On October X, 2026, FS Micro Laboratory※1, a research laboratory specializing in ISO 26262※2, announced that a paper by its principal researcher, Atsushi Sakurai, has been accepted for the 73rd Annual Reliability and Maintainability Symposium (RAMS 2027)※3, an international conference sponsored by the IEEE※4 Reliability Society.

This marks the eighth consecutive year, since 2020, that Sakurai's papers have been accepted at RAMS. The paper will be presented at RAMS 2027, to be held in Florida, USA, in January 2027.

Sakurai's contributions to ISO 26262 began with a paper accepted at an IEEE international conference in 2017, which received the Best Paper Award, and have continued with a more accurate PMHF※5 formula proposed at RAMS 2020, among other work.

The new paper analyzes the origin of a PMHF formula frequently found in the literature, expressed as a simple sum of failure rates, and identifies its source in the PFH※7 formula of IEC 61508※6. The paper then rigorously derives PMHF and PFH on a common mathematical model, and shows that the resulting expressions contain a term that the simple sum of failure rates does not.

This result means that the simple-sum PMHF formula overestimates safety and can even reverse a compliance decision against a safety integrity target. The paper further shows that the PFH formula of IEC 61508 is exact in its simple-sum form only under an idealized condition: perfect and continuous proof testing. This condition is rarely met in practice, in the automotive domain or elsewhere.

These results support a clearer understanding and proper application of both metrics, especially PMHF, in automotive safety analysis.

【Notes】
※1：FS Micro Laboratory (Nagoya, Japan; Principal Researcher: Atsushi Sakurai): A research laboratory specializing in the functional safety of automotive systems. https://fs-micro.com/
※2：ISO 26262: An international standard for the functional safety of automotive electrical and electronic systems, aimed at reducing the risk of hazardous events during driving to an acceptable level.
※3：RAMS (the Reliability and Maintainability Symposium): An international conference on reliability engineering sponsored by the IEEE Reliability Society and others. The 73rd symposium will be held in Florida, USA, in 2027. https://rams.org/
※4：IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers): One of the world's largest technical professional organizations dedicated to advancing electrical and electronic technology. https://ieee.org/
※5：PMHF (Probabilistic Metric for Random Hardware Failures): A metric representing the time-averaged probability of dangerous failures caused by random hardware failures, used as a hardware design target in ISO 26262.
※6：IEC 61508: The generic functional safety standard for electrical and electronic systems, on which sector-specific functional safety standards, including ISO 26262, are based.
※7：PFH (average frequency of a dangerous failure per hour): A quantitative metric used in IEC 61508 for safety functions operating in high-demand or continuous mode.

【Contact】
Company            FS Micro Laboratory
Representative   Atsushi Sakurai
Established        August 21, 2013
Business            Research on functional safety of automotive electronics under ISO 26262
Email                  info@fs-micro.com
URL                    https://fs-micro.com/

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2026年10月27日、ISO 26262※1の研究を行うFSマイクロ研究所※2は、代表研究員 桜井 厚の論文が、IEEE※3信頼性部会が主催する国際会議 第73回RAMS 2027※4に採択されたことを発表しました。

桜井の論文がRAMSに採択されるのは、2020年から8年連続となります。この論文は2027年1月に米国フロリダ州で開催されるRAMS 2027において発表される予定です。

桜井は2017年のIEEE国際会議での論文採択ならびに最優秀論文賞受賞に始まり、RAMS 2020でのより正確なPMHF※5式の提案など、ISO 26262に関する貢献を積み重ねてきました。

今回の論文は、文献にしばしば見られる、単純な故障率の和で表されるPMHF式の由来を分析し、それがIEC 61508※6のPFH※7式から来ることを特定しました。そのうえで、PMHFとPFHを共通の数学モデルの上で厳密に導出し、それらの式には単純な故障率の和には含まれない項が存在することを示しました。

