VSG吸収と到達確率

VSGは規格上復帰を仮定しないため、集合 $\mathcal P$ は吸収集合とします。

VSG到達確率を $$ F(t):=\Pr\{\eta_t\in\mathcal P\} \tag{1058.1} $$ と定義します。

微小時間における増分は $$ F(t+dt)-F(t)=\Pr\{\eta_t\in\mathcal M,\ \eta_{t+dt}\in\mathcal P\}+o(dt) \tag{1058.2} $$ と書けます。

条件付き確率の定義と(1057.3)より $$ F(t+dt)-F(t)=\Pr\{\eta_t\in\mathcal M\}\lambda_v(t)dt+o(dt) \tag{1058.3} $$ が成立します。

到達密度を $$ f(t):=\frac{d}{dt}F(t) \tag{1058.4} $$ と定義すれば、 $$ f(t)=\Pr\{\eta_t\in\mathcal M\}\lambda_v(t) \tag{1058.5} $$ となります。

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Markov性とVesely故障率の導入

確率空間 $(\Omega,\mathcal F,\Pr)$ 上で定義された確率過程 $\{\eta_t\}_{t\ge0}$ を考えます。$\eta_t$ は有限状態空間 $\mathcal E=\{0,1,2,\ldots\}$ を値に取る連続時間マルコフ連鎖（CTMC）とします。

Rochester大学の資料によれば、任意の $t\ge0$, $s>0$, および任意の状態 $i,j\in\mathcal E$ に対して $$ \Pr\{\eta_{t+s}=j\mid\eta_t=i,\ \eta_u=x_u,\ u<t\} =\Pr\{\eta_{t+s}=j\mid\eta_t=i\} \tag{1057.1} $$ が成り立つとき、${\eta_t}$ はCTMCです。これは遷移確率が現在状態のみに依存することを意味します。

斉時CTMCでは微小時間 $dt$ における遷移確率は $$ \Pr\{\eta_{t+dt}=j\mid\eta_t=i\}=q_{ij}dt+o(dt) \tag{1057.2} $$ で与えられます。ここで $q_{ij}$ は生成行列の成分です。

稼働状態集合を $\mathcal M$、不稼働状態集合を $\mathcal P$ とします。

稼働状態から不稼働状態への条件付き遷移率（Vesely故障率）を $$ \lambda_v(t):=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal P\mid\eta_t\in\mathcal M\}}{dt} \tag{1057.3} $$ と定義します。

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upやdownを数式で書いてみます。

非修理系

ランダムプロセス$\eta_s$において、確率変数$X$を無故障稼働時間とします。$\mathcal{M}$を稼働状態のサブセットとし、$\mathcal{P}$を不稼働状態のサブセットとすれば、$X=\inf\lbrace s:\eta_{s}\in\mathcal{P}\rbrace$と示すことができます。

non-repairable elementの瞬間故障率$\lambda(t)$の定義式は、

$$ \lambda(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\lim_{dt\downarrow 0}\frac{\Pr\lbrace X\le t+dt\ |\ t\lt X\rbrace}{dt}\tag{1056.1} $$

であり、(1056.1)を一次展開すれば、

$$ \Pr\lbrace X\le t+dt\ |\ t\lt X\rbrace=\lambda(t)dt+o(dt)\tag{1056.2} $$

となります。ここで(1056.2)に条件付き確率の公式を用いれば、

$$ \Pr\lbrace X\le t+dt\ |\ t\lt X\rbrace=\frac{\Pr\lbrace t\lt X\le t+dt\rbrace}{\Pr\lbrace t\lt X\rbrace}=\frac{f(t)}{R(t)}dt+o(dt)\tag{1056.3} $$

であることから、(1056.2)、(1056.3)の右辺の比較により、

$$ \lambda(t)=\frac{f(t)}{R(t)}\tag{1056.4} $$

修理系

repairable elementのVesely故障率$\lambda_V(t)$は、Christiane Cocozza-Thivent他の論文"The Failure Rate in Reliability. Numerical Treatment"の(1.2)式によれば、

$$\lambda_V(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\lim_{dt\downarrow 0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid \eta_t\in\mathcal{M}\}}{dt} \tag{1056.5}$$

であり、(1056.5)を一次展開すれば、 $$ \Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid\eta_t\in\mathcal{M}\}=\lambda_V(t)dt+o(dt)\tag{1056.6} $$

となります。次に無条件瞬間ダウン強度$h(t)$の定義式は、

$$ h(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=} \lim_{dt\downarrow 0} \frac{\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\}}{dt} \tag{1056.7} $$

であり、(1056.7)を一次展開すれば、 $$ \Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\}=h(t)dt+o(dt)\tag{1056.8} $$

となります。また、point availability$A(t)$は、

$$A(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M}\}\tag{1056.9}$$

で表されます。ここで(1056.6)に条件付き確率の公式を用いれば、(1056.8)及び(1056.9)より、

$$ \Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid \eta_t\in\mathcal{M}\} =\frac{\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\}}{\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M}\}} =\frac{h(t)}{A(t)}dt+o(dt) \tag{1056.10} $$

であることから、(1056.6)、(1056.10)の右辺の比較により、

$$ \lambda_V(t)=\frac{h(t)}{A(t)}\tag{1056.11} $$

この記事の改訂版です。

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