生成行列に基づく SPF/DPF の導出

前稿までで、$Q_\text{SM}(t)$ を用いた VSG 到達密度の導出を終えたので、本稿では同じ結果が生成行列からも得られることを示します。ここでは状態を数値ではなく意味を持つ記号で表します。なお、以下の $Q$ は区間内 $(\tau_k,\tau_{k+1})$ の生成行列であり、PIR による回復は含みません。PIR は検査時刻での境界条件として与えます。

区間内のサブシステム過程 $(\eta_t^\text{sub})_{t\ge0}$ の状態順序を

$$ \mathcal S=\bigl(\mathrm{OPR},\mathrm{LAT}_U,\mathrm{LAT}_D,\mathrm{ABS}_\text{SPF},\mathrm{ABS}_\text{DPF}\bigr) \tag{1060.1} $$

とします。ここで $\mathrm{OPR}$ は通常稼働状態、$\mathrm{LAT}_U$ は未検出の潜在状態、$\mathrm{LAT}_D$ は検出対象の潜在状態、$\mathrm{ABS}_\text{SPF}$ と $\mathrm{ABS}_\text{DPF}$ はそれぞれ SPF と DPF に対応する吸収状態です。

IF 側および SM 側の率分解を

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF},\\ \lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF},\\ \lambda_\text{IF}=\lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF},\\ \lambda_\text{SM,U}=(1-K_\text{SM,DPF})\lambda_\text{SM},\\ \lambda_\text{SM,D}=K_\text{SM,DPF}\lambda_\text{SM} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1060.2} $$

とします。

この順序に対応する区間内生成行列 $Q$ は

$$ Q=\left(\matrix{ -(\lambda_\text{SM,U}+\lambda_\text{SM,D}+\lambda_\text{IF,SPF}) & \lambda_\text{SM,U} & \lambda_\text{SM,D} & \lambda_\text{IF,SPF} & 0 \cr 0 & -\lambda_\text{IF} & 0 & \lambda_\text{IF,SPF} & \lambda_\text{IF,DPF} \cr 0 & 0 & -\lambda_\text{IF} & \lambda_\text{IF,SPF} & \lambda_\text{IF,DPF} \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }\right) \tag{1060.3} $$

です。

稼働集合と吸収集合を

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathcal M:=\{\mathrm{OPR},\mathrm{LAT}_U,\mathrm{LAT}_D\},\\ \mathcal P_\text{SPF}:=\{\mathrm{ABS}_\text{SPF}\},\\ \mathcal P_\text{DPF}:=\{\mathrm{ABS}_\text{DPF}\},\\ \mathcal P_\text{VSG}:=\mathcal P_\text{SPF}\cup\mathcal P_\text{DPF} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1060.4} $$

と定義します。

状態確率行ベクトルを

$$ \mathbf p(t)=\bigl(p_\text{OPR}(t),p_{\mathrm{LAT}_U}(t),p_{\mathrm{LAT}_D}(t),p_{\mathrm{ABS}_\text{SPF}}(t),p_{\mathrm{ABS}_\text{DPF}}(t)\bigr), \qquad \frac{d}{dt}\mathbf p(t)=\mathbf p(t)Q \tag{1060.5} $$

とします。一方、PIR は検査時刻での瞬時リセットとして

$$ \mathbf p(\tau_k^+)=\mathbf p(\tau_k^-)R, \qquad R=\left(\matrix{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \cr 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }\right) \tag{1060.6} $$

で与えます。したがって、PIR により $\mathrm{LAT}_D$ の確率質量だけが $\mathrm{OPR}$ に戻ります。

すると、前進方程式の第4成分および第5成分より

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \frac{d}{dt}p_{\mathrm{ABS}_\text{SPF}}(t)=\lambda_\text{IF,SPF}\bigl(p_\text{OPR}(t)+p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr),\\ \frac{d}{dt}p_{\mathrm{ABS}_\text{DPF}}(t)=\lambda_\text{IF,DPF}\bigl(p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr) \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1060.7} $$

を得ます。

ここで初期時刻では吸収状態に確率質量はなく、しかも $\mathrm{ABS}_\text{SPF}$ と $\mathrm{ABS}_\text{DPF}$ は吸収状態なので、

$$ F_\text{SPF}(t)=p_{\mathrm{ABS}_\text{SPF}}(t), \qquad F_\text{DPF}(t)=p_{\mathrm{ABS}_\text{DPF}}(t) \tag{1060.8} $$

です。したがって

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} f_\text{SPF}(t)=\lambda_\text{IF,SPF}\bigl(p_\text{OPR}(t)+p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr),\\ f_\text{DPF}(t)=\lambda_\text{IF,DPF}\bigl(p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr) \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1060.9} $$

となります。

ここで、希少事象近似の下では

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} p_\text{OPR}(t)+p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)=1-F_\text{VSG}(t)\approx1,\\ p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\approx Q_\text{SM}(t) \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1060.10} $$

です。したがって

$$ f_\text{VSG}(t)=f_\text{SPF}(t)+f_\text{DPF}(t)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1060.11} $$

を得ます。これは前稿までの導出と一致します。したがって、PMHF の SPF 項および DPF 項は、生成行列に基づく CTMC からも同じ形で導かれます。

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