同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャにおける $f_\text{VSG}(t)$ と $w_\text{VSG}(t)$ の厳密導出

本稿では、その高次差をまだ落とさずに、同じ IF と SM から成る非冗長サブシステムアーキテクチャの上で、PMHF 側の VSG 初回到達密度 $f_\text{VSG}(t)$ と PFH 側の VSG 発生頻度 $w_\text{VSG}(t)$ を厳密に導出します。

ここでは、IF と SM に対応する確率過程をそれぞれ $(\eta_t^\text{IF})_{t\ge0}$ および $(\eta_t^\text{SM})_{t\ge0}$ とします。IF の稼働集合を $\mathcal M_\text{IF}$、SM の潜在故障集合を $\mathcal P_\text{SM}$ とします。また、IF の危険故障モード集合を SPF 寄与集合と DPF 寄与集合に

$$ \mathcal P_\text{IF}=\mathcal P_\text{IF,SPF}\cup\mathcal P_\text{IF,DPF}, \qquad \mathcal P_\text{IF,SPF}\cap\mathcal P_\text{IF,DPF}=\varnothing \tag{1073.1} $$

と分割します。

このとき、IF の SPF 側および DPF 側への条件付き遷移率、すなわち Vesely 故障率を

$$ \lambda_{V,\text{IF,SPF}}=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}}{dt} \tag{1073.2} $$

および

$$ \lambda_{V,\text{IF,DPF}}=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}}{dt} \tag{1073.3} $$

と定義します。

まず PMHF 側を考えます。VSG の累積発生回数を表す計数過程を $(N_t^\text{VSG})_{t\ge0}$ とし、その初回発生時刻を

$$ \sigma_\text{VSG}=\inf\{t\ge0\mid N_t^\text{VSG}\ge1\} \tag{1073.4} $$

とします。PMHF 側では、時刻 $t$ までにまだ VSG が一度も発生していない条件の下でのみ、VSG 到達を数えます。

まず SPF 項について、時刻 $t$ までにまだ VSG が起きておらず、かつ IF が稼働集合にあるとき、その後の微小時間 $dt$ の間に IF の SPF 側故障によって VSG に到達する確率は

$$ \Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}, \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\}\\ =\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}}dt+o(dt) \tag{1073.5} $$

です。したがって、これを $dt$ で割って $dt\to0$ とすると、PMHF 側の SPF 到達密度は

$$ f_\text{SPF}(t)=\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}} \tag{1073.6} $$

となります。

同様に DPF 項について、時刻 $t$ までにまだ VSG が起きておらず、かつ SM が潜在故障集合にあり IF が稼働集合にあるとき、その後の微小時間 $dt$ の間に IF の DPF 側故障によって VSG に到達する確率は

$$ \Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}, \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF},\ \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\}\\ =\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}}dt+o(dt) \tag{1073.7} $$

です。したがって、PMHF 側の DPF 到達密度は

$$ f_\text{DPF}(t)=\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1073.8} $$

となります。

よって、PMHF 側の VSG 初回到達密度は

$$ \begin{eqnarray} f_\text{VSG}(t)&=&f_\text{SPF}(t)+f_\text{DPF}(t)\\ &=&\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}}\\ &&+\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1073.9} \end{eqnarray} $$

です。

次に PFH 側を考えます。PFH では VSG の全発生回数を数えるので、時刻 $t$ における VSG 発生頻度 $w_\text{VSG}(t)$ を

$$ E\{N_{t+dt}^\text{VSG}-N_t^\text{VSG}\}=w_\text{VSG}(t)dt+o(dt) \tag{1073.10} $$

と定義します。

このとき、PFH 側の SPF 発生頻度は

$$ w_\text{SPF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}} \tag{1073.12} $$

であり、DPF 発生頻度は

$$ w_\text{DPF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1073.13} $$

です。したがって、PFH 側の VSG 発生頻度は

$$ w_\text{VSG}(t)=w_\text{SPF}(t)+w_\text{DPF}(t) \tag{1073.14} $$

すなわち

$$ w_\text{VSG}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}}\\ +\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1073.15} $$

となります。

(1073.10) と (1073.15) を比べると、同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャの下でも、PMHF 側の $f_\text{VSG}(t)$ と PFH 側の $w_\text{VSG}(t)$ は厳密には一致しません。その違いは、PMHF 側には「まだ VSG が一度も起きていない」ことを表す $\sigma_\text{VSG}>t$ の条件が入っているのに対し、PFH 側にはその条件が無いことです。

この差をそのまま書けば、

$$ w_\text{VSG}(t)-f_\text{VSG}(t) =\Pr\{\sigma_\text{VSG}\le t,\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}}\\ +\Pr\{\sigma_\text{VSG}\le t,\ \eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1073.16} $$

となり、これは前二稿で見た「2 回目以降の VSG 発生の寄与」の時間局所版になっています。

以上より、同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャにおいても、PMHF と PFH は厳密には異なる量であり、その違いは PMHF が初回発生だけを数え、PFH が全発生回数を数えるところから生じます。

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