この結果は、単純な和のPMHF式では安全性が過大評価され、安全目標への適合判定が覆りうることを意味します。さらに本論文は、IEC 61508のPFH式が単純な和の形で厳密に成立するのは、完全かつ連続的なプルーフテストという理想化された条件の下に限られることを明らかにしました。この条件は自動車分野に限らず現実にはほぼ成立しません。

本研究の成果は、自動車の安全解析における両指標、とりわけPMHFの正しい理解と適切な適用に資するものです。

【注釈】
※1：ISO 26262：車載電気電子システムの機能安全に関する国際規格。運転中に生じ得る危険事象のリスクを許容水準まで低減することを目的とする。
※2：FSマイクロ研究所（本社：名古屋市。代表研究員：桜井 厚）：車載システムの機能安全に関する研究所。https://fs-micro.com/
※3：IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers、電気電子技術者協会）：電気電子技術の進歩を推進する世界最大級の専門技術者組織。 https://ieee.org/
※4：RAMS（the Reliability and Maintainability Symposium）：IEEE信頼性部会などが主催する信頼性工学の国際会議。第73回は2027年に米国フロリダ州で開催予定。https://rams.org/
※5：PMHF（Probabilistic Metric for Random Hardware Failures）：ランダムハードウェア故障に起因する危険側故障の時間平均確率を表す指標。ISO 26262でハードウェア設計目標として用いられる。
※6：IEC 61508：汎用の電気電子システムの機能安全規格。ISO 26262をはじめ各分野の機能安全規格の基礎となっている。
※7：PFH（average frequency of a dangerous failure per hour）：単位時間当たりの危険側故障の平均頻度であり、IEC 61508で高頻度または連続運用モードの安全機能に用いられる量的指標。

【お問い合わせ先】
会社名　　　　 FSマイクロ研究所
代表者　　　　 桜井 厚
設立年月日　　 2013年8月21日
事業内容　　　 ISO 26262車載電子機器の機能安全の研究
メールアドレス info@fs-micro.com
URL　　　　　 https://fs-micro.com/

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第3回査読が返ってきました。

Review # 1
Comments for the AUTHOR:
Paper and presentation are acceptable.

もともとこのレビューがあり、修正箇所の指摘が無いため、特に対応していませんでしたが、

Review # 3
Comments for the AUTHOR:
Paper is acceptable.

と、なんともあっさりしたもので、最終版を出せとの指示でした。学会登録も済ませ、これで10月の正式採択を待つのみです。

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RAMS 2027運営者がメーリングリストに対して一斉送信したメールを引用します。

Jan 25–28, 2027 Hilton St. Petersburg Bayfront St Petersburg, Florida, USA The 73rd Annual Reliability and Maintainability Symposium “Reliability, Maintainability and Safety in a Changing World: From Legacy Systems to AI-Enabled Futures" January 25--28, 2027 Sakurai Atsushi Functional Safety Researcher FS Micro Laboratory, Nagoya, Japan THE RAMS® RIPPLE EFFECT One idea can inspire the next.  My RAMS® journey began in 2020 when I presented independent research sparked by a practical inconsistency I encountered in an industry standard formula while working in automotive functional safety. Presenting that work at RAMS® gave me the opportunity to share my ideas with a global community of reliability professionals and researchers. What happened afterward is one of the reasons I continue to return to RAMS every year. My research has become part of a virtuous cycle of inspiration. Insights from a RAMS® 2025 presentation inspired my RAMS 2026 paper on integrating AI with Fault Tree Analysis (FTA). At the same time, I was deeply moved to hear from fellow RAMS attendees that ideas from my own papers had helped advance their research. That is what makes the RAMS® community so special.  An idea shared by one researcher can inspire another. That new insight can lead to another paper, another conversation, and another innovation. Through this ongoing exchange, RAMS® creates a chain reaction of knowledge and collaboration that moves reliability engineering forward. And importantly, RAMS® remains a remarkably welcoming environment for newcomers discovering the field and for established experts pushing its boundaries. At RAMS® 2027, I look forward to continuing that chain reaction and seeing what new ideas we inspire in one another. --Sakurai Atsushi, RAMS® presenter since 2020 What will your next idea be? Join the RAMS® community at RAMS® 2027.  Register now

