\text{DF}(t)dt+o(dt) \tag{1061.6} $$

となるので、$W_\text{DF}(t):=E\{N_\text{DF}(t)\}$ とおけば、(1061.6)を$dt$で割って $dt\rightarrow0$とすると

$$ \frac{d}{dt}W_\text{DF}(t)=w_\text{DF}(t) \tag{1061.7} $$

です。

したがって、区間 $[0,T]$ における平均危険事象発生頻度は

$$ \mathrm{PFH}(0,T) :=\frac{1}{T}W_\text{DF}(T) =\frac{1}{T}\int_0^T w_\text{DF}(t)\,dt \tag{1061.8} $$

と定義できます。

さらに、希少事象近似の下で

$$ \Pr\{\eta_t^\text{PFH}\in\mathcal M\}\approx1 \tag{1061.9} $$

とみなせるとき、(1061.4)から

$$ w_\text{DF}(t)\approx\lambda_V^\text{PFH}(t) \tag{1061.10} $$

となります。したがって PFH は、Vesely 故障率の時間平均としても読めます。

ここで重要なのは、修理系では危険事象が繰返し起こり得るため、PFH が本質的に計数過程 $N_\text{DF}(t)$ に基づいて定義される、という点です。次稿では、この修理系の PFH と、吸収型の初回到達量としての PMHF とを、同じ確率論の枠で比較します。

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生成行列に基づく SPF/DPF の導出

前稿までで、$U_\text{SM}(t)$ を用いた VSG 到達密度の導出を終えたので、本稿では同じ結果が生成行列からも得られることを示します。ここでは状態を数値ではなく意味を持つ記号で表します。なお、以下の $\mathbf Q$ は区間内 $(\tau_k,\tau_{k+1})$ の生成行列であり、PIR による回復は含みません。PIR は検査時刻での境界条件として与えます。

区間内のサブシステム過程 $(\eta_t^\text{sub})_{t\ge0}$ の状態順序を

$$ \mathcal S=\bigl(\mathrm{OPR},\mathrm{LAT}_U,\mathrm{LAT}_D,\mathrm{ABS}_\text{SPF},\mathrm{ABS}_\text{DPF}\bigr) \tag{1060.1} $$

とします。ここで $\mathrm{OPR}$ は通常稼働状態、$\mathrm{LAT}_U$ は未検出の潜在状態、$\mathrm{LAT}_D$ は検出対象の潜在状態、$\mathrm{ABS}_\text{SPF}$ と $\mathrm{ABS}_\text{DPF}$ はそれぞれ SPF と DPF に対応する吸収状態です。

IF 側および SM 側の率分解を

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF},\\ \lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF},\\ \lambda_\text{IF}=\lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF},\\ \lambda_\text{SM,U}=(1-K_\text{SM,DPF})\lambda_\text{SM},\\ \lambda_\text{SM,D}=K_\text{SM,DPF}\lambda_\text{SM} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1060.2} $$

とします。

状態順序(1060.1)と率分解(1060.2)に従い、各状態からの遷移率を行ごとに並べると この順序に対応する区間内生成行列 $\mathbf Q$ は

$$ \mathbf Q=\left(\matrix{ -(\lambda_\text{SM,U}+\lambda_\text{SM,D}+\lambda_\text{IF,SPF}) & \lambda_\text{SM,U} & \lambda_\text{SM,D} & \lambda_\text{IF,SPF} & 0 \cr 0 & -\lambda_\text{IF} & 0 & \lambda_\text{IF,SPF} & \lambda_\text{IF,DPF} \cr 0 & 0 & -\lambda_\text{IF} & \lambda_\text{IF,SPF} & \lambda_\text{IF,DPF} \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }\right) \tag{1060.3} $$

です。

稼働集合と吸収集合を

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathcal M:=\{\mathrm{OPR},\mathrm{LAT}_U,\mathrm{LAT}_D\},\\ \mathcal P_\text{SPF}:=\{\mathrm{ABS}_\text{SPF}\},\\ \mathcal P_\text{DPF}:=\{\mathrm{ABS}_\text{DPF}\},\\ \mathcal P_\text{VSG}:=\mathcal P_\text{SPF}\cup\mathcal P_\text{DPF} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1060.4} $$

と定義します。

状態確率行ベクトルを

$$ \mathbf p(t)=\bigl(p_\text{OPR}(t),p_{\mathrm{LAT}_U}(t),p_{\mathrm{LAT}_D}(t),p_{\mathrm{ABS}_\text{SPF}}(t),p_{\mathrm{ABS}_\text{DPF}}(t)\bigr), \qquad \frac{d}{dt}\mathbf p(t)=\mathbf p(t)\mathbf Q \tag{1060.5} $$

とします。一方、PIR は検査時刻での瞬時リセットとして

$$ \mathbf p(\tau_k^+)=\mathbf p(\tau_k^-)\mathbf R, \qquad \mathbf R=\left(\matrix{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \cr 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }\right) \tag{1060.6} $$

