LAT2⇒DPFの平均PUDの計算

LAT2⇒DPFの遷移(c)の平均PUDを計算します。

図371.1 LAT2⇒DPF1の遷移(c)

LAT2の状態のうち、(VSG of)IF preventable部分について考えます。 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_\mathrm{DPF(c),IFR}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{DPF\ via\ (c)\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT2_\text{prev}\ at\ }t\cap\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2_\text{prev}\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT2_\text{prev}\ at\ }t\} \end{eqnarray} \tag{371.1} $$ 同様に、表368.1よりIF preventableのup状態は従来 (4),(6)及び(8)でしたが、新たに(3)がfaultlessとして加わる ことにより、 $$ \Pr\{\mathrm{IF^R_\text{prev}\ up\ at\ }t\}\\ =K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}\left[R_\text{IF}(t)+F_\text{IF}(t)\right]+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\left[(1-K_\text{IF,MPF})R_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}R_\text{IF}(u)\right]\\ =K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}A_\text{IF}(t) \tag{371.2} $$ となります。よって、SM1のdownも含めれば、 $$ \Pr\{\mathrm{LAT2_\text{prev}\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF^R_\text{prev}\ up\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\ =\left[K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}A_\text{IF}(t)\right]Q_\text{SM}(t)\tag{371.3} $$ となります。

一方、(107.7)より、 $$ \require{cancel} \Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^R_\text{prev}\ up\ at\ }t\cap\bcancel{\text{SM down at }t}\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\}=\lambda_\mathrm{IF}dt\tag{371.4} $$ (371.3)、(371.4)を(371.1)に用いれば、 $$ \begin{eqnarray} (371.1)&=&\frac{K_\mathrm{IF,RF}\color{red}{K_\text{det}}\lambda_\text{IF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}[(1-K_\mathrm{SM,MPF})F_\mathrm{SM}(t)+K_\mathrm{SM,MPF}F_\mathrm{SM}(u)]dt,\\ & &+\frac{K_\mathrm{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}[(1-K_\mathrm{SM,MPF})F_\mathrm{SM}(t)+K_\mathrm{SM,MPF}F_\mathrm{SM}(u)]\\ & &\cdot\left[(1-K_\mathrm{IF,MPF})f_\mathrm{IF}(t)+K_\mathrm{IF,MPF}f_\mathrm{IF}(u)\right]dt\\ & &ただし、u:=t\bmod\tau\\ \end{eqnarray}\tag{371.5} $$ よって、積分公式(5)及び(107.8)より $$ \begin{eqnarray} (371.5)&\approx& K_{\text{IF,RF}}\color{red}{K_\text{IF,det}}\alpha+K_{\text{IF,RF}}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta,\\ ただし、& &\alpha:=\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau],\\ & &\beta:=\frac{1}{2}\lambda_\mathrm{IF}\lambda_\mathrm{SM}[(1-K_\mathrm{MPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{MPF}\tau],\\ & &K_\mathrm{MPF}:=K_\mathrm{IF,MPF}+K_\mathrm{SM,MPF}-K_\mathrm{IF,MPF}K_\mathrm{SM,MPF} \end{eqnarray} \tag{371.6} $$

RAMS 2022においてMPF detectedの再考に基づくPMHF式の論文発表が終了したため、秘匿部分を開示します。

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LAT2⇒SPFの平均PUDの計算

次にLAT2からSPFの遷移(b)の平均PUDを計算します。この確率積分も、non preventable部分であるため、MPF detectedの変更の影響を受けません。

図370.1 LAT2⇒SPFの遷移(b)

LAT2の状態のうち、(VSG of)IF non preventable部分について考えます。 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{SPF(b),IFR}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{SPF\ via\ (b)\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT2_\overline{prev}\ at\ }t\cap\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2_\overline{prev}\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT2_\overline{prev}\ at\ }t\} \end{eqnarray} \tag{370.1} $$ ここで、表368.1より、IFについてはIF non preventableのupは(2)であるため(369.2)を用い、SMのdownについては(9)+(11)は $$ Q_\text{SM}(t):=(1-K_\text{SM,MPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}F_\text{SM}(u), \\ s.t.\ \ u:=t\bmod\tau $$ を用いれば、 $$ \Pr\{\mathrm{LAT2_\overline{prev}\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF^U_\overline{prev}\ up\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\ =(1-K_\text{IF,RF})R_{\mathrm{IF}}(t)Q_{\mathrm{SM}}(t)\tag{370.2} $$ 一方、(103.4)より、 $$ \require{cancel} \Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2_\overline{prev}\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U_\overline{prev}\ up\ at\ }t\cap\bcancel{\text{SM down at}t}\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\}\\ =\lambda_{\mathrm{IF}}dt\tag{370.3} $$ よって、(370.1)式は、 $$ \begin{eqnarray} (370.1)&=&\frac{1-K_{\text{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)R_{\mathrm{IF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt\\ &=&\frac{1-K_{\text{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\text{SM}(t)f_\mathrm{IF}(t)dt\\ \end{eqnarray} \tag{370.4} $$ これに(104.5)の結果を利用すれば、 $$ (370.4)\approx\frac{1-K_{\text{IF,RF}}}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}\left[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau\right]\\ \approx(1-K_{\text{IF,RF}})\alpha,\\ ただし、\alpha:=\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau]\tag{370.5} $$

