過去記事の改版です。

ISO 26262のPMHFの導出の場合、微小確率の積分を実行する際に次の(1078.1)式が出てくるため、あらかじめ結果を導出しておき、後程積分公式として使用します。

サブシステムにエレメント1及び2があり、$\lambda_1, \lambda_2\ll 1, T_\text{lifetime}=T=n\tau, u=t\bmod\tau$とするとき、

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{1}(t) f_\text{2}(t)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_1\lambda_2T,\cdots(1)\tag{1078.1}\\ \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{1}(u) f_\text{2}(t)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_1\lambda_2\tau,\cdots(2)\\ \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{1}(t) f_\text{2}(u)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_1\lambda_2T,\cdots(3)\\ \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{1}(u) f_\text{2}(u)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_1\lambda_2\tau\cdots(4) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

まず、基本的に被積分関数は$t$に関する1次式とします。これは積分すると2次と次数が上がり、PMHFレベルでは2次までの近似で良いからです。従って、過去記事のようにまじめにexponentialで展開せずに、$\lambda_x t\ll 1$の条件下で、

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} F_x(t)=1-e^{-\lambda_x t}\approx\lambda_x t\\ f_x(t)=\lambda_x e^{-\lambda_x t}=\lambda_x R_x(t)\approx \lambda_x \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1078.2} $$ で近似してしまいます。すると、(1078.1)の(1)は

$$ \require{cancel} \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{1}(t)f_\text{2}(t)dt\approx\frac{1}{T}\int_0^{T}\lambda_\text{1}t\cdot\lambda_\text{2}dt\\ =\frac{1}{\bcancel{T}}\lambda_\text{1}\lambda_\text{2}\frac{1}{2}T^\bcancel{2} =\frac{1}{2}\lambda_\text{1}\lambda_\text{2}T \tag{1078.3} $$

結果の1と2に関する対称性から推測可能なように、(1078.1)の(1)において1と2を入れ替えた次の式も同じ値となります。 $$ \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{2}(t)f_\text{1}(t)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_\text{1}\lambda_\text{2}T\tag{1078.4} $$ 次に(1078.1)の(2)からはやや複雑になりますが、基本的には同様な計算を行います。$T=n\tau, i=0, 1, \ldots, n-1$という区間分割を行い、 $$ \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{1}(u)f_\text{2}(t)dt \approx\frac{1}{T}\sum_{i=0}^{n-1}\int_0^\tau\lambda_\text{1}u\cdot\lambda_\text{2}dt =\frac{n}{T}\lambda_\text{1}\lambda_\text{2}\int_0^{\tau}u\ du\\ =\frac{\bcancel{n}}{\bcancel{T}}\lambda_\text{1}\lambda_\text{2}\frac{1}{2}\tau^\bcancel{2}=\frac{1}{2}\lambda_\text{1}\lambda_\text{2}\tau \tag{1078.5} $$ となり、1と2を入れ替えた次の式も同じ値となります。 $$ \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{2}(u) f_\text{1}(t)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_\text{2}\lambda_\text{1}\tau\ \tag{1078.6} $$

次は(3)です。これはエレメント2の$u$に関する項が(1078.2)を用いると定数$\lambda_2$になります。そのため被積分関数は$t$の関数であり区間分割は行いません。従って(1078.3)を用いて、 $$ \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{1}(t) f_\text{2}(u)dt \approx\frac{1}{T}\int_0^T\lambda_\text{1}t\cdot\lambda_\text{2}dt \approx\frac{1}{2}\lambda_1\lambda_2T \tag{1078.7} $$ となり、1と2を入れ替えた次の式も同じ値となります。 $$ \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{2}(t) f_\text{1}(u)dt \approx\frac{1}{2}\lambda_1\lambda_2T \tag{1078.8} $$

最後は(4)です。これも同様にエレメント2に関する項が定数であるから、(1078.5)を用いて、 $$ \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{1}(u) f_\text{2}(u)dt \approx\frac{1}{T}\sum_{i=0}^{n-1}\int_0^\tau\lambda_\text{1}u\cdot\lambda_\text{2}dt \approx\frac{1}{2}\lambda_1\lambda_2\tau \tag{1078.9} $$ となり、1と2を入れ替えた次の式も同じ値となります。 $$ \frac{1}{T}\int_0^{T}F_\text{2}(u) f_\text{1}(u)dt \approx\frac{1}{2}\lambda_1\lambda_2\tau \tag{1078.10} $$

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