サブシステム（VSG吸収）と SPF/DPF 到達密度の定式化

前稿で SM エレメントの時点不稼働確率 $Q_\text{SM}(t)$ を得たので、本稿ではサブシステム水準へ進み、VSG を吸収集合として到達密度 $f_\text{VSG}(t)$ を定式化します。ここでは非冗長系を仮定します。

VSG に対応するサブシステム過程を $(\eta_t^\text{sub})_{t\ge0}$ とし、吸収集合を $\mathcal P_\text{VSG}$ とします。VSG 到達確率を

$$ F_\text{VSG}(t):=\Pr\{\eta_t^\text{sub}\in\mathcal P_\text{VSG}\} \tag{1058.1} $$

と定義します。

VSG 到達密度は

$$ f_\text{VSG}(t):=\frac{d}{dt}F_\text{VSG}(t) \tag{1058.2} $$

です。

次に、IF に対応する確率過程を $(\eta_t^\text{IF})_{t\ge0}$ とし、その危険故障モード集合を SPF 寄与集合と DPF 寄与集合に

$$ \mathcal P_\text{IF} =\mathcal P_\text{IF,SPF}\cup\mathcal P_\text{IF,DPF}, \qquad \mathcal P_\text{IF,SPF}\cap\mathcal P_\text{IF,DPF}=\varnothing \tag{1058.3} $$

と分割します。

このとき、IF の SPF 側および DPF 側の条件付き遷移率を

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \lambda_\text{IF,SPF}:=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}}{dt},\\ \lambda_\text{IF,DPF}:=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}}{dt} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1058.4} $$

と定義します。

さらに、決定論的 $K$ による率分解を用いると

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF},\\ \lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1058.5} $$

です。

まず SPF 項を求めます。条件付き確率の乗法公式より

$$ \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF},\ \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\} =\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,SPF}dt+o(dt) \tag{1058.6} $$

となるので、

$$ f_\text{SPF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,SPF} \tag{1058.7} $$

です。

次に DPF 項を求めます。時刻 $t$ において SM が潜在故障状態にあり、かつ IF が稼働集合にあるとき、その後の微小時間 $dt$ の間に IF の DPF 側故障により VSG に到達する確率は

$$ \Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF},\ \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\}\\ =\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,DPF}dt+o(dt) \tag{1058.8} $$

です。したがって

$$ f_\text{DPF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,DPF} \tag{1058.9} $$

となります。ここで IF 側の故障が希少事象であることから、

$$ \Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\} \approx \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}Q_\text{SM}(t) \tag{1058.10} $$

と近似できるので、

$$ f_\text{DPF}(t)\approx \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1058.11} $$

です。

ここで IF 側については、小確率近似 $\lambda_\text{IF}t\ll1$ の下で

$$ \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\} =R(t)=e^{-\lambda_\text{IF}t}\approx1-\lambda_\text{IF}t\approx1 \tag{1058.12} $$

なので、

$$ f_\text{VSG}(t)=f_\text{SPF}(t)+f_\text{DPF}(t)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1058.13} $$

となります。したがって、VSG 到達密度の時間依存は DPF 項を通じて $Q_\text{SM}(t)$ により与えられます。

最後に、車両寿命を $T_\text{lifetime}$ とすると、VSG の発生確率は

$$ \mathrm{PoF}_\text{VSG}(T_\text{lifetime})=F_\text{VSG}(T_\text{lifetime}) \tag{1058.14} $$

であり、PMHF は

$$ \begin{eqnarray} \mathrm{PMHF}(T_\text{lifetime}) &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\mathrm{PoF}_\text{VSG}(T_\text{lifetime}) =\frac{1}{T_\text{lifetime}}F_\text{VSG}(T_\text{lifetime})\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}f_\text{VSG}(t)\,dt \end{eqnarray} \tag{1058.15} $$

で与えられます。次稿では、前稿の $Q_\text{SM}(t)$ を (1058.15) に代入し、PMHF の最終式を導きます。生成行列に基づく別導出は後続で与えます。

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同じ IF-SM 潜在状態モデルを PFH 側に持ち込んだときの形

前稿では、PFH と PMHF 型の量の厳密な差が、区間内における 2 回目以降の危険事象の寄与として表されることを示しました。本稿では、1057〜1059 で用いた IF-SM 潜在状態モデルをそのまま PFH 側にも適用すると、どのような式になるかを示します。