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OPR⇒SPFの平均PUDの計算

従来はMPF detectedをMPF latent扱いにしていたものを、non faultyに変更しました。そもそもMPFの意味はVSG preventableなIFのフォールト、すなわち1st SMによりVSGの抑止を受けたIFのフォールトであるため、SPFの計算に影響はありません。SPFは、IFのフォールトがnon preventable(VSG抑止不可)な場合に起きるためです。 従って、以下は前稿#103と同様です。

OPRからSPFへの平均PUD(66.13)を計算します。

図369.1 OPR⇒SPFの遷移(a)

OPRからSPFへの平均PUDは、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{SPF(a),IFU}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{SPF\ via\ (a)\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{OPR_\overline{prev}\ at\ }t\cap\mathrm{IF\ down\ in\ }(t, t+dt]\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{OPR_\overline{prev}\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{OPR_\overline{prev}\ at\ }t\} \end{eqnarray} \tag{369.1} $$

ここで、表368.1より、IF non preventableのupは(2)であるため、 $$ \Pr\{\mathrm{IF^U_\overline{prev}\ up\ at\ }t\}=(1-K_\text{IF,RF})R_\mathrm{IF}(t)\tag{369.2} $$ また、SMのupは(10)+(12)の場合であり、 $$ A_\text{SM}(t):=(1-K_\text{SM,MPF})R_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}R_\text{SM}(u), \\ s.t.\ \ u:=t\bmod\tau $$ を用いれば、 $$ \begin{eqnarray} \Pr\{\mathrm{OPR_\overline{prev}\ at\ }t\}&=&\Pr\{\mathrm{IF^U_\overline{prev}\ up\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ up\ at\ }t\}\\ &=&(1-K_\text{IF,RF})R_\mathrm{IF}(t)A_\mathrm{SM}(t)\end{eqnarray}\tag{369.3} $$ 一方、(369.1)の右辺積分中の条件付き確率式は、 $$ \require{cancel} \Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{OPR_\overline{prev}\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U_\overline{prev}\ up\ at\ }t\cap\bcancel{\text{SM up at }t}\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\}=\lambda_\mathrm{IF}dt \tag{369.4} $$ よって平均PUDは、 $$ \overline{q_{\mathrm{SPF(a),IFU}}}=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}(1-K_\mathrm{IF,RF})R_\mathrm{IF}(t)A_\mathrm{SM}(t)\lambda_\mathrm{IF}dt \tag{369.5} $$ (103.6)の結果を用いて、 $$ \begin{eqnarray} (369.5)&\approx&(1-K_\mathrm{IF,RF})\lambda_\mathrm{IF}-\frac{1-K_\mathrm{IF,RF}}{2}\lambda_\mathrm{IF}\lambda_\mathrm{SM}[(1-K_\mathrm{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{SM,MPF}\tau]\\ &=&(1-K_\mathrm{IF,RF})\lambda_\mathrm{IF}-(1-K_\mathrm{IF,RF})\alpha,\\ & &\text{ただし、} \alpha:=\frac{1}{2}\lambda_\mathrm{IF}\lambda_\mathrm{SM}[(1-K_\mathrm{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{SM,MPF}\tau] \end{eqnarray} \tag{369.6} $$

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新たに導入したKパラメータ$K_\text{det}$((355.1)式)により、一つめのIFのフォールトとそれによる状態の場合分けをし信頼度・不信頼度を求めたものを、表368.1に示します。

