生成行列による PMHF と PFH の対称比較

前二稿では、VSG 計数過程を用いることで、PMHF と PFH を行列を使わずに厳密比較し、その差が寿命区間内における 2 回目以降の VSG 発生の寄与であることを示しました。さらに、同じ IF と SM から成るサブシステムアーキテクチャに同じ rare-event 近似を適用すると、両者が同じ二次故障率式に帰着することを示しました。

本稿では、その結果を生成行列の言葉で書き直します。目的は、これまで PMHF 側と PFH 側で別々に提示していた行列導出を対称化し、両者の差と一致がどこに現れるかを共通の枠組みで確認することです。

確率空間 $(\Omega,\mathcal F,\Pr)$ 上で定義されたサブシステム過程 $(\eta_t^\text{sub})_{t\ge0}$ を考えます。状態集合を稼働集合 $\mathcal M$ と危険集合 $\mathcal P_\text{VSG}$ に分け、状態確率ベクトルを

$$ \mathbf p(t)=\bigl[\mathbf p_M(t)\ \mathbf p_P(t)\bigr] \tag{1075.1} $$

とします。ここで $\mathbf p_M(t)$ は時刻 $t$ において稼働集合 $\mathcal M$ にある確率成分、$\mathbf p_P(t)$ は危険集合 $\mathcal P_\text{VSG}$ にある確率成分です。

生成行列をブロック行列で

$$ Q= \begin{pmatrix} Q_{MM} & Q_{MP}\\ Q_{PM} & Q_{PP} \end{pmatrix} \tag{1075.2} $$

と書けば、前進方程式は

$$ \frac{d}{dt}\mathbf p(t)=\mathbf p(t)Q \tag{1075.3} $$

です。

まず PMHF 側では、VSG を吸収集合として扱います。このとき危険集合から稼働集合への戻りはなく、

$$ Q_{PM}=0, \qquad Q_{PP}=0 \tag{1075.4} $$

です。危険集合への到達確率を

$$ F_\text{VSG}(t)=\mathbf p_P(t)\mathbf 1 \tag{1075.5} $$

とおけば、その到達密度は

$$ f_\text{VSG}(t)=\frac{d}{dt}F_\text{VSG}(t)=\mathbf p_M(t)Q_{MP}\mathbf 1 \tag{1075.6} $$

となります。したがって PMHF は

$$ \mathrm{PMHF}(T)=\frac{1}{T}\int_0^T f_\text{VSG}(t)\,dt \tag{1075.7} $$

です。

次に PFH 側では、同じ危険集合 $\mathcal P_\text{VSG}$ を修理可能な危険状態集合として扱います。このとき危険事象の発生頻度は、危険集合への総流入頻度として

$$ w_\text{VSG}(t)=\mathbf p_M(t)Q_{MP}\mathbf 1 \tag{1075.8} $$

と書けます。一方、危険状態の占有確率

$$ U_\text{VSG}(t)=\mathbf p_P(t)\mathbf 1 \tag{1075.9} $$

の時間変化は

$$ \frac{d}{dt}U_\text{VSG}(t)=\mathbf p_M(t)Q_{MP}\mathbf 1-\mathbf p_P(t)Q_{PM}\mathbf 1 \tag{1075.10} $$

であり、一般には $w_\text{VSG}(t)$ と一致しません。ここに、吸収型 PMHF と修理型 PFH の定義上の差が現れます。

PFH は危険事象の累積発生回数の期待値の時間平均であるから、

$$ \mathrm{PFH}(0,T)=\frac{1}{T}\int_0^T w_\text{VSG}(t)\,dt \tag{1075.11} $$

です。

ここで、同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャを用い、前稿と同じ rare-event 近似を適用すると、PMHF 側の到達密度と PFH 側の発生頻度はいずれも

$$ f_\text{VSG}(t)\approx w_\text{VSG}(t)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}U_\text{SM}(t) \tag{1075.12} $$

となります。したがって、両者は同じ周期平均

$$ \frac{1}{T}\int_0^T U_\text{SM}(t)\,dt\approx\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1075.13} $$

を共有し、最終的に

$$ \begin{eqnarray} \mathrm{PMHF}(T)\approx\mathrm{PFH}(0,T) &\approx& (1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF} \\ &&+ \frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM} \bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \end{eqnarray} \tag{1075.14} $$

へ帰着します。

以上より、生成行列を用いても、PMHF と PFH の関係は前稿までの非行列導出と同じ構造を持つことが分かります。厳密には、PMHF は吸収集合への初回到達を、PFH は危険集合への反復進入を数えるため、両者の差は 2 回目以降の VSG 発生にあります。しかし同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャと同じ rare-event 近似の下では、その差は高次項に押し込められ、両者は同じ二次故障率式に帰着します。

これで、PMHF 側も PFH 側も、非行列導出と行列導出の両方で対称に比較できるようになりました。

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