で与えます。したがって、PIR により $\mathrm{LAT}_D$ の確率質量だけが $\mathrm{OPR}$ に戻ります。

すると、前進方程式の第4成分および第5成分より

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \frac{d}{dt}p_{\mathrm{ABS}_\text{SPF}}(t)=\lambda_\text{IF,SPF}\bigl(p_\text{OPR}(t)+p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr),\\ \frac{d}{dt}p_{\mathrm{ABS}_\text{DPF}}(t)=\lambda_\text{IF,DPF}\bigl(p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr) \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1060.7} $$

を得ます。

ここで初期時刻では吸収状態に確率質量はなく、しかも $\mathrm{ABS}_\text{SPF}$ と $\mathrm{ABS}_\text{DPF}$ は吸収状態なので、

$$ F_\text{SPF}(t)=p_{\mathrm{ABS}_\text{SPF}}(t), \qquad F_\text{DPF}(t)=p_{\mathrm{ABS}_\text{DPF}}(t) \tag{1060.8} $$

です。したがって

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} f_\text{SPF}(t)=\lambda_\text{IF,SPF}\bigl(p_\text{OPR}(t)+p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr),\\ f_\text{DPF}(t)=\lambda_\text{IF,DPF}\bigl(p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr) \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1060.9} $$

となります。

ここで、希少事象近似$\lambda_\text{VSG}t\ll1$の下では

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} p_\text{OPR}(t)+p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)=1-F_\text{VSG}(t)\approx1-\lambda_\text{VSG}t\approx1,\\ p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\approx U_\text{SM}(t) \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1060.10} $$

です。したがって

$$ f_\text{VSG}(t)=f_\text{SPF}(t)+f_\text{DPF}(t)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}U_\text{SM}(t) \tag{1060.11} $$

を得ます。これは前稿までの導出と一致します。したがって、PMHF の SPF 項および DPF 項は、生成行列に基づく CTMC からも同じ形で導かれます。

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PoF と PMHF の定義および最終式の導出

前稿で VSG 到達密度の近似式 (1058.13) を得たので、本稿では PoF と PMHF の定義から PMHF の最終式を導きます。以下、車両寿命を $T:=T_\text{lifetime}$ とし、$T=n\tau$ を仮定します。

まず、車両寿命 $T$ までに VSG が発生する確率を $\mathrm{PoF}_\text{VSG}(T)$ と書くと、PMHF は

$$ \mathrm{PMHF}(T) =\frac{1}{T}\mathrm{PoF}_\text{VSG}(T) =\frac{1}{T}F_\text{VSG}(T) =\frac{1}{T}\int_0^T f_\text{VSG}(t)\,dt \tag{1059.1} $$

です。

ここで前稿の (1058.13) を (1059.1) に代入すると

$$ \mathrm{PMHF}(T)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\frac{\lambda_\text{IF,DPF}}{T}\int_0^T U_\text{SM}(t)\,dt \tag{1059.2} $$

となります。

さらに前々稿の (1057.8) を用いると

$$ \frac{1}{T}\int_0^T U_\text{SM}(t)\,dt =\frac{1-K_\text{SM,DPF}}{T}\int_0^T F_\text{SM}(t)\,dt+\frac{K_\text{SM,DPF}}{T}\int_0^T F_\text{SM}(u)\,dt \tag{1059.3} $$

です。

ここで $T=n\tau$ なので、第2項は周期ごとに同じ積分の繰返しとなり、

$$ \int_0^T F_\text{SM}(u)\,dt =\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k\tau}^{(k+1)\tau}F_\text{SM}(t-k\tau)\,dt =n\int_0^\tau F_\text{SM}(u)\,du \tag{1059.4} $$

と変形できます。

また、前々稿の (1057.9) を用いると、第1項は

$$ \frac{1}{T}\int_0^T F_\text{SM}(t)\,dt \approx\frac{1}{T}\int_0^T \lambda_\text{SM}t\,dt =\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}T \tag{1059.5} $$

となります。

同様に、第2項は

$$ \frac{1}{T}\int_0^T F_\text{SM}(u)\,dt \approx\frac{1}{T}n\int_0^\tau \lambda_\text{SM}u\,du =\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\tau \tag{1059.6} $$

となります。

したがって (1059.3) は

$$ \frac{1}{T}\int_0^T U_\text{SM}(t)\,dt \approx\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1059.7} $$

となるので、これを (1059.2) に代入すると

$$ \mathrm{PMHF}(T)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1059.8} $$

です。

最後に、前稿の (1058.5) を用いると

$$ \mathrm{PMHF}(T)\approx(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1059.9} $$

を得ます。

ここで第1項は IF の残留故障に由来する SPF 項であり、第2項は SM の潜在故障確率と IF の多重点故障側故障率の積として現れる DPF 項です。したがって、PMHF は SPF 項と DPF 項の和として理解できます。

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