表368.1　一つめのIFのフォールトの場合分けした信頼度・不信頼度

Non preventable $1-K_\text{IF,RF}$	Faulty $(1-K_\text{IF,RF})F_\text{IF}(t)$			(1) IF down=RF
	Faultless $(1-K_\text{IF,RF})R_\text{IF}(t)$			(2) IF up
Preventable $K_\text{IF,RF}$	SM1 detectable $K_\text{IF,det}$	Faulty $K_\text{IF,RF}K_\text{IF,det}F_\text{IF}(t)$		(3) IF down=LF⇒up
		Faultless $K_\text{IF,RF}K_\text{IF,det}R_\text{IF}(t)$		(4) IF up
	SM1 undetectable $1-K_\text{IF,det}$	SM2 detectable $K_\text{IF,MPF}$	Faulty $K_\text{IF,RF}(1-K_\text{IF,det})K_\text{IF,MPF}F_\text{IF}(u)$	(5) IF down=LF
			Faultless $K_\text{IF,RF}(1-K_\text{IF,det})K_\text{IF,MPF}R_\text{IF}(u)$	(6) IF up
		SM2 undetectable $1-K_\text{IF,MPF}$	Faulty $K_\text{IF,RF}(1-K_\text{IF,det})(1-K_\text{IF,MPF})F_\text{IF}(t)$	(7) IF down=LF
			Faultless $K_\text{IF,RF}(1-K_\text{IF,det})(1-K_\text{IF,MPF})R_\text{IF}(t)$	(8) IF up

$s.t.\ \ u:=t\bmod\tau$
◆色分け：
Faultless, フォールト無し
Faulty, フォールトする
FaultyをFaultlessに変更
Faultyだが定期修理される

規格ではKパラメータは$K_\text{RF}$及び$K_\text{MPF}$しかなく、SMによる検出は、1st SMも2nd SMも一緒くたになっていました。これだと冗長系を扱えないため、弊社は2017年に$K_\text{det}$を導入しました。弊社は一貫してKパラメータは確率的に決まる定数ではないことを主張してきました。VSG抑止、1st SMによる検出、2nd SMによる検出のいずれもアーキテクチャ的に割合がpredeterminedとなっていると考えます。

偶数番号は全てFaultlessであり、up状態です。奇数番号はFaulty、すなわちフォールト生起状態ですが、downとは限りません。(1)はRF(Residual Fault)、(3)は 従来はLF(Latent Fault)、今回は永久up状態、 (5)及び(7)はLF(Latent Fault)です。(5)及び(6)においてはSM2(2nd SM)によって検出されたフォールトは周期的に修理されるため、時刻tではなく$u(:=t \bmod \tau)$で表されます。(5)は修理されるLFなので露出時間は$\tau$ですが、(7)は修理されないLFなので露出時間は車両寿命です。

ついでに、以下は従来と変わりはありませんが、SMの信頼度・不信頼度の表です。$K_\text{SM,RF}, K_\text{SM,det}$が存在しないので、$K_\text{SM,MPF}$のみの場合分けとなります。

表368.2　一つめのSMのフォールトの場合分けした信頼度・不信頼度

SM2 detectable $K_\text{SM,MPF}$	Faulty $K_\text{SM,MPF}F_\text{SM}(u)$	(9) SM down=LF
	Faultless $K_\text{SM,MPF}R_\text{SM}(u)$	(10) SM up
SM2 undetectable $1-K_\text{SM,MPF}$	Faulty $(1-K_\text{SM,MPF})F_\text{SM}(t)$	(11) SM down=LF
	Faultless $(1-K_\text{SM,MPF})R_\text{SM}(t)$	(12) SM up

$s.t.\ \ u:=t\bmod\tau$
◆色分け：
Faultless, フォールト無し
Faulty, フォールトする
Faultyだが定期修理される

RAMS 2022においてMPF detectedの再考に基づくPMHF式の論文発表が終了したため、秘匿部分を開示します。

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再検討にあたっては計算の容易さから、図222.1を参照して、$\mathrm{IF^R}$をpreventableとnon preventableに分解して考えます。具体的には、CTMC図367.1に示すようにLAT2からの分岐をSPF方向(b)とDPF方向(c)に分離します。ただし、分解してもしなくても統合した結果は同じです。

図367.1 LAT2からの分岐をSPF方向(b)とDPF方向(c)に分離 (367.1)に、新しい記号の定義を示します。 $$ \begin{eqnarray} \{\mathrm{IF^R_{prev}}\text{up at }t\}&:=&\{\mathrm{IF^R}\text{up at }t\ \cap\ \text{IF preventable}\}\\ \{\mathrm{IF^R_\overline{prev}}\text{up at }t\}&:=&\{\mathrm{IF^R}\text{up at }t\ \cap\ \overline{\text{IF preventable}}\}\tag{367.1} \end{eqnarray} $$ より、 $$ \{\mathrm{IF^R}\text{up at }t\}=\{\mathrm{IF^R_{prev}}\text{up at }t\}\cup\{\mathrm{IF^R_\overline{prev}}\text{up at }t\}\tag{367.2} $$