和訳を載せておきます。

THE RAMS® RIPPLE EFFECT

ひとつのアイデアが、次のアイデアを生み出す。

私のRAMS®との関わりは2020年に始まった。当時、自動車の機能安全分野で働いていた際、規格公式に見られた実用上の不整合をきっかけに、独自の研究を行い、その成果を発表したのだ。

RAMS®でその研究を発表することで、私は世界中の信頼性専門家や研究者からなるコミュニティと自分のアイデアを共有する機会を得た。その後起こったことが、私が毎年RAMSに戻り続けている理由の一つだ。

私の研究は、インスピレーションの好循環の一部となった。RAMS® 2025での発表から得た洞察が、AIとフォールトツリー解析（FTA）の統合に関する私のRAMS 2026論文の着想源となった。同時に、他のRAMS参加者から、私の論文のアイデアが彼らの研究の進展に役立ったと聞き、深く感動した。

それこそが、RAMS®コミュニティをこれほど特別なものにしている理由だ。

ある研究者が共有したアイデアが、別の研究者にインスピレーションを与える。その新たな洞察は、次の論文、次の対話、そして次のイノベーションへとつながる。こうした継続的な交流を通じて、RAMS®は信頼性工学を前進させる知識と協働の連鎖反応を生み出している。

そして重要なことに、RAMS®は、この分野を初めて知る初心者にとっても、その境界を押し広げるベテランの専門家にとっても、驚くほど受け入れやすい環境であり続けている。

RAMS® 2027では、その連鎖反応を継続し、互いにどのような新しいアイデアを刺激し合えるかを楽しみにしている。

--桜井厚、2020年よりRAMS®発表者

あなたの次のアイデアは何だろうか？

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第1回査読が返ってきました。

Paper is acceptable and excellent. Presentation looks excellent also. Comment to Author: Recommend adding recommendation(s) when presenting the slides to address how to overcome the differences you have identified in the comparisons.

(訳)論文の内容は妥当かつ優れている。プレゼンテーションも素晴らしい。著者へのコメント：スライドを提示する際には、比較で確認された相違点をどのように克服すべきかについて、具体的な提言を加えることを推奨する。

とのことで、スライドの最後にRecommendationを追加することを検討中です。表1113.1はRAMS 2027正式採択までのマイルストーンであり、今後適宜更新します。

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7月末がRAMS 2027論文の締め切りであり、氏名、所属無し版を投稿しました。表1097.1はRAMS 2027正式採択までのマイルストーンであり、今後適宜更新します。
　

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2027年1月25日から米国フロリダ州セントピーターズバーグのヒルトンホテルで開催される予定のRAMS 2027(73rd Annual Reliability and Maintainability Symposium)に、弊社代表が投稿した論文のアブストラクトが採択されたとの連絡が届きました。 論文テーマは過去にブログ記事で取り上げたPMHF式の簡略化誤りに関するもので、この誤りはどうやらPFHの影響によるもののようです。そのため、PMHFとPFHを確率論から導出し、その差を検討するものです。

さらに以下の記事でも同様の誤りを取り上げています。

• https://fs-micro.com/post/show/id/324.html
• https://fs-micro.com/post/show/id/325.html
• https://fs-micro.com/post/show/id/326.html

まだアブストラクトの採択ですが、正式採択されればRAMSとしては8年連続、IEEEとしては9回目の採択となります。正式採択に向け、7月末の締め切りまでに論文をブラッシュアップしていくことになります。

表1084.1はRAMS 2027正式採択までのマイルストーンであり、今後適宜更新します。

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論理式だけによるIFRのPMHF式導出

前回までに、IFUの場合のVSG事象は、SPF/RF枝とSM1先行のDPF枝に分解できることを示しました。今回は、IFが修理されるIFR、IF repairableの場合を扱います。

