サブシステム（VSG吸収）と SPF/DPF 到達密度の定式化

前稿で SM エレメントの時点不稼働確率 $Q_\text{SM}(t)$ を得たので、本稿ではサブシステム水準へ進み、VSG を吸収集合として到達密度 $f_\text{VSG}(t)$ を定式化します。ここでは非冗長系を仮定します。

VSG に対応するサブシステム過程を $(\eta_t^\text{sub})_{t\ge0}$ とし、稼働集合を $\mathcal M_\text{sub}$、吸収集合を $\mathcal P_\text{VSG}$ とします。状態確率行ベクトルと生成行列を

$$ \mathbf p^\text{sub}(t) =\bigl[\mathbf p_M^\text{sub}(t)\ \mathbf p_P^\text{sub}(t)\bigr], \qquad \mathbf Q^\text{sub} =\left(\matrix{ \mathbf Q_{MM} & \mathbf Q_{MP} \cr \mathbf 0 & \mathbf 0 }\right) \tag{1058.1} $$

と表します。

VSG は吸収集合なので、その到達確率は

$$ F_\text{VSG}(t) :=\Pr\{\eta_t^\text{sub}\in\mathcal P_\text{VSG}\} =\mathbf p_P^\text{sub}(t)\mathbf 1 =1-\mathbf p_M^\text{sub}(t)\mathbf 1 \tag{1058.2} $$

と書けます。ここで $\mathbf 1$ は適切な次元の全成分 1 の列ベクトルです。

したがって、VSG 到達密度は

$$ f_\text{VSG}(t) :=\frac{d}{dt}F_\text{VSG}(t) =\mathbf p_M^\text{sub}(t)\mathbf Q_{MP}\mathbf 1 \tag{1058.3} $$

です。すなわち、$f_\text{VSG}(t)$ は稼働集合から VSG 吸収集合への総流出率です。

次に、IF に対応する確率過程を $(\eta_t^\text{IF})_{t\ge0}$ とし、その危険故障モード集合を SPF 寄与集合と DPF 寄与集合に

$$ \mathcal P_\text{IF} =\mathcal P_\text{IF,SPF}\cup\mathcal P_\text{IF,DPF}, \qquad \mathcal P_\text{IF,SPF}\cap\mathcal P_\text{IF,DPF}=\varnothing \tag{1058.4} $$

と分割します。

この分割は、$K_\text{IF,RF}$ を母集団分割割合として用いることに対応します。IF の危険故障率を $\lambda_\text{IF}$ とすると

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF},\\ \lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1058.5} $$

と置けます。

このとき、SPF による VSG 到達密度は

$$ f_\text{SPF}(t) =\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,SPF} \tag{1058.6} $$

です。

一方、DPF は「SM が潜在状態にあり、かつ IF が稼働集合にある」ときに生じるので、前稿で得た $Q_\text{SM}(t)$ を用いて

$$ f_\text{DPF}(t) =\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1058.7} $$

と書けます。

ここで IF 側について指数分布と希少事象近似$\lambda_\text{IF}t\ll 1$を用いると

$$ \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\} =R(t)=e^{-\lambda_\text{IF}t}\approx 1-\lambda_\text{IF}t\approx 1 \tag{1058.8} $$

なので、

$$ f_\text{VSG}(t) =f_\text{SPF}(t)+f_\text{DPF}(t) \approx \lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1058.9} $$

となります。したがって、VSG 到達密度の時間依存は DPF 項を通じて $Q_\text{SM}(t)$ により与えられます。

車両寿命を $T_\text{lifetime}$ とすると、PMHF は

$$ \mathrm{PMHF} =\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}f_\text{VSG}(t)\,dt \tag{1058.10} $$

で与えられます。次稿では、前稿の $Q_\text{SM}(t)$ を (1058.10) に代入し、PMHF の最終式を導きます。

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