Posts Tagged with "PMHF"

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Even in the already published blog, we may modify and add appropriately.

2nd EditionのPMHF方程式

posted by sakurai on July 17, 2019

2nd EditionのPMHF方程式は前稿のように、

図109.3
図109.3 2nd Editionの規格式

となっており、Pattern 2及び4に関して、0.5がどこにいったかが謎でした。

ところが、2018年にヨーロッパで実施された機能安全ワークショップでのインテルの資料(恐らくDr. Riccard Marianiの資料)に

図%%.1
図130.1 Intelによる2nd Editionの規格式

という式が出ており、無くなったことが謎だった0.5が戻っています。どちらかと言えば、こちらのほうが(少しだけ)正しい式です。

結論としては両者とも誤っているのには違いないのですが、謎の部分が無くなったことで、規格式の誤りが明確になりました。誤りの原因は、初期状態において、IFまたはSMのいずれかがアンリペアラブルと固定している点です。実際に弊社がこの条件で計算すると、図130.1の式と一致します。

本来は初期状態においてIF、SMの両方ともリペアラブルとしなければなりません。つまり、図109.3の2nd Editionの規格式の誤りは以下の2か所あると思われます。

  • パターン2, 4で0.5が消えている件
  • 初期状態で、パターン1,2は初期状態でIFをリペアラブル、SMをアンリペアラブル固定、パターン3,4は初期状態でSMをリペアラブル、IFをアンリペアラブル固定と誤っている件 - 本来は、パターンに依らず、IFもSMもリペアラブルが正しい

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posted by sakurai on July 9, 2019

さて、前稿平均PUD計算は簡易的に、冗長システムの確率の1/2として求めましたが、厳密には、

例えば全ての部品を二重化しておき、片方が壊れてももう片方がそれを引き継ぐことができる

という、スタンバイシステムについて平均PUD計算する必要があります。常に両方が稼働する冗長(2重化)と異なり、主系がフォールトしたときに初めて従系が稼働するものです。

IF、SM1からなるサブシステムがあり、IF、SM1の両方ともアンリペアラブルだとします。それぞれの故障率は、$\lambda_\text{IF}$及び$\lambda_\text{SM}$とします。上記のように、IFもSM1も$t=0$から同時に動作している冗長系ではなく、時刻$t$において主系であるIFがダウンし、即座にスタンバイ系であるSM1が引き続いて動作するものとします。

すると、車両寿命$T_\text{lifetime}$における信頼度は、IFが$T_\text{lifetime}$までにダウンしないか、あるいは、途中の時刻$t$でダウンしたとしても、そこからSM1が$T_\text{lifetime}$までダウンせずに稼働する確率なので、

$$ R_\text{subsystem}(T_\text{lifetime})=\Pr\{\text{IF not failed at }T_\text{lifetime}\}\\ +\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{IF fails in }(t + dt]\cap\text{IF not failed at }t\cap\text{SM not failed in }(T_\text{lifetime}-t]\}\\ =R_\text{IF}(T_\text{lifetime})+\int_0^{T_\text{lifetime}}R_\text{SM}(T_\text{lifetime}-t)f_\text{IF}(t)dt\\ =R_\text{IF}(T_\text{lifetime})+\int_0^{T_\text{lifetime}}e^{-\lambda_\text{SM}(T_\text{lifetime}-t)}\lambda_\text{IF}e^{-\lambda_\text{IF}t}dt\\ =R_\text{IF}(T_\text{lifetime})+\lambda_\text{IF}e^{-\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}e^{-(\lambda_\text{IF}-\lambda_\text{SM})t} dt\\ =R_\text{IF}(T_\text{lifetime})+\lambda_\text{IF}e^{-\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}}\left[\frac{e^{-(\lambda_\text{IF}-\lambda_\text{SM})t}}{-(\lambda_\text{IF}-\lambda_\text{SM})}\right]_0^{T_\text{lifetime}}\\ =R_\text{IF}(T_\text{lifetime})+\lambda_\text{IF}e^{-\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}}\left[\frac{1-e^{-(\lambda_\text{IF}-\lambda_\text{SM})T_\text{lifetime}}}{\lambda_\text{IF}-\lambda_\text{SM}}\right]\\ =R_\text{IF}(T_\text{lifetime})+\frac{\lambda_\text{IF}}{\lambda_\text{IF}-\lambda_\text{SM}}(e^{-\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}}-e^{-\lambda_\text{IF}T_\text{lifetime}})\\ =\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}, \text{ただし、}\lambda_\text{IF}\neq\lambda_\text{SM} \tag{126.1} $$