が成立します。

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動機

長い間MPF detectedの扱いに疑問が潜在していました。弊社では、MPF detectedは結局修理されないので、いつの日か2つ目のSMのフォールトによりDPFとなると考えます。従って、MPF detectedは結局MPF latent (=LF)となるとした上でPMHF式を導出しています。しかしながら、この考え方には、次の2点の問題があります。

• 規格のフォールト分類フローでは、MPF detectedとMPF latentが分離されているにも関わらず、弊社ではどちらもMPF latentと扱っているため、規格のフォールト分類と矛盾する。
• 規格LFMの計算式にMPF detectedが入っていない。これは、規格はMPF detectedは安全側だと考えているためだと推測されるが、弊社では上記の理由から危険側としている。

そこで、これらを満足する方法を検討します。最初の論文で導入された、SM1による検出率を意味する次の条件付き確率$K_\text{det}$を、ここで再び使用します。 $$ K_\text{det}:=\Pr\{\text{Fault detected}\ |\ \text{Fault prevented}\}\tag{355.1} $$

これはFMCというよりも、アーキテクチャ的に次のように0または1の値をとります。

• 検出系(非冗長系)：1st SMはIFのフォールトを検出することによりVSG抑止を行う場合。この場合は検出するから抑止されるのであり、抑止される部分に対する検出される割合は100%です。すなわち$K_\text{det}=1$となります。
• 冗長系：1st SMはIFの代替機能を持つことによりVSG抑止を行う場合。この場合はVSG抑止はしますが、1st SMは一切検出を行いません。従って、抑止される部分の検出される割合は0%です。すなわち$K_\text{det}=0$となります。また、両チャネルが同時にフォールトすることは無いため、VSG抑止率は100%、すなわち$K_\text{IF,RF}=1$となります。

さて、MPF detectedの考え方ですが、主機能のVSGが抑止されているので、運転はできないかもしれないものの、とりあえず安全状態は保たれます。従ってSPFもDPFも発生しません。しかるべき時間後に(レッカー車で)修理工場へ持っていき、修理が行われ、その後に運転が継続できると考えます。

主機能は動作しないので、通電はされず、運転時間は増大しません。従って、故障から修理までの時間は無視することができるので、1st SMにより検出された故障は瞬間的に修理された＝故障が起きなかったのと等価です。

やや無理がある解釈の感がありますが、今回このように仮定してPMHF式の導出を進めることにします。 ブログ記事#361に続きます。

RAMS 2022においてMPF detectedの再考に基づくPMHF式の論文発表が終了したため、秘匿部分を開示します。

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IFRモデル

全く同様な計算をIFRモデルでも行います。同様に(2)を(2a)と(2b)に分離します(図222.1の赤矢印)。

図222.1 LAT2からの分岐をSPF方向とDPF1方向に分離 まず(2a)のDPF1方向への確率積分は、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{DPF1,IFR}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{DPF1\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\cap\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\\ & &\cap\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}\Pr\{\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}\} \end{eqnarray} \tag{222.1} $$ ここで(107.2)、(107.3)より、 $$ \Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\}\Pr\{\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\=A_{\mathrm{IF}}(t)Q_{\mathrm{SM}}(t)\tag{222.2} $$ 一方、(107.7)より、 $$ \Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\}=\lambda_{\mathrm{IF}}dt\tag{222.3} $$ (222.2)、(222.3)を(222.1)に用いれば、 $$ \overline{q_{\mathrm{DPF1,IFR}}}=\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)A_{\mathrm{IF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt \tag{222.4} $$ これに(107.8)の結果を利用すれば、 $$ (222.4)=K_{\text{IF,RF}}\beta\tag{222.5} $$

次に(2b)のSPF方向への確率積分は、IFUモデルと変わりません。SPFは、IFのフォールトがアンプリベンタブル(VSG抑止不可)な場合に起きるためです。 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{SPF(2b),IFR}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{SPF(2b)\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\cap\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\\ & &\cap\overline{\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}\Pr\{\overline{\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}}\} \end{eqnarray} \tag{222.6} $$ 同様に(221.2)、(221.3)を用いれば、 $$ (222.6)=\frac{1-K_{\text{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)R_{\mathrm{IF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt \tag{222.7} $$ これに(104.5)の結果を利用すれば、 $$ (222.7)=(1-K_{\text{IF,RF}})\alpha\tag{222.8} $$ 以上より、IFRモデルの統合、分離方式を比較すると、表222.1のようになります。変化点を黄色で示しています。

