エレメント（修理系）を出発点とする導出（決定論的K、PIR周期一定）

前稿で修理系エレメントの時点可用度 $A(t)$ と Vesely 故障率 $\lambda_V(t)$ を定義したので、本稿では SM エレメントの時点不稼働確率 $Q_\text{SM}(t)$ の具体式を導出します。本稿では連続時間マルコフ連鎖の一般論は最小限にとどめ、具体的な生成行列は後続のサブシステム導出で導入します。

確率空間 $(\Omega,\mathcal F,\Pr)$ 上で定義された確率過程 $(\eta_t^\text{SM})_{t\ge0}$ を考えます。任意の $t\ge0$, $s>0$ と状態 $i,j$ に対して

$$ \Pr\{\eta_{t+s}^\text{SM}=j\mid\eta_t^\text{SM}=i,\ \eta_r^\text{SM}=x_r,\ r<t\} =\Pr\{\eta_{t+s}^\text{SM}=j\mid\eta_t^\text{SM}=i\} \tag{1057.1} $$

が成り立つとき、$(\eta_t^\text{SM})_{t\ge0}$ は連続時間マルコフ連鎖です。

斉時連続時間マルコフ連鎖では、微小時間 $dt$ における遷移確率は

$$ \Pr\{\eta_{t+dt}^\text{SM}=j\mid\eta_t^\text{SM}=i\} =q_{ij}dt+o(dt) \tag{1057.2} $$

で与えられます。

前稿の時点可用度 $A_\text{SM}(t)$ を用いれば、SM エレメントの時点不稼働確率は

$$ Q_\text{SM}(t)=1-A_\text{SM}(t) \tag{1057.3} $$

です。

PIR 周期一定を仮定し、検査周期を $\tau$、検査時刻を $\tau_k=k\tau$ とします。区間 $[\tau_k,\tau_{k+1})$ における区間内時刻を

$$ u:=t-\tau_k \qquad \bigl(t\in[\tau_k,\tau_{k+1})\bigr) \tag{1057.4} $$

と定義します。

SM 故障時刻を $\sigma_\text{SM}$ とし、その分布関数を

$$ F_\text{SM}(t):=\Pr\{\sigma_\text{SM}\le t\} \tag{1057.5} $$

と定義します。

本稿では K パラメータを確率試行ではなく、アーキテクチャ能力に由来する母集団分割割合として扱います。SM 母集団ラベルを $C_\text{SM}$ とすると、その割合は

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \Pr\{C_\text{SM}=\mathcal U_\text{SM}\}=1-K_\text{SM,DPF},\\ \Pr\{C_\text{SM}=\mathcal D_\text{SM}\}=K_\text{SM,DPF} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1057.6} $$

です。

このとき、全確率の定理より

$$ \begin{eqnarray} Q_\text{SM}(t) &=& \Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\mid C_\text{SM}=\mathcal U_\text{SM}\}\Pr\{C_\text{SM}=\mathcal U_\text{SM}\}\\ &&+ \Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\mid C_\text{SM}=\mathcal D_\text{SM}\}\Pr\{C_\text{SM}=\mathcal D_\text{SM}\} \end{eqnarray} \tag{1057.7} $$

となります。未検出群は寿命全体で故障確率が蓄積し、検出群は PIR ごとに年齢がリセットされるので、

$$ Q_\text{SM}(t) =(1-K_\text{SM,DPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,DPF}F_\text{SM}(u) \tag{1057.8} $$

を得ます。

さらに、SM 故障時間が指数分布でかつ小確率 $\lambda_\text{SM}x\ll1$ の下では

$$ F_\text{SM}(x)=1-e^{-\lambda_\text{SM}x}\approx\lambda_\text{SM}x \tag{1057.9} $$

となるので、

$$ Q_\text{SM}(t)\approx(1-K_\text{SM,DPF})\lambda_\text{SM}t+K_\text{SM,DPF}\lambda_\text{SM}u \tag{1057.10} $$

となります。

ここで得た $Q_\text{SM}(t)$ は、後続のサブシステム導出において DPF 項の時間依存を担う基本量になります。

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