IFRでも、SPF/RF枝はIFUと同じです。IF故障がSM1のカバレッジ外にある場合、そのIF故障だけでVSGに至るため、IFが修理可能かどうかは関係しません。

$$ \{VSG_\text{SPF/RF}\}\equiv\{\overline{IF}\cap\overline{DC_1}\} \tag{1082.1} $$

一方、IFRでは、IFUでPMHF寄与を0として扱った枝が新たに現れます。それは、IF故障が先に発生し、その後にSM1故障が発生する枝です。

IF故障がSM1のカバレッジ内にある場合、SM1が正常であればVSGは抑止されます。しかし、IFが修理されるまでの間にSM1が故障すると、IF故障とSM1故障の組合せによりVSGに至ります。したがって、IFRでは、IF故障が先に発生し、その後にSM1故障が発生する枝がDPFとして追加されます。

$$ \{VSG_{\text{IF}\prec\text{SM}}\}\equiv\{(\overline{IF}\cap DC_1)\prec\overline{SM}\} \tag{1082.2} $$

これに対して、SM1故障が先に発生し、その後にIF故障が発生する枝は、IFUの場合と同じです。

$$ \{VSG_{\text{SM}\prec\text{IF}}\}\equiv\{\overline{SM}\prec(\overline{IF}\cap DC_1)\} \tag{1082.3} $$

したがって、IFRの場合のVSG事象は、次の3つの排反事象として表されます。

$$ \begin{eqnarray} \{VSG_\text{IFR}\} &=& \{VSG_\text{SPF/RF}\} \sqcup \{VSG_{\text{SM}\prec\text{IF}}\} \sqcup \{VSG_{\text{IF}\prec\text{SM}}\} \end{eqnarray} \tag{1082.4} $$

ここで、SM1先行枝はIFUの場合と同じく、SM1故障の暴露時間により2つに分かれます。

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \{VSG_{\text{SM}\prec\text{IF,lat}}\} \equiv \{(\overline{SM}\cap\overline{DC_2})\prec_T(\overline{IF}\cap DC_1)\}\\ \{VSG_{\text{SM}\prec\text{IF,det}}\} \equiv \{(\overline{SM}\cap DC_2)\prec_\tau(\overline{IF}\cap DC_1)\} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1082.5} $$

第1枝ではSM1故障がSM2により検出されないため、暴露時間は$T$です。第2枝ではSM1故障がSM2により検出または修理されるため、暴露時間は$\tau$です。

次に、IF先行枝を考えます。ここでは、IF故障が修理または除去されるまでの暴露時間が問題になります。そこで、$DC_\text{IF}$を、IF故障の暴露時間を$T$から$\tau$へ短縮する診断または修理側のカバレッジとして導入します。

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \{VSG_{\text{IF}\prec\text{SM,lat}}\} \equiv \{(\overline{IF}\cap DC_1\cap\overline{DC_\text{IF}})\prec_T\overline{SM}\}\\ \{VSG_{\text{IF}\prec\text{SM,det}}\} \equiv \{(\overline{IF}\cap DC_1\cap DC_\text{IF})\prec_\tau\overline{SM}\} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1082.6} $$

第1枝ではIF故障が修理されず、暴露時間は$T$です。第2枝ではIF故障が修理対象となり、暴露時間は$\tau$です。したがって、IFRでは、SM1故障の暴露時間だけでなく、IF故障の暴露時間もPMHFに現れます。

ここから、各枝をレアイベント近似で確率へ変換します。まず、SPF/RF枝はIFUの場合と同じです。

$$ \begin{eqnarray} PMHF_\text{SPF/RF}(T) &=&\frac{1}{T}\Pr\{VSG_\text{SPF/RF}\}\\ &=&\frac{1}{T}\Pr\{\overline{IF}\cap\overline{DC_1}\}\\ &\approx&\frac{1}{T}(1-DC_1)\lambda_\text{IF}T\\ &=&(1-DC_1)\lambda_\text{IF} \end{eqnarray} \tag{1082.7} $$