表222.1　IFRモデルのPMHF式

	(1)SPF	(2)DPF1		(3)DPF2
LAT2統合	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-(1-K_\text{IF,RF})\alpha$ (103.7)	$(1-K_\text{IF,RF})\alpha+K_\text{IF,RF}\beta$ (107.8)		$K_\text{IF,RF}\beta$ (106.4)
規格式1(1)+(2)$\dagger$	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_\text{IF,RF}\beta$
規格式3(1)+(2)+(3)$\dagger$	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+2K_\text{IF,RF}\beta$
	(1)SPF	(2b)SPF'	(2a)DPF1	(3)DPF2
LAT2分離	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-(1-K_\text{IF,RF})\alpha$	$(1-K_\text{IF,RF})\alpha$ (222.7)	$K_\text{IF,RF}\beta$ (222.5)	$K_\text{IF,RF}\beta$
	(1)+(2b)SPF		(2a)DPF1	(3)DPF2
SPF統合	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}$		$K_\text{IF,RF}\beta$	$K_\text{IF,RF}\beta$
SPF/DPF統合	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}$		$2K_\text{IF,RF}\beta$

$$ \text{ただし、} \begin{cases} \alpha:=\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau]\\ \beta:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{MPF}\tau\right]\\ K_\text{MPF}:=K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}-K_\text{IF,MPF}K_\text{SM,MPF} \end{cases} $$

前稿と同様、SPF統合のほうが単純な式となっています。LAT2統合において、SPFもDPF1も複雑な式でしたが、まとめ方を変えると単純な式となるため、この方が本質だと考えます。

一般式

表222.1より、2020年RAMS論文で示したように一般式は以下のようになります。 $$ M_\text{PMHF}=\bbox[#ccffff,2pt]{(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+2K_\text{IF,RF}\beta}\\ =(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{MPF}\tau\right]\\ s.t.\quad K_\text{MPF}:=K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}-K_\text{IF,MPF}K_\text{SM,MPF} \tag{222.9} $$

また、$K_\text{IF,MPF}=0$のとき、すなわち、IFRモデルにおいて、IFの2nd SMが存在せずアンリペアラブルとなるときは$K_\text{MPF}=K_\text{SM,MPF}$となるため、$\beta=\alpha$となり、当然ですがIFRモデルはIFUモデルと同一の式となります。

冗長構成

IFRモデルはIFもSMもリペアラブルということは冗長構成により$K_\text{IF,RF}=1$となるため、それを適用したものを表222.2に示します。SPFが0となるため、LAT2統合でもSPF統合でも

• $M_\text{PMHF,SPF}=0$
• $M_\text{PMHF,DPF1}=\beta$

となり変わりません。

表222.2　冗長構成のIFRモデルのPMHF式$(K_\text{IF,RF}=1)$

	(1)SPF	(2)DPF1		(3)DPF2
LAT2統合	$0$	$\beta$		$\beta$
規格式1(1)+(2)$\dagger$	$\beta$
規格式3(1)+(2)+(3)$\dagger$	$2\beta$
	(1)SPF	(2b)SPF'	(2a)DPF1	(3)DPF2
LAT2分離	$0$	$0$	$\beta$	$\beta$
	(1)+(2b)SPF		(2a)DPF1	(3)DPF2
SPF統合	$0$		$\beta$	$\beta$
SPF/DPF統合	$0$		$2\beta$

$$M_\text{PMHF,RD}=\bbox[#ccffff,2pt]{2\beta}\\ =\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{MPF}\tau\right]\tag{222.10}$$

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$\dagger$規格式1: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第1式(ブログの図104.2)の条件＝IFが後にフォールトする場合。DPF2はSMが後にフォールトする場合なので対象外
$\dagger$規格式3: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第3式(ブログの図105.2)の条件＝IF, SMのフォールトの順を問わない場合

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IFUモデル LAT2分離

IFUモデルのLAT2ステートにおいて、IFのアンプリベンタブル(VSG抑止不可)な部分にフォールトが起きた場合、そのフォールトはSMのup/down状態に依存しないため、本質的には広義のSPF(SMがあるので狭義ではRF)ですが、形式的にはSMのフォールトに引き続いて起きるためDPFとしました(#104)。

前稿(#102～#108)のPMHF導出においては、DPFとして扱いましたが、「$M_{\mathrm{PMHF}}$の計算(2)」のMarkov chain図を変更し、LAT2からDPF1への遷移(2)を分離して、DPF1への遷移(2a)とSPF1への遷移(2b)とに分離します(図221.1の赤矢印)。