同じ IF-SM 潜在状態モデルを用いると、時刻 $t$ における危険事象への総流入頻度は

$$ w_D(t) =\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,SPF} +\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,DPF} \tag{1063.1} $$

と書けます。第1項は IF の SPF 寄与、第2項は SM の潜在故障状態における IF の危険遷移です。

ここで IF 側については、小確率近似より

$$ \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\} =e^{-\lambda_\text{IF}t}\approx1 \tag{1063.2} $$

です。また、1060 の (1060.10) より、第2項の同時確率は $Q_\text{SM}(t)$ で近似できるので、

$$ w_D(t)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1063.3} $$

となります。

評価区間を $H$ とすると、PFH は

$$ \mathrm{PFH}(0,H) =\frac{1}{H}E\{N_D(H)\} =\frac{1}{H}\int_0^H w_D(t)\,dt \tag{1063.4} $$

なので、

$$ \mathrm{PFH}(0,H)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\frac{\lambda_\text{IF,DPF}}{H}\int_0^H Q_\text{SM}(t)\,dt \tag{1063.5} $$

です。

ここで、$Q_\text{SM}(t)$ の式は 1057 の (1057.8)、小確率近似は 1057 の (1057.9) に与えられています。また、その寿命平均の計算は 1059 の (1059.3)〜(1059.7) と同様です。したがって、

$$ \frac{1}{H}\int_0^H Q_\text{SM}(t)\,dt \approx\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})H+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1063.6} $$

となります。

これを (1063.5) に代入すると

$$ \mathrm{PFH}(0,H)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})H+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1063.7} $$

です。さらに、1058 の (1058.5) を代入すると、

$$ \mathrm{PFH}(0,H)\approx(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})H+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1063.8} $$

を得ます。

この式は、1059 で得た PMHF の最終式と同じ形です。したがって、同じ IF-SM 潜在状態モデル、同じ近似、同じ評価区間を用いるなら、PFH と PMHF は 1 次近似では同じ式になります。

ただし、IEC 61508 の本文では PFH は各サブシステムの $\lambda$ を加える形で提示されており、その加法形がどの状態モデルの縮約であり、どの仮定の下で妥当かは明示されていません。したがって、規格を素直に読む限り、PFH は実質的に $\sum\lambda$ で与えられる量として受け取られます。少なくとも規格に表れている式では、潜在状態を経由する二重故障経路は明確化されていません。

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PFH の $\sum\lambda$ 式はどの仮定から出るか

前稿では、同じ IF-SM 潜在状態モデルを PFH 側にも持ち込むと、PFH も PMHF と同じ形の 2 次項を持つことを示しました。これに対して、IEC 61508 の本文では PFH は各サブシステムの $\lambda$ を加える形で提示されており、その加法形がどの状態モデルの縮約であり、どの仮定の下で妥当かは、その箇所では明示されていません。したがって、規格を素直に読む限り、PFH は実質的に $\sum\lambda$ で与えられる量として受け取られます。本稿では、その表示式の背後で何が省略されているかを整理します。

前稿の結果を抽象化すると、PFH 側で、危険事象の直前にある潜在状態の時点不稼働確率を $Q_\text{LAT}(t)$、そこから危険事象を生じさせる最後の危険故障率を $\lambda_\text{last}$、単独で危険事象を生じさせる SPF 寄与を $\lambda_\text{SPF}$ としたとき、

$$ \mathrm{PFH}(0,H)\approx\lambda_\text{SPF}+\frac{\lambda_\text{last}}{H}\int_0^H Q_\text{LAT}(t)\,dt \tag{1064.1} $$

と書けます。

ここで、潜在状態を持たず、危険事象が SPF のみから生じるなら

$$ Q_\text{LAT}(t)=0 \tag{1064.2} $$

なので、

$$ \mathrm{PFH}(0,H)\approx\lambda_\text{SPF} \tag{1064.3} $$

となります。

さらに、互いに独立な SPF 寄与が $m$ 個あり、それぞれの危険故障率を $\lambda_{\text{SPF},i}$ とすると

$$ \mathrm{PFH}(0,H)\approx\sum_{i=1}^{m}\lambda_{\text{SPF},i} \tag{1064.4} $$

です。これが、規格で見える $\sum\lambda$ 形です。

一方、潜在状態が存在し、その蓄積が区間内で線形に近似できるなら

$$ Q_\text{LAT}(t)\approx\lambda_\text{LAT}t \qquad (0\le t<H) \tag{1064.5} $$

なので、

$$ \mathrm{PFH}(0,H)\approx\lambda_\text{SPF}+\frac{1}{2}\lambda_\text{last}\lambda_\text{LAT}H \tag{1064.6} $$

