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連続時間マルコフ連鎖とPMHF式の導出 改訂版 |
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エレメント（修理系）を出発点とする導出（決定論的K、PIR周期一定）
確率空間 $(\Omega,\mathcal F,\Pr)$ 上で定義された確率過程 $(\eta_t^\text{elem})_{t\ge0}$ を考えます。Rochester大学の資料に従い、任意の $t\ge0$, $s>0$ と状態 $i,j$ に対して
$$ \Pr\{\eta_{t+s}^\text{elem}=j\mid\eta_t^\text{elem}=i,\ \eta_u^\text{elem}=x_u,\ u<t\} =\Pr\{\eta_{t+s}^\text{elem}=j\mid\eta_t^\text{elem}=i\} \tag{1057.1} $$ が成り立つとき、$(\eta_t^\text{elem})_{t\ge0}$ は連続時間マルコフ連鎖（CTMC）です。
斉時CTMCでは、微小時間 $dt$ における遷移確率は $$ \Pr\{\eta_{t+dt}^\text{elem}=j\mid\eta_t^\text{elem}=i\}=q_{ij}dt+o(dt) \tag{1057.2} $$ で与えられます。
稼働集合を $\mathcal M_\text{elem}$、不稼働集合を $\mathcal P_\text{elem}$ とします。稼働から不稼働への条件付き遷移率（Vesely故障率）を $$ \lambda_\text{v}^\text{elem}(t):=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{elem}\in\mathcal P_\text{elem}\mid\eta_t^\text{elem}\in\mathcal M_\text{elem}\}}{dt} \tag{1057.3} $$ と定義します。
次に、SMの潜在不稼働確率（point-unavailability）を $Q_\text{SM}(t)$ とします。本稿ではKパラメータを確率試行ではなく、アーキテクチャ能力に由来する母集団分割割合（決定論的解釈）として扱います。
PIR周期一定を仮定し、検査周期を $\tau$、検査時刻を $\tau_k=k\tau$ とします。区間内時刻を $$ u:=t-\tau_k\quad (t\in[\tau_k,\tau_{k+1})) \tag{1057.4} $$ と定義します。
SM故障発生のCDFを $$ F_\text{SM}(t):=\Pr\{\sigma_\text{SM}\le t\} \tag{1057.5} $$ と定義します。
点検で検出されない母集団割合を $1-K_\text{SM,DPF}$、点検で検出される母集団割合を $K_\text{SM,DPF}$ とすると、全確率の定理より $$ Q_\text{SM}(t)=(1-K_\text{SM,DPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,DPF}F_\text{SM}(u) \tag{1057.6} $$ を得ます。これが状態分割を不要にする統一式です。
区間内で微分可能なとき $$ q_\text{SM}(t):=\frac{d}{dt}Q_\text{SM}(t) \tag{1057.7} $$ と定義すると、(1057.4)(1057.6)より区間内では $du/dt=1$ なので $$ q_\text{SM}(t)=(1-K_\text{SM,DPF})f_\text{SM}(t)+K_\text{SM,DPF}f_\text{SM}(u) \tag{1057.8} $$ となります。ここで $f_\text{SM}(t):=dF_\text{SM}(t)/dt$ です。
区間内では修理が起きないため、指数分布を仮定する場合は $$ F_\text{SM}(t)=1-\exp(-\lambda_\text{SM}t) \tag{1057.9} $$ であり、小確率 $\lambda_\text{SM}\tau\ll 1$ の下では $$ F_\text{SM}(u)\approx \lambda_\text{SM}u \tag{1057.10} $$ として近似できます。