図221.1 LAT2からの遷移を分離

図221.1の(1)、(3)の確率微分方程式は変わりません。まず(2a)のDPF1方向への確率積分は、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{DPF1,IFU}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{DPF1\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\cap\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\\ & &\cap\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}\Pr\{\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}\} \end{eqnarray} \tag{221.1} $$ ここで(104.2)、(104.3)より、 $$ \Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\}\Pr\{\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\=R_{\mathrm{IF}}(t)Q_{\mathrm{SM}}(t)\tag{221.2} $$ (104.4)より、 $$ \Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\}=\lambda_{\mathrm{IF}}dt\tag{221.3} $$ (221.2)、(221.3)を(221.1)に用いれば、 $$ \overline{q_{\mathrm{DPF1,IFU}}}=\frac{K_{\text{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)R_{\mathrm{IF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt \tag{221.4} $$ ゆえに、(104.5)の結果を利用すれば、(2a)は、 $$ (221.4)=K_{\text{IF,RF}}\alpha\tag{221.5} $$

次に(2b)のSPF方向への確率積分は、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{SPF(2b),IFU}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{SPF(2b)\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\cap\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\\ & &\cap\overline{\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}\Pr\{\overline{\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}}\} \end{eqnarray} \tag{221.6} $$ 同様に(221.2)、(221.3)を用いれば、 $$ \overline{q_{\mathrm{SPF(2b),IFU}}}=\frac{1-K_{\text{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)R_{\mathrm{IF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt \tag{221.7} $$ ゆえに、(104.5)の結果を利用すれば、(2b)は、 $$ (221.7)=(1-K_{\text{IF,RF}})\alpha\tag{221.8} $$

IFUモデル SPF統合

$\dagger$「IFUモデルのLAT2において、IFのアンプリベンタブル部分にフォールトが起きた場合」について、SPFへの遷移(2b)とDPF1への遷移(2a)の確率積分を行いました。今度はSPFへの確率積分を統合します。図221.1において(1)と(2b)はいずれもSPFとして扱い、これをSPF統合と呼びます。

• LAT2統合 --- $\dagger$の場合、SPFへの遷移(2b)は本質的にSPFであるが、形式的にSMのフォールトに引き続くDPF(2)=(2a)+(2b)として計算、#103～#105の議論
• LAT2分離 --- $\dagger$の場合、LAT2からの遷移(2)を、SPFへの遷移(2b)とDPF1への遷移(2a)に分離、本稿の議論
• SPF統合 --- $\dagger$の場合、LAT2からSPFへの遷移(2b)と、元のOPRからSPFへの遷移(1)を統合、LAT2分離によりそれぞれ求めた確率の組み合わせを変更、本稿の議論
• SPF/DPF統合 --- $\dagger$の場合、SPF統合に加えて、DPF1とDPF2は同じ状態であるため、DPFも統合

それぞれの方式のPMHF式と、参考にPMHF規格式を比較すると、表221.1のようになります。前稿からの変化部分を黄色で示しています。

表221.1　IFUモデルのPMHF式

	(1)SPF	(2)DPF1		(3)DPF2
LAT2統合	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-(1-K_\text{IF,RF})\alpha$ (103.7)	$\alpha$ (104.5)		$K_\text{IF,RF}\alpha$ (105.5)
規格式1(1)+(2)$\dagger$	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_\text{IF,RF}\alpha$ (104.6)
規格式3(1)+(2)+(3)$\dagger$	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+2K_\text{IF,RF}\alpha$
	(1)SPF	(2b)SPF'	(2a)DPF1	(3)DPF2
LAT2分離	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-(1-K_\text{IF,RF})\alpha$	$(1-K_\text{IF,RF})\alpha$ (221.8)	$K_\text{IF,RF}\alpha$ (221.5)	$K_\text{IF,RF}\alpha$
	(1)+(2b)SPF		(2a)DPF1	(3)DPF2
SPF統合	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}$		$K_\text{IF,RF}\alpha$	$K_\text{IF,RF}\alpha$
SPF/DPF統合	$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}$		$2K_\text{IF,RF}\alpha$

ただし$\alpha:=\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1- K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau]$

以上より、一般式は、 $$M_\text{PMHF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+2K_\text{IF,RF}\alpha\\ =(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,MPF}\tau\right]\tag{221.9}$$

SPF統合は、SPFのPMHFがRFの定義そのままという、非常に単純な式となっています。従って、#103のSPFのPMHF式や1st editionの規格式が複雑なのは、形式上のDPFをSPFから差し引いたためと言えます。また、DPF1とDPF2はルートが異なるのに同一の確率となっているのが少々驚きです。

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$\dagger$規格式1: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第1式(ブログの図104.2)の条件＝IFが後にフォールトする場合。DPF2はSMが後にフォールトする場合なので対象外
$\dagger$規格式3: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第3式(ブログの図105.2)の条件＝IF, SMのフォールトの順を問わない場合

RAMS 2021において、PMHF式に基づくFTA構築法の論文発表が終了したため、本記事を開示します。

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SPFの再計算は必要?

