同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャにおける $w_\text{VSG}(t)$ の導出

前稿では、PMHF 側の VSG 初回到達密度 $f_\text{VSG}(t)$ を導出しました。本稿では、同じ IF と SM から成る非冗長サブシステムアーキテクチャの上で、PFH 側の VSG 発生頻度 $w_\text{VSG}(t)$ を導出します。

PFH では、VSG の初回発生だけではなく、観測区間内に発生する VSG の全発生回数を数えます。したがって、VSG 計数過程 $(N_t^\text{VSG})_{t\ge0}$ に対して、時刻 $t$ における VSG 発生頻度 $w_\text{VSG}(t)$ を

$$ E\{N_{t+dt}^\text{VSG}-N_t^\text{VSG}\} =w_\text{VSG}(t)dt+o(dt) \tag{1077.1} $$

と定義します。

PMHF 側では $N_t^\text{VSG}=0$ という初回到達条件が入りました。一方、PFH 側ではこの条件を付けません。そのため、時刻 $t$ における IF および SM の状態から、次の微小時間 $dt$ における VSG 発生を数えます。

PFH 側では IF を repairable process として扱うため、IF が時刻 $t$ に稼働集合にある確率を

$$ A_\text{IF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}, \qquad U_\text{SM}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\} \tag{1077.2} $$

と表します。ここで、$A_\text{IF}(t)$ は IF の availability、$U_\text{SM}(t)$ は SM が潜在故障集合にある確率です。

まず、状態過程から得られる一般形を導出します。SPF 項について、時刻 $t$ に IF が稼働集合にあり、その後の微小時間 $dt$ の間に IF の SPF 側故障によって VSG が発生する確率は

$$ \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}, \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\}\\ =\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\} \Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF} \mid \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\\ =A_\text{IF}(t)\lambda_{v,\text{IF,SPF}}(t)dt+o(dt) \tag{1077.3} $$

です。したがって、状態過程から得られる PFH 側の SPF 発生頻度は

$$ w_\text{SPF}^{\text{gen}}(t) =A_\text{IF}(t)\lambda_{v,\text{IF,SPF}}(t) \tag{1077.4} $$

となります。

同様に DPF 項について、時刻 $t$ に SM が潜在故障集合にあり、かつ IF が稼働集合にあるとき、その後の微小時間 $dt$ の間に IF の DPF 側故障によって VSG が発生する確率は、IF fault と SM fault の独立性より

$$ \Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}, \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}, \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\}\\ =\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\} \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}, \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\}\\ =U_\text{SM}(t)A_\text{IF}(t)\lambda_{v,\text{IF,DPF}}(t)dt+o(dt) \tag{1077.5} $$

です。したがって、状態過程から得られる PFH 側の DPF 発生頻度は

$$ w_\text{DPF}^{\text{gen}}(t) =U_\text{SM}(t)A_\text{IF}(t)\lambda_{v,\text{IF,DPF}}(t) \tag{1077.6} $$

となります。

よって、状態過程から得られる PFH 側の VSG 発生頻度は

$$ w_\text{VSG}^{\text{gen}}(t) =w_\text{SPF}^{\text{gen}}(t)+w_\text{DPF}^{\text{gen}}(t)\\ =A_\text{IF}(t) \{\lambda_{v,\text{IF,SPF}}(t) +U_\text{SM}(t)\lambda_{v,\text{IF,DPF}}(t)\} \tag{1077.7} $$

です。

一方、標準的な PFH 簡略式との比較では、状態依存の一般形 $w_\text{VSG}^{\text{gen}}(t)$ ではなく、定数故障率パラメータによる reduced representation を用います。この標準簡略形を

$$ w_\text{VSG}^{\text{std}}(t) \approx \lambda_{\text{IF,SPF}} +U_\text{SM}(t)\lambda_{\text{IF,DPF}} \tag{1077.8} $$

と表します。ここで、$w_\text{VSG}^{\text{std}}(t)$ は $w_\text{VSG}^{\text{gen}}(t)$ の恒等変形ではありません。$A_\text{IF}(t)\lambda_{v,\text{IF}}(t)=\lambda_\text{IF}$ と仮定しているのではなく、標準 PFH 簡略式で用いられる定数故障率パラメータによる reduced representation を別途導入しています。

式 (1077.9) の簡略形でも、$U_\text{SM}(t)\lambda_{\text{IF,DPF}}$ は、SM が潜在故障状態にあるときに IF の DPF 側故障が発生するシナリオを表しています。省略されているのは、SM の潜在故障ではなく、IF 側の availability factor $A_\text{IF}(t)$ および Vesely 故障率の状態依存性です。

前稿で導出した PMHF 側の VSG 初回到達密度は

$$ f_\text{VSG}(t) =R_\text{IF}(t)\lambda_{\text{IF,SPF}} +U_\text{SM}(t)R_\text{IF}(t)\lambda_{\text{IF,DPF}} \tag{1077.9} $$

でした。これに対し、PFH 側の一般形では $N_t^\text{VSG}=0$ という初回到達条件が入らないため、$R_\text{IF}(t)$ ではなく $A_\text{IF}(t)$ が現れ、さらに時刻 $t$ の状態に依存する Vesely 故障率が現れます。一方、標準 PFH 簡略式では、それらを陽に扱わない reduced representation として式 (1077.9) を用います。

以上より、同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャにおいても、PMHF 側の $f_\text{VSG}(t)$ と PFH 側の発生頻度は一般には一致しません。PFH 側では、時刻 $t$ の状態からの VSG 発生を計数過程として数えるため、初回到達条件を含まないことが本質的な違いです。

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