実例が無いとわかりにくいので、実例を見てみます。2個の部品があり、稼働状態を$\img[-0.2em]{/images/up.png}$、故障状態を$\img[-0.2em]{/images/dn.png}$で表すとき、見本空間を $$ \Omega=\{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4\}, s.t. \omega_1=\img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/up.png}, \omega_2=\img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/up.png}, \omega_3=\img[-0.2em]{/images/up.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png}, \omega_4=\img[-0.2em]{/images/dn.png} \img[-0.2em]{/images/dn.png} $$ とします。可測空間$(\Omega, \mathcal{F})$があり、$\mathcal{F}$を$\Omega$の全ての部分集合から成る集合族とすれば、$\sigma$加法族$\mathcal{F}$の元は$2^4=16$個あり、 $$ \mathcal{F}=\{\varnothing, \{\omega_1\}, \{\omega_2\}, \{\omega_3\}, \{\omega_4\}, \{\omega_1, \omega_2\}, \{\omega_1, \omega_3\}, \{\omega_1, \omega_4\}, \{\omega_2, \omega_3\}, \{\omega_2, \omega_4\}, \{\omega_3, \omega_4\}, \\ \{\omega_1, \omega_2, \omega_3\}, \{\omega_1, \omega_2, \omega_4\}, \{\omega_1, \omega_3, \omega_4\}, \{\omega_2, \omega_3, \omega_4\}, \Omega\} $$ となります。これは$\Omega$の根元事象ひとつ一つを見分けることに相当します。これをJupyter Notebookで確認すると、

generate_sigma_algebra(FiniteSet(1,2,3,4), FiniteSet({1},{2},{3},{4}))

{∅,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}}

であり、上記と一致することが判ります。

次に、事象の故障部品数を表す確率変数$X$を考えます。

このとき、 $$ X(\omega_1)=0, X(\omega_2)=X(\omega_3)=1, X(\omega_4)=2 $$ であり、$\sigma$加法族の基本単位は $$ X^{-1}(0)=\omega_1, X^{-1}(1)=\{\omega_2, \omega_3\}, X^{-1}(2)=\omega_4 $$ の3つとなります。

可測空間$(\Omega, \mathcal{G})$を考え、上記基本単位から生成される$\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$となる部分$\sigma$加法族$\mathcal{G}$は、 $$ \mathcal{G}=\{\varnothing, \{\omega_1\}, \{\omega_4\}, \{\omega_1, \omega_4\}, \{\omega_2, \omega_3\}, \{\omega_1, \omega_2, \omega_3\}, \{\omega_2, \omega_3, \omega_4\}, \Omega\} $$ となります。これをJupyter Notebookで確認すると、

generate_sigma_algebra(FiniteSet(1,2,3,4), FiniteSet({1},{2,3},{4}))

{∅,{1},{4},{1,4},{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{1,2,3,4}}

であり、上記と一致することが判ります。

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