前記事ではDPF1に関する平均PUDを再計算しました。IFの条件がアンリペアラブルからリペアラブルに変更され、リペアすることにより(一部の)OPRの状態確率が上がったためです。

しかし、SPFの確率は上がりません。その理由は、リペアによってIF downからIF up状態に戻ったということは、元のdownした時にはVSG抑止されていたはずです。そのため、リペアはDPF確率のみに影響し、SPFは全く無関係となります。従って、

$$ \overline{q_\text{SPF,IFR}}=\overline{q_{\mathrm{SPF,IFU}}}\tag{108.1} $$

よって、(103.7)、(107.8)、(106.4)を加え合わせて、 $$ \begin{eqnarray} \require{cancel} M_{\mathrm{PMHF}}&=&\overline{q_{\mathrm{SPF,IFR}}}+\overline{q_{\mathrm{DPF1,IFR}}}+\overline{q_{\mathrm{DPF2,IFR}}}\\ &=&(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-\bcancel{(1-K_\text{IF,RF})\alpha}+\bcancel{(1-K_\text{IF,RF})\alpha}+K_\text{IF,RF}\beta+K_\text{IF,RF}\beta\\ &=&(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+2K_\text{IF,RF}\beta\\ &=&(1-K_{\mathrm{IF,RF}})\lambda_{\mathrm{IF}}+ K_{\mathrm{IF,RF}}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF}}\tau], \\ & &ただし、K_{\mathrm{MPF}}:=K_{\mathrm{IF,MPF}}+K_{\mathrm{SM,MPF}}-K_{\mathrm{IF,MPF}}K_{\mathrm{SM,MPF}} \tag{108.2} \end{eqnarray} $$ 2nd Editionの規格式とは異なるものの、これが正解と考えます。

一旦結論が出ましたが、次の記事に続きます。

RAMS 2020においてPMHF式の論文発表が終了したため、本記事を開示します。

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DPF1の再計算

ところがこのケース2.の場合は、(無関係と思われた)DPF1について再計算する必要があります。その理由は、IFの条件がアンリペアラブルからリペアラブルに変更され、リペアすることによりOPRの状態確率が上がり、結果としてDPF1の確率が下がるためです。図107.1に図104.1を再掲します。LAT2においてはIF=upであったのに対し、DPF1においてはIF=downとなります。

図107.1 CTMCにおいてLAT2⇒DPF1の遷移

(104.1)を参考に、IFRモデルに変更します。 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{DPF1,IFR}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{DPF1\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\cap\mathrm{IF\ down\ in\ }(t, t+dt]\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ & &\cdot\Pr\{\mathrm{LAT2}\mathrm{\ at\ }t\} \end{eqnarray} \tag{107.1} $$ ここまでは(104.1)と同じです。LAT2はIFの稼働状態でかつSM1の不稼働状態であるから、 $$ \Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF\ up\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\tag{107.2} $$ IFとSM1の稼働状態は独立事象であり、IFRモデルではIF、SM1共にリペアラブルであることから、(107.2)は $$ (107.2)=\Pr\{\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\}\Pr\{\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\ =A_{\mathrm{IF}}(t)Q_{\mathrm{SM}}(t)\tag{107.3} $$ と書けるように思われますが誤りです。IFのフォールトはVSG non preventableとVSG preventableに分けられるので、分配則より、 $$ \Pr\{\mathrm{IF\ up\ at\ }t\}=\Pr\{\left(\overline{\text{IF preventable}}\cup\text{IF preventable}\right)\cap\mathrm{IF\ up\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\left(\overline{\text{IF preventable}}\cap\mathrm{\color{red}{IF^U}\ up\ at\ }t\right)\cup\left(\text{IF preventable}\cap\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\right)\}\tag{107.4} $$ となります。$\mathrm{\color{red}{IF^U}}$に注意してください。$\overline{\text{IF preventable}}$とはSM1によりVSG抑止できないことを意味し、修理は不可能であるため、その部分のIFはアンリペアラブルとなります。

ちなみに、この部分の確率はSMの状態によらずVSGとなるため、本質的にはSPFに入りそうですが、形式的にはSMがdownしているときのIFのフォールトなので、本稿ではDPFに入れます。なお、SPFに分類してもDPFに分類しても最終的には確率の総和を取るため、結果に変わりはありません。