SM1先行枝の寄与も、IFUの場合と同じです。

$$ \begin{eqnarray} PMHF_{\text{SM}\prec\text{IF}}(T) &\approx& \frac{1}{2}DC_1\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM} \{(1-DC_2)T+DC_2\tau\} \end{eqnarray} \tag{1082.8} $$

次に、IF先行枝の寄与を求めます。IF故障が先に発生し、その後にSM1故障が発生する順序付き二重故障であるため、同じく係数$\frac{1}{2}$が付きます。

$$ \begin{eqnarray} PMHF_{\text{IF}\prec\text{SM}}(T) &\approx& \frac{1}{2}DC_1\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM} \{(1-DC_\text{IF})T+DC_\text{IF}\tau\} \end{eqnarray} \tag{1082.9} $$

したがって、IFRの場合のPMHFは、SPF/RF枝、SM1先行DPF枝、IF先行DPF枝の和として得られます。

$$ \begin{eqnarray} PMHF_\text{IFR}(T) &\approx& PMHF_\text{SPF/RF}(T)+PMHF_{\text{SM}\prec\text{IF}}(T)+PMHF_{\text{IF}\prec\text{SM}}(T)\\ &\approx& (1-DC_1)\lambda_\text{IF}\\ &&+\frac{1}{2}DC_1\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM} \{(1-DC_2)T+DC_2\tau\}\\ &&+\frac{1}{2}DC_1\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM} \{(1-DC_\text{IF})T+DC_\text{IF}\tau\}\\ &=&\lambda_\text{RF}\\ &&+\frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM1,DPF,lat}T\\ &&+\frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM1,DPF,det}\tau\\ &&+\frac{1}{2}\lambda_\text{SM1,DPF}\lambda_\text{IF,DPF,lat}T\\ &&+\frac{1}{2}\lambda_\text{SM1,DPF}\lambda_\text{IF,DPF,det}\tau \end{eqnarray} \tag{1082.10} $$

最後の変形はパラメータを観測可能なパラメータに分解したものを逆に戻し、規格式と対応するようにしました。

規格式との違いは暴露時間が$\tau$の場合に0.5がかかることであり、これは過去記事で、積分範囲がスライディングウインドウになっているという規格式の誤りを指摘しています。

IFRでは、IFUのSM1先行DPF枝に加えて、IF先行DPF枝が追加されます。工学的には、IF故障がSM1のカバレッジ内にあっても、そのIF故障が修理されるまでの間にSM1故障が発生すれば、2個の故障の組合せによりVSGへ至るためです。

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論理式だけによるIFUのPMHF式導出 その2

前回は、IF故障が発生した瞬間のVSG判定式から、VSG事象をSPF/RF枝とDPF枝に分解しました。

$$ \{VSG\}=\{VSG_\text{SPF/RF}\}\sqcup\{VSG_\text{DPF}\} \tag{1081.1} $$

ここで、$\sqcup$は排反和を表します。すなわち、2つの枝は重複せず、その和としてVSG事象を構成します。

前回得られた2つの枝は、次のように表されます。

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \{VSG_\text{SPF/RF}\}\equiv\{\overline{IF}\cap\overline{DC_1}\}\\ \{VSG_\text{DPF}\}\equiv\{\overline{IF}\cap DC_1\cap\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}\} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1081.2} $$

第1式は、IF故障がSM1のカバレッジ外にある枝です。第2式は、IF故障がSM1のカバレッジ内にあり、かつIF故障時点でSM1が故障している枝です。

ここで、$\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}$は、IF故障時点$\sigma_\text{IF}$においてSM1が故障状態であることを表します。連続時間では、IF故障とSM1故障が同時に発生する確率はほとんど確実に0です。したがって、IF故障時点でSM1が故障していることは、SM1故障がIF故障より前に発生していたことを意味します。

