PMHFの導出とPIR区間分割（周期一定の仮定）

車両寿命を $T_\text{lifetime}$ とします。VSG到達確率は $$ \mathrm{PoF}:=\Pr\{\eta_{T_\text{lifetime}}\in\mathcal P\}=F(T_\text{lifetime}) \tag{1060.1} $$ です。ここで規格定義より $$ \mathrm{PMHF} =\frac{\mathrm{PoF}}{T_\text{lifetime}} =\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}} f(t)\,dt \tag{1060.2} $$ となります。PIRにより検査時刻を $0=\tau_0<\tau_1<\cdots<\tau_n=T_\text{lifetime}$ とすると、 $$ \int_0^{T_\text{lifetime}} f(t)\,dt =\sum_{k=0}^{n-1}\int_{\tau_k}^{\tau_{k+1}} f(t)\,dt \tag{1060.3} $$ と区間分割できます。ここで規格の規定から検査周期が一定であると仮定し、ある定数 $T_\text{service}>0$ により $$ \tau_k=kT_\text{service}\quad(k=0,1,\ldots,n),\qquad T_\text{lifetime}=nT_\text{service} \tag{1060.4} $$ と置きます。このとき(1060.3)は $$ \int_0^{T_\text{lifetime}} f(t)\,dt =\sum_{k=0}^{n-1}\int_{kT_\text{service}}^{(k+1)T_\text{service}} f(t)\,dt \tag{1060.5} $$ となり、区間内時刻 $u:=t-kT_\text{service}$ を用いた近似計算により、各区間積分を閉形式で評価できます。

Vesely起点によるf_\text{VSG}(t)の構成とPMHF導出

非冗長系において、DPFは「SMが潜在状態にあり、かつIFが稼働集合にある」条件のもとでIFが危険故障へ遷移する事象です。したがってDPFの到達密度は $$ f_\text{DPF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\,\lambda_\text{IF,DPF}\,Q_\text{SM}(t) \tag{1060.1} $$ と書けます。

同様にSPFは $$ f_\text{SPF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\,\lambda_\text{IF,SPF} \tag{1060.2} $$ です。

希少事象近似の下では $\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\approx 1$ であるため $$ f_\text{DPF}(t)\approx \lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t),\qquad f_\text{SPF}(t)\approx \lambda_\text{IF,SPF} \tag{1060.3} $$ となります。

したがってVSG到達密度は $$ f_\text{VSG}(t)\approx \lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1060.4} $$ です。

車両寿命を $T_\text{lifetime}$ とすると、VSG到達確率は $$ \mathrm{PoF}:=\Pr\{\eta_{T_\text{lifetime}}\in\mathcal P\}=F_\text{VSG}(T_\text{lifetime}) \tag{1060.5} $$ です。ここで規格定義より $$ \mathrm{PMHF} =\frac{1}{T_\text{lifetime}}\mathrm{PoF} =\frac{1}{T_\text{lifetime}}F_\text{VSG}(T_\text{lifetime}) =\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}} f_\text{VSG}(t)\,dt \tag{1060.6} $$ となります。

(1060.4)を(1060.5)へ代入すると $$ \mathrm{PMHF}\approx \lambda_\text{IF,SPF} + \lambda_\text{IF,DPF}\frac{1}{T_\text{lifetime}} \int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\text{SM}(t)\,dt \tag{1060.6} $$ を得ます。

1059の(1060.5)より $$ Q_\text{SM}(t)=(1-K_\text{SM,DPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,DPF}F_\text{SM}(u) \tag{1060.7} $$ であるため $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\text{SM}(t)\,dt =(1-K_\text{SM,DPF})\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(t)\,dt + K_\text{SM,DPF}\sum_{k=0}^{n-1}\int_0^{\tau}F_\text{SM}(u)\,du \tag{1060.8} $$ となります。

小確率近似 $F_\text{SM}(t)\approx \lambda_\text{SM}t$ を用いれば $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(t)\,dt\approx \frac{\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}^2}{2},\quad \int_0^{\tau}F_\text{SM}(u)\,du\approx \frac{\lambda_\text{SM}\tau^2}{2} \tag{1060.9} $$ です。

したがって $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\text{SM}(t)\,dt \approx \frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1060.10} $$ となります。

(1060.6)(1060.10)より $$ \mathrm{PMHF}\approx \lambda_\text{IF,SPF} + \frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM} \Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1060.11} $$ を得ます。

さらに $$ \lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF},\quad \lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF} \tag{1060.12} $$ を代入すれば $$ \mathrm{PMHF}\approx (1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF} + \frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM} \Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1060.13} $$ となります。

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