サブシステム（VSG吸収）と SPF/DPF 到達密度の定式化

前稿で SM エレメントの時点不稼働確率 $Q_\text{SM}(t)$ を得たので、本稿ではサブシステム水準へ進み、VSG を吸収集合として到達密度 $f_\text{VSG}(t)$ を定式化します。ここでは非冗長系を仮定します。

VSG に対応するサブシステム過程を $(\eta_t^\text{sub})_{t\ge0}$ とし、吸収集合を $\mathcal P_\text{VSG}$ とします。VSG 到達確率を

$$ F_\text{VSG}(t):=\Pr\{\eta_t^\text{sub}\in\mathcal P_\text{VSG}\} \tag{1058.1} $$

と定義します。

VSG 到達密度は

$$ f_\text{VSG}(t):=\frac{d}{dt}F_\text{VSG}(t) \tag{1058.2} $$

です。

次に、IF に対応する確率過程を $(\eta_t^\text{IF})_{t\ge0}$ とし、その危険故障モード集合を SPF 寄与集合と DPF 寄与集合に

$$ \mathcal P_\text{IF} =\mathcal P_\text{IF,SPF}\cup\mathcal P_\text{IF,DPF}, \qquad \mathcal P_\text{IF,SPF}\cap\mathcal P_\text{IF,DPF}=\varnothing \tag{1058.3} $$

と分割します。

このとき、IF の SPF 側および DPF 側の条件付き遷移率を

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \lambda_\text{IF,SPF}:=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}}{dt},\\ \lambda_\text{IF,DPF}:=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}}{dt} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1058.4} $$

と定義します。

さらに、決定論的 $K$ による率分解を用いると

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF},\\ \lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1058.5} $$

です。

まず SPF 項を求めます。条件付き確率の乗法公式より

$$ \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF},\ \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\} =\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,SPF}dt+o(dt) \tag{1058.6} $$

となるので、

$$ f_\text{SPF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,SPF} \tag{1058.7} $$

です。

次に DPF 項を求めます。時刻 $t$ において SM が潜在故障状態にあり、かつ IF が稼働集合にあるとき、その後の微小時間 $dt$ の間に IF の DPF 側故障により VSG に到達する確率は

$$ \Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF},\ \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\}\\ =\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,DPF}dt+o(dt) \tag{1058.8} $$

です。したがって

$$ f_\text{DPF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,DPF} \tag{1058.9} $$

となります。ここで IF 側の故障が希少事象であることから、

$$ \Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\} \approx \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}Q_\text{SM}(t) \tag{1058.10} $$

と近似できるので、

$$ f_\text{DPF}(t)\approx \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1058.11} $$

です。

ここで IF 側については、小確率近似 $\lambda_\text{IF}t\ll1$ の下で

$$ \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\} =R(t)=e^{-\lambda_\text{IF}t}\approx1-\lambda_\text{IF}t\approx1 \tag{1058.12} $$

なので、

$$ f_\text{VSG}(t)=f_\text{SPF}(t)+f_\text{DPF}(t)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1058.13} $$

となります。したがって、VSG 到達密度の時間依存は DPF 項を通じて $Q_\text{SM}(t)$ により与えられます。

最後に、車両寿命を $T_\text{lifetime}$ とすると、VSG の発生確率は

$$ \mathrm{PoF}_\text{VSG}(T_\text{lifetime})=F_\text{VSG}(T_\text{lifetime}) \tag{1058.14} $$

であり、PMHF は

$$ \begin{eqnarray} \mathrm{PMHF}(T_\text{lifetime}) &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\mathrm{PoF}_\text{VSG}(T_\text{lifetime}) =\frac{1}{T_\text{lifetime}}F_\text{VSG}(T_\text{lifetime})\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}f_\text{VSG}(t)\,dt \end{eqnarray} \tag{1058.15} $$

で与えられます。次稿では、前稿の $Q_\text{SM}(t)$ を (1058.15) に代入し、PMHF の最終式を導きます。生成行列に基づく別導出は後続で与えます。

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