この時間順序を表すため、次の記号を導入します。

$$ A\prec_L B\Longleftrightarrow A\text{が先に発生し、その後、暴露時間}L\text{以内に}B\text{が発生する}\\ A\prec_L B\Longleftrightarrow \sigma_A<\sigma_B\le\sigma_A+L \tag{1081.3} $$

この記号により、DPF枝は次のように書き直せます。

$$ \{VSG_\text{DPF}\}\equiv\{\overline{SM}\prec_L(\overline{IF}\cap DC_1)\} \tag{1081.4} $$

(1081.4)は、SM1故障が先に発生し、その後、SM1によりVSG抑止されるはずだったIF故障が発生する枝です。この枝では、IF故障はSM1のカバレッジ内にありますが、SM1が先に故障しているため、IF故障時点でVSG抑止が成立しません。

次に、SM1故障の暴露時間を考えます。SM1故障がSM2により検出または修理されるかどうかにより、暴露時間は変わります。

SM2により検出されない場合、SM1故障は寿命$T$の間に潜在し得ます。一方、SM2により検出または修理される場合、SM1故障の暴露時間は点検間隔$\tau$に制限されます。

したがって、DPF枝は次の2つの排反事象に分解されます。

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \{VSG_\text{DPF}\}=\{VSG_\text{MPF,lat}\}\sqcup\{VSG_\text{MPF,det}\}\\ \{VSG_\text{MPF,lat}\}\equiv\{(\overline{SM}\cap\overline{DC_2})\prec_T(\overline{IF}\cap DC_1)\}\\ \{VSG_\text{MPF,det}\}\equiv\{(\overline{SM}\cap DC_2)\prec_\tau(\overline{IF}\cap DC_1)\} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1081.5} $$

第1枝は、SM1故障がSM2により検出されない枝です。この枝では、暴露時間は$T$です。第2枝は、SM1故障がSM2により検出または修理される枝です。この枝では、暴露時間は$\tau$です。

ここから、各枝の確率をレアイベント近似で求めます。故障率$\lambda_X$を持つエレメント$X$が時間$L$内に故障する確率を、次のように近似します。

$$ \Pr\{\overline{X}\text{ in }L\}\approx\lambda_XL \tag{1081.6} $$

また、独立な2つの故障$A$と$B$について、時間$L$内で両方が発生する場合、$A$が先で$B$が後となる順序は、全体の半分として扱えます。

$$ \Pr\{A\prec_LB\}\approx\frac{1}{2}\Pr\{A\text{ in }L\}\Pr\{B\text{ in }L\} \tag{1081.7} $$

まず、SPF/RF枝を求めます。この枝では、IF故障がSM1のカバレッジ外にあります。

$$ \begin{eqnarray} \{VSG_\text{SPF/RF}\} &\equiv& \{\overline{IF}\cap\overline{DC_1}\}\\ PMHF_\text{SPF/RF}(T) &=&\frac{1}{T}\Pr\{VSG_\text{SPF/RF}\}\\ &=&\frac{1}{T}\Pr\{\overline{IF}\cap\overline{DC_1}\}\\ &\approx&\frac{1}{T}(1-DC_1)\lambda_\text{IF}T\\ &=&(1-DC_1)\lambda_\text{IF} \end{eqnarray} \tag{1081.8} $$

次に、MPF latent枝を求めます。この枝では、SM1故障がSM2により検出されず、暴露時間は$T$です。したがって、SM1故障が先に発生し、その後にIF故障が発生する順序付き二重故障として、次のようになります。

$$ \begin{eqnarray} \{VSG_\text{MPF,lat}\} &\equiv& \{(\overline{SM}\cap\overline{DC_2})\prec_T(\overline{IF}\cap DC_1)\}\\ PMHF_\text{MPF,lat}(T) &=&\frac{1}{T}\Pr\{VSG_\text{MPF,lat}\}\\ &\approx&\frac{1}{T}\cdot\frac{1}{2}(1-DC_2)\lambda_\text{SM}T\cdot DC_1\lambda_\text{IF}T\\ &=&\frac{1}{2}DC_1\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}(1-DC_2)T \end{eqnarray} \tag{1081.9} $$