従って、(107.4)のIFの前半がアンリペアラブル、後半がリペアラブルなので、(107.4)は、 $$ \require{cancel} \Pr\{\mathrm{IF\ up\ at\ }t\}=(1-K_{\text{IF,RF}})R_\text{IF}(t)+K_{\text{IF,RF}}A_\text{IF}(t)\\ (新規追加)=(1-\bcancel{K_{\text{IF,RF}}})R_\text{IF}(t)+K_{\text{IF,RF}}(\bcancel{1}-K_{\text{IF,MPF}})R_\text{IF}(t)+K_{\text{IF,RF}}K_{\text{IF,MPF}}R_\text{IF}(u)\\ =(1-K_{\text{IF,RF}}K_{\text{IF,MPF}})R_\text{IF}(t)+K_{\text{IF,RF}}K_{\text{IF,MPF}}R_\text{IF}(u), ただし、u:=t\bmod\tau \tag{107.5} $$ となるため、(107.2)は(107.5)を用いて、 $$ \Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF\ up\ at\ }t\}\Pr\{\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\ =\left[(1-K_{\text{IF,RF}})R_\text{IF}(t)+K_{\text{IF,RF}}A_\text{IF}(t)\right]Q_{\mathrm{SM}}(t)\\ (新規追加)=\left[(1-K_{\text{IF,RF}}K_{\text{IF,MPF}})R_\text{IF}(t)+K_{\text{IF,RF}}K_{\text{IF,MPF}}R_\text{IF}(u)\right]Q_{\mathrm{SM}}(t),\\ ただし、u:=t\bmod\tau \tag{107.6} $$ と書けます。

さらに、(107.1)の右辺積分中の条件付き確率式に、独立条件付き確率式(103.4)、及び微小故障条件付き確率式(66.8)を用いれば、DPF時の2つ目のフォールトはIF、SM1共にアンリペアラブルとなるため、 $$ \require{cancel} \Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\cap\bcancel{\mathrm{SM\ down\ at\ }t}\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^U\ up\ at\ }t\}=\lambda_{\mathrm{IF}}dt\tag{107.7} $$ となります。

よって、(107.1)に(107.7)、(107.6)を適用した上で、PUA(59.8)、PA(59.7)、故障率(66.6)及び弊社積分公式(60.1)及び(60.2)を用いれば、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{DPF1,IFR}}}&=&\frac{1-K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)R_{\mathrm{IF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt+\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)A_{\mathrm{IF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt\\ &=&\frac{1-K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)f_{\mathrm{IF}}(t)dt+\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)q_{\mathrm{IF}}(t)dt\\ &=&\frac{1-K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})F_{\mathrm{SM}}(t)+K_{\mathrm{SM,MPF}}F_{\mathrm{SM}}(u)]f_{\mathrm{IF}}(t)dt\\ & &+\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})F_{\mathrm{SM}}(t)+K_{\mathrm{SM,MPF}}F_{\mathrm{SM}}(u)]\\ & &\cdot\left[(1-K_{\mathrm{IF,MPF}})f_{\mathrm{IF}}(t)+K_{\mathrm{IF,MPF}}f_{\mathrm{IF}}(u)\right]dt,\\ & &ただし、u:=t\bmod\tau\\ &\approx&\frac{1-K_{\mathrm{IF,RF}}}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau]\\ & &+\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1- K_{\mathrm{MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF}}\tau]\\ &=&(1-K_{\mathrm{IF,RF}})\alpha+K_{\mathrm{IF,RF}}\beta,\\ \end{eqnarray} \tag{107.8} $$

$$ ただし、\begin{cases} \begin{eqnarray} \alpha&:=&\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau]\\ \beta&:=&\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF}}\tau]\\ K_{\mathrm{MPF}}&:=&K_{\mathrm{IF,MPF}}+K_{\mathrm{SM,MPF}}-K_{\mathrm{IF,MPF}}K_{\mathrm{SM,MPF}}\\ \end{eqnarray} \end{cases} $$ となります。

(2021年1月新規追加)これを整理すれば、 $$ \begin{eqnarray} (107.8)&=&\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1- K_{\mathrm{MPF2}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{MPF2}}\tau]\\ & &ただし、K_{\mathrm{MPF2}}:=K_{\mathrm{IF,RF}}K_{\mathrm{IF,MPF}}+K_{\mathrm{SM,MPF}}-K_{\mathrm{IF,RF}}K_{\mathrm{IF,MPF}}K_{\mathrm{SM,MPF}}\\ \end{eqnarray} \tag{107.9} $$ となります。これは(107.6)の新規追加式を積分した結果と同一になります。

RAMS 2020においてPMHF式の論文発表が終了したため、本記事を開示します。

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