PMHF の導出（小確率近似に基づく導出）

前稿では、非冗長系の VSG 到達密度について

$$ f_\text{VSG}(t)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1059.1} $$

を得ました。本稿では、この近似式から PMHF の最終式を導きます。以下、車両寿命を $T:=T_\text{lifetime}$ とし、$T=n\tau$ を仮定します。

PMHF の定義より

$$ \mathrm{PMHF} =\frac{1}{T}\int_0^T f_\text{VSG}(t)\,dt \approx\lambda_\text{IF,SPF}+\frac{\lambda_\text{IF,DPF}}{T}\int_0^T Q_\text{SM}(t)\,dt \tag{1059.2} $$

となります。

前稿で得た SM エレメントの時点不稼働確率は

$$ Q_\text{SM}(t) =(1-K_\text{SM,DPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,DPF}F_\text{SM}(u) \tag{1059.3} $$

でした。したがって

$$ \frac{1}{T}\int_0^T Q_\text{SM}(t)\,dt =\frac{1-K_\text{SM,DPF}}{T}\int_0^T F_\text{SM}(t)\,dt+\frac{K_\text{SM,DPF}}{T}\int_0^T F_\text{SM}(u)\,dt \tag{1059.4} $$

です。

ここで $T=n\tau$ とすると、第2項は周期ごとに同じ積分の繰返しなので

$$ \int_0^T F_\text{SM}(u)\,dt =\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k\tau}^{(k+1)\tau}F_\text{SM}(t-k\tau)\,dt =n\int_0^\tau F_\text{SM}(u)\,du \tag{1059.5} $$

と変形できます。

さらに、小確率近似

$$ \lambda_\text{SM}x\ll1 \quad\Longrightarrow\quad F_\text{SM}(x)=1-e^{-\lambda_\text{SM}x}\approx\lambda_\text{SM}x \tag{1059.6} $$

を用いると、

$$ \begin{eqnarray} \frac{1}{T}\int_0^T Q_\text{SM}(t)\,dt &\approx& \frac{1-K_\text{SM,DPF}}{T}\int_0^T \lambda_\text{SM}t\,dt +\frac{K_\text{SM,DPF}}{T}n\int_0^\tau \lambda_\text{SM}u\,du\\ &=& \frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \end{eqnarray} \tag{1059.7} $$

となります。

これを (1059.2) に代入すると

$$ \mathrm{PMHF} \approx\lambda_\text{IF,SPF}+\frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1059.8} $$

です。

さらに

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF},\\ \lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1059.9} $$

を代入すると、最終的に

$$ \mathrm{PMHF} \approx(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1059.10} $$

を得ます。

ここで第1項は IF の残留故障に由来する SPF 項であり、第2項は SM の潜在故障確率と IF の多重点故障側故障率の積として現れる DPF 項です。したがって、PMHF は SPF 項と DPF 項の和として理解できます。

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