次に、MPF detected枝を求めます。この枝では、SM1故障がSM2により検出または修理されるため、暴露時間は$\tau$です。

$$ \begin{eqnarray} \{VSG_\text{MPF,det}\} &\equiv& \{(\overline{SM}\cap DC_2)\prec_\tau(\overline{IF}\cap DC_1)\}\\ PMHF_\text{MPF,det}(T) &=&\frac{1}{T}\Pr\{VSG_\text{MPF,det}\}\\ &\approx&\frac{1}{T}\cdot\frac{1}{2}DC_2\lambda_\text{SM}T\cdot DC_1\lambda_\text{IF}\tau\\ &=&\frac{1}{2}DC_1\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}DC_2\tau \end{eqnarray} \tag{1081.10} $$

以上より、IFUの場合のPMHFは、SPF/RF枝、MPF latent枝、MPF detected枝の和として得られます。

$$ \begin{eqnarray} PMHF_\text{IFU}(T) &\approx&PMHF_\text{SPF/RF}(T)+PMHF_\text{MPF,lat}(T)+PMHF_\text{MPF,det}(T)\\ &\approx&(1-DC_1)\lambda_\text{IF} +\frac{1}{2}DC_1\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}(1-DC_2)T +\frac{1}{2}DC_1\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}DC_2\tau\\ &=&(1-DC_1)\lambda_\text{IF} +\frac{1}{2}DC_1\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\{(1-DC_2)T+DC_2\tau\} \end{eqnarray} \tag{1081.11} $$

最後に、規格の記法に合わせて、$DC_1=K_{\text{SM1,RF}}$、$DC_2=K_{\text{SM2,DPF}}$と置きます。

$$ \begin{eqnarray} PMHF_\text{IFU}(T) &\approx& (1-K_{\text{SM1,RF}})\lambda_\text{IF}\\ &&+\frac{1}{2}K_{\text{SM1,RF}}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM} \{(1-K_{\text{SM2,DPF}})T+K_{\text{SM2,DPF}}\tau\} \end{eqnarray} \tag{1081.12} $$

これにより、IFUの場合のPMHF式が得られました。

この導出では、まずVSGをSPF/RF枝とDPF枝に分解し、次にDPF枝を暴露時間$T$の枝と$\tau$の枝に分解しました。その結果、$DC_1$はIF故障がSM1によりVSG抑止される範囲を表し、$DC_2$はSM1故障の暴露時間を$T$から$\tau$へ短縮する割合として現れます。

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論理式だけによるIFUのPMHF式導出 その1

PMHF式は、故障シナリオを工学的に分解することでも導くことができます。ここでは、IFが修理されないIFU、IF unrepairableの場合を扱います。

$\overline{IF}$をIFの故障、$\overline{SM}$をSM1の故障とします。$DC_1$は、IF故障がSM1のカバレッジ内にある事象を表します。

まず、IF故障が発生した瞬間のVSG判定式を置きます。IF故障は、SM1が正常に動作し、かつそのIF故障がSM1のカバレッジ内にある場合にだけVSG抑止されます。したがって、VSGは次のように表されます。

$$ \{VSG\}=\{\overline{IF}\setminus(SM_{\sigma_\text{IF}}\cap DC_1)\} \tag{1080.1} $$

ここで、$SM_{\sigma_\text{IF}}$は、IF故障時点でSM1が正常であることを表します。したがって、(1080.1)は、IF故障から、IF故障時点でSM1によりVSG抑止される部分を除いた式です。

