LAT1⇒DPFの平均PUDの計算

最後にLAT1からDPFへの平均PUDを計算します。

LAT1からDPFへの遷移(d)の平均PUDは、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_\text{DPF(d),IFR}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{DPF via (d) at }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{LAT1 at }t\cap\text{SM down in }(t, t+dt]\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{SM down in }(t, t+dt]\ |\ \text{LAT1 at }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\text{LAT1 at }t\} \end{eqnarray} \tag{1089.1} $$

IF preventableのdown状態は、 $$ \begin{eqnarray} \Pr\{\text{IF}^{\text{R}}_{\text{prev}}\text{ down at }t\}&=&K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\left[(1-K_\text{IF,MPF})F_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}F_\text{IF}(u)\right]\\ &=&K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}Q_\text{IF}(t) \end{eqnarray} \tag{1089.2} $$ となります。ただし、$Q_\text{IF}(t):=(1-K_\text{IF,MPF})F_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}F_\text{IF}(u)$です。

また、SMのup状態を、$A_\text{SM}(t):=(1-K_\text{SM,MPF})R_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}R_\text{SM}(u)$とすれば、 $$ \begin{eqnarray} \Pr\{\text{LAT1 at }t\}&=&\Pr\{\text{IF}^{\text{R}}_{\text{prev}}\text{ down at }t\cap\text{SM up at }t\}\\ &=&K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\left[(1-K_\text{IF,MPF})F_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}F_\text{IF}(u)\right]A_\text{SM}(t)\\ &=&K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}Q_\text{IF}(t)A_\text{SM}(t) \end{eqnarray} \tag{1089.3} $$ と書けます。

一方、(1089.1)の右辺積分中の条件付き確率式は、 $$ \require{cancel} \begin{eqnarray} &&\hspace{-6em}\Pr\{\text{SM down in }(t, t+dt]\ |\ \text{LAT1 at }t\}\\ &=&\Pr\{\text{SM down in }(t, t+dt]\ |\ \text{SM up at }t\cap\bcancel{\text{IF}^{\text{R}}_{\text{prev}}\text{ down at }t}\}\\ &=&\Pr\{\text{SM down in }(t, t+dt]\ |\ \text{SM up at }t\}\\ &=&\lambda_\text{SM}dt \end{eqnarray} \tag{1089.4} $$ です。

(1089.3)、(1089.4)を(1089.1)に用いれば、 $$ \begin{eqnarray} (1089.1)&=&\frac{K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\left[(1-K_\text{IF,MPF})F_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}F_\text{IF}(u)\right]\\ & &\cdot\left[(1-K_\text{SM,MPF})f_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}f_\text{SM}(u)\right]dt\\ &\approx&\bbox[#ccffff,2pt]{K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta_\text{d}},\\ & &\text{ただし、}\beta_\text{d}:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{IF,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{IF,MPF}\tau\right] \end{eqnarray} \tag{1089.5} $$ です。

従来記事では、(1089.5)の積分結果を$\beta$とし、$K_\text{IF,MPF}$と$K_\text{SM,MPF}$を合成した$K_\text{MPF}$を用いていました。しかし、LAT1⇒DPF(d)ではIFが先に潜在しており、SMは後から発生する故障です。したがって、露出時間を決めるのはIF側のMPF検出率$K_\text{IF,MPF}$であり、SM側の$K_\text{SM,MPF}$は一次近似結果には現れません。

すなわち、この遷移(d)に対応する量は、従来の$\beta$ではなく、 $\beta_\text{d}:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{IF,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{IF,MPF}\tau\right]$ です。

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