を得ます。

したがって、規格で PFH が $\sum\lambda$ の形に見えるのは、PFH の一般式に 2 次項が存在しないからではなく、

$$ \frac{1}{2}\lambda_\text{last}\lambda_\text{LAT}H\ll\lambda_\text{SPF} \tag{1064.7} $$

として、潜在状態を経由する 2 次項を省略した表示になっているからです。

このことは、1059 で得た PMHF の DPF 項

$$ \frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1064.8} $$

と比較すると分かりやすくなります。どちらも

「第1故障率 × 平均露出時間 × 第2故障率」

という同じ 2 次構造を持っています。違うのは、PFH では平均露出時間が評価区間 $H$ によって与えられ、PMHF ではそれが寿命 $T$ と PIR 周期 $\tau$ の組合せとして現れる点です。

要するに、規格に見える PFH の $\sum\lambda$ 式は、潜在状態を経由する二重故障経路が前景化されない簡略表示です。したがって、規格を素直に読む限り、PFH は SPF のみを足し合わせる量として受け取られます。しかし状態モデルを復元すると PFH 側にも 2 次項は現れ、そこで初めて PMHF の DPF 項と同じ数理構造が見えてきます。

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エレメント（修理系）を出発点とする導出（決定論的K、PIR周期一定）

前稿で修理系エレメントの時点可用度 $A(t)$ と Vesely 故障率 $\lambda_V(t)$ を定義したので、本稿では SM エレメントの時点不稼働確率 $Q_\text{SM}(t)$ の具体式を導出します。本稿では連続時間マルコフ連鎖の一般論は最小限にとどめ、具体的な生成行列は後続のサブシステム導出で導入します。

確率空間 $(\Omega,\mathcal F,\Pr)$ 上で定義された確率過程 $(\eta_t^\text{SM})_{t\ge0}$ を考えます。任意の $t\ge0$, $s>0$ と状態 $i,j$ に対して

$$ \Pr\{\eta_{t+s}^\text{SM}=j\mid\eta_t^\text{SM}=i,\ \eta_r^\text{SM}=x_r,\ r<t\} =\Pr\{\eta_{t+s}^\text{SM}=j\mid\eta_t^\text{SM}=i\} \tag{1057.1} $$

が成り立つとき、$(\eta_t^\text{SM})_{t\ge0}$ は連続時間マルコフ連鎖です。

斉時連続時間マルコフ連鎖では、微小時間 $dt$ における遷移確率は

$$ \Pr\{\eta_{t+dt}^\text{SM}=j\mid\eta_t^\text{SM}=i\} =q_{ij}dt+o(dt) \tag{1057.2} $$

で与えられます。

前稿の時点可用度 $A_\text{SM}(t)$ を用いれば、SM エレメントの時点不稼働確率は

$$ Q_\text{SM}(t)=1-A_\text{SM}(t) \tag{1057.3} $$

です。

PIR 周期一定を仮定し、検査周期を $\tau$、検査時刻を $\tau_k=k\tau$ とします。区間 $[\tau_k,\tau_{k+1})$ における区間内時刻を

$$ u:=t-\tau_k \qquad \bigl(t\in[\tau_k,\tau_{k+1})\bigr) \tag{1057.4} $$

と定義します。

SM 故障時刻を $\sigma_\text{SM}$ とし、その分布関数を

$$ F_\text{SM}(t):=\Pr\{\sigma_\text{SM}\le t\} \tag{1057.5} $$

と定義します。

本稿では K パラメータを確率試行ではなく、アーキテクチャ能力に由来する母集団分割割合として扱います。SM 母集団ラベルを $C_\text{SM}$ とすると、その割合は

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \Pr\{C_\text{SM}=\mathcal U_\text{SM}\}=1-K_\text{SM,DPF},\\ \Pr\{C_\text{SM}=\mathcal D_\text{SM}\}=K_\text{SM,DPF} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1057.6} $$