まず、差集合を積集合に変換し、さらにド・モルガンの法則を用います。

$$ \begin{eqnarray} \{VSG\}&=&\{\overline{IF}\cap\overline{(SM_{\sigma_\text{IF}}\cap DC_1)}\}\\ &=&\{\overline{IF}\cap(\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}\cup\overline{DC_1})\} \end{eqnarray} \tag{1080.2} $$

(1080.2)は、IF故障時点で、SM1が故障しているか、またはIF故障がSM1のカバレッジ外であればVSGになることを表します。

次に、(1080.2)の右辺に現れる条件$\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}\cup\overline{DC_1}$をMECEに分解します。

$$ \begin{eqnarray} \overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}\cup\overline{DC_1} &=&(\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}\cap\overline{DC_1}) \sqcup (\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}\cap DC_1) \sqcup (SM_{\sigma_\text{IF}}\cap\overline{DC_1}) \end{eqnarray} \tag{1080.3} $$

この分解は、VSGになる条件だけを3通りに分けたものです。

1つ目は、IF故障時点でSM1が故障しており、かつIF故障がSM1のカバレッジ外にある場合です。

2つ目は、IF故障時点でSM1が故障しており、かつIF故障がSM1のカバレッジ内にある場合です。

3つ目は、IF故障時点でSM1は正常であり、かつIF故障がSM1のカバレッジ外にある場合です。

したがって、VSG事象は次の3つの排反事象に分かれます。

$$ \begin{eqnarray} \{VSG\} &=&\{\overline{IF}\cap\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}\cap\overline{DC_1}\} \sqcup \{\overline{IF}\cap\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}\cap DC_1\}\\ &&\sqcup \{\overline{IF}\cap SM_{\sigma_\text{IF}}\cap\overline{DC_1}\} \end{eqnarray} \tag{1080.4} $$

ここで、VSGになる3つの枝を故障分類の観点で整理します。

まず、(1080.4)の第1項と第3項は、どちらもIF故障がSM1のカバレッジ外にある枝です。第1項ではSM1も故障していますが、IF故障がカバレッジ外であるため、SM1が正常であってもVSGに至ります。したがって、この2つはSPFまたはRF側にまとめられます。

$$ \begin{eqnarray} \{\overline{IF}\cap\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}\cap\overline{DC_1}\} \sqcup \{\overline{IF}\cap SM_{\sigma_\text{IF}}\cap\overline{DC_1}\} &=&\{\overline{IF}\cap\overline{DC_1}\cap(\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}\sqcup SM_{\sigma_\text{IF}})\}\\ &=&\{\overline{IF}\cap\overline{DC_1}\}\equiv\{VSG_\text{SPF/RF}\} \end{eqnarray} \tag{1080.5} $$

SPF/RF側の条件は、IF故障がSM1のカバレッジ外にあることです。したがって、(1080.4)の第1項と第3項は、SM1の状態にかかわらず、そのIF故障だけでVSGに至るSPFまたはRF側の枝としてまとめられます。

一方、(1080.4)の第2項は、IF故障がSM1のカバレッジ内であり、かつIF故障時点でSM1が故障している枝です。

$$ \{\overline{IF}\cap DC_1\cap\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}\}\equiv\{VSG_\text{DPF}\} \tag{1080.6} $$

DPF側の条件は、IF故障がSM1のカバレッジ内にあり、かつIF故障時点でSM1が故障していることです。これは、IF故障とSM1故障の組合せによりVSGに至る枝であり、MPFのうち2個の故障によるDPFに対応します。

以上より、VSG事象は、最終的に次の2つの排反事象に整理されます。

$$ \{VSG\}=\{VSG_\text{SPF/RF}\}\sqcup\{VSG_\text{DPF}\} \tag{1080.7} $$

ここまでで、VSG事象はSPF/RF枝とDPF枝に排反分解されました。次回は、DPF枝に含まれる$\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}$の意味を時間順序として表し、さらに暴露時間により分解します。

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