です。

このとき、全確率の定理より

$$ \begin{eqnarray} Q_\text{SM}(t) &=& \Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\mid C_\text{SM}=\mathcal U_\text{SM}\}\Pr\{C_\text{SM}=\mathcal U_\text{SM}\}\\ &&+ \Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\mid C_\text{SM}=\mathcal D_\text{SM}\}\Pr\{C_\text{SM}=\mathcal D_\text{SM}\} \end{eqnarray} \tag{1057.7} $$

となります。未検出群は寿命全体で故障確率が蓄積し、検出群は PIR ごとに年齢がリセットされるので、

$$ Q_\text{SM}(t) =(1-K_\text{SM,DPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,DPF}F_\text{SM}(u) \tag{1057.8} $$

を得ます。

さらに、SM 故障時間が指数分布でかつ小確率 $\lambda_\text{SM}x\ll1$ の下では

$$ F_\text{SM}(x)=1-e^{-\lambda_\text{SM}x}\approx\lambda_\text{SM}x \tag{1057.9} $$

となるので、

$$ Q_\text{SM}(t)\approx(1-K_\text{SM,DPF})\lambda_\text{SM}t+K_\text{SM,DPF}\lambda_\text{SM}u \tag{1057.10} $$

となります。

ここで得た $Q_\text{SM}(t)$ は、後続のサブシステム導出において DPF 項の時間依存を担う基本量になります。

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upやdownを数式で書いてみます。

非修理系

ランダムプロセス$\eta_s$において、確率変数$X$を無故障稼働時間とします。$\mathcal{M}$を稼働状態のサブセットとし、$\mathcal{P}$を不稼働状態のサブセットとすれば、$X=\inf\lbrace s:\eta_{s}\in\mathcal{P}\rbrace$と示すことができます。

non-repairable elementの瞬間故障率$\lambda(t)$の定義式は、

$$ \lambda(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\lim_{dt\downarrow 0}\frac{\Pr\lbrace X\le t+dt\ |\ t\lt X\rbrace}{dt}\tag{1056.1} $$

であり、(1056.1)を一次展開すれば、

$$ \Pr\lbrace X\le t+dt\ |\ t\lt X\rbrace=\lambda(t)dt+o(dt)\tag{1056.2} $$

となります。ここで(1056.2)に条件付き確率の公式を用いれば、

$$ \Pr\lbrace X\le t+dt\ |\ t\lt X\rbrace=\frac{\Pr\lbrace t\lt X\le t+dt\rbrace}{\Pr\lbrace t\lt X\rbrace}=\frac{f(t)}{R(t)}dt+o(dt)\tag{1056.3} $$

であることから、(1056.2)、(1056.3)の右辺の比較により、

$$ \lambda(t)=\frac{f(t)}{R(t)}\tag{1056.4} $$

修理系

repairable elementのVesely故障率$\lambda_V(t)$は、Christiane Cocozza-Thivent他の論文"The Failure Rate in Reliability. Numerical Treatment"の(1.2)式によれば、

$$\lambda_V(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\lim_{dt\downarrow 0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid \eta_t\in\mathcal{M}\}}{dt} \tag{1056.5}$$

であり、(1056.5)を一次展開すれば、 $$ \Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid\eta_t\in\mathcal{M}\}=\lambda_V(t)dt+o(dt)\tag{1056.6} $$

となります。次に無条件瞬間ダウン強度$h(t)$の定義式は、

$$ h(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=} \lim_{dt\downarrow 0} \frac{\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\}}{dt} \tag{1056.7} $$

であり、(1056.7)を一次展開すれば、 $$ \Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\}=h(t)dt+o(dt)\tag{1056.8} $$

となります。また、point availability$A(t)$は、

$$A(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M}\}\tag{1056.9}$$

で表されます。ここで(1056.6)に条件付き確率の公式を用いれば、(1056.8)及び(1056.9)より、

$$ \Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid \eta_t\in\mathcal{M}\} =\frac{\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\}}{\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M}\}} =\frac{h(t)}{A(t)}dt+o(dt) \tag{1056.10} $$

であることから、(1056.6)、(1056.10)の右辺の比較により、

$$ \lambda_V(t)=\frac{h(t)}{A(t)}\tag{1056.11} $$

この記事の改訂版です。

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