平均PUDを求めるには不信頼度の時間平均が知りたいので、$\lambda t\ll 1$の前提で$R(t)=e^{-\lambda t}\approx1-\lambda t+\frac{1}{2}\lambda^2 t^2$と、2次項までMaclaurin展開し、平均PUDを求めると、 $$ \require{cancel} \overline{PUD}=\frac{1}{T_\text{lifetime}}F_\text{subsystem}(T_\text{lifetime})=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\left[1-R_\text{subsystem}(T_\text{lifetime})\right]\\ \approx\frac{1}{\bcancel{T_\text{lifetime}}}\left[\bcancel{1}-(\bcancel{1}-\lambda_\text{IF}\bcancel{T_\text{lifetime}}+\frac{1}{2}{\lambda_\text{IF}}^2 {T_\text{lifetime}}^\bcancel{2})\right]\\ -\frac{1}{\bcancel{T_\text{lifetime}}}\frac{\lambda_\text{IF}}{\lambda_\text{IF}-\lambda_\text{SM}}\left[ (\bcancel{1}-\lambda_\text{SM}\bcancel{T_\text{lifetime}}+\frac{1}{2}{\lambda_\text{SM}}^2 {T_\text{lifetime}}^\bcancel{2})\\ -(\bcancel{1}-\lambda_\text{IF}\bcancel{T_\text{lifetime}}+\frac{1}{2}{\lambda_\text{IF}}^2 {T_\text{lifetime}}^\bcancel{2})\right]\\ =(\lambda_\text{IF}-\frac{1}{2}{\lambda_\text{IF}}^2 T_\text{lifetime})-\frac{\lambda_\text{IF}}{\bcancel{\lambda_\text{IF}-\lambda_\text{SM}}}\left[(\bcancel{\lambda_\text{IF}-\lambda_\text{SM}})-\frac{1}{2}T_\text{lifetime}(\bcancel{\lambda_\text{IF}-\lambda_\text{SM}})(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\right]\\ =(\bcancel{\lambda_\text{IF}}-\bcancel{\frac{1}{2}{\lambda_\text{IF}}^2 T_\text{lifetime}})-\lambda_\text{IF}\left[\bcancel{1}-\frac{1}{2}T_\text{lifetime}(\bcancel{\lambda_\text{IF}}+\lambda_\text{SM})\right]\\ =\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} \tag{126.2} $$ 以上から、前稿の2重化での簡易計算と完全一致します。


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あるWebの記事について(2)

posted by sakurai on July 8, 2019

同じ記事のPMHFについても怪しいところがあります。

まずPMHFそのものは単純で故障する頻度そのものである。ただ実際には1億回あたり1回未満というのはかなり難しい。一般にエレクトロニクス業界で使われている故障頻度には「FIT」(Failure in Time:10億時間あたりに発生する故障回数)と呼ばれるものがあるが、自動車向けのMCUなどではどんなに少ないものでも20FIT(10億時間あたり20回)といわれており、このままでは10^-8/hを満たせない。 ただ、PMHFは、ある特定の回路そのものの故障頻度ではなく、システム全体の故障頻度と見なすこともできる。例えば全ての部品を二重化しておき、片方が壊れてももう片方がそれを引き継ぐことができるとすれば、トータルとしての故障頻度は10FITに減る計算になり、これでASIL DのPFHFの目標をクリアできることになるからだ。

要約すれば、主系とバックアップ系が、それぞれ20FITの故障率を持つ2重化システムがあるとき、「トータルとしての故障頻度」が10FITになるということのようです。

実際には「トータルとしての故障頻度」はDPF(Dual Point Failure)の時であるから、車両寿命を$T_\text{lifetime}$として単純な確率計算では、 $$ \Pr\{\text{DPF}\}=\Pr\{\text{Channel 1 failed}\cap\text{Channel 2 failed}\} =\Pr\{\text{Channel 1 failed}\}\Pr\{\text{Channel 2 failed}\}\\ =(\lambda_\text{IF}T_\text{lifetime})(\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}) =(10\times 10^{-9})^2{T_\text{lifetime}}^2=1\times 10^{-16}{T_\text{lifetime}}^2 $$ となります。

この確率には主系⇒バックアップ系のフェイルオーバーだけでなく、その逆の場合も含まれるので、フェイルオーバーの場合の平均PUDを求めると、この1/2を$T_\text{lifetime}$で割った値となります。 $$ \overline{PUD}=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime} $$

この値は、車両寿命がいくら大きくても10FITにはなりません。例えば車両寿命が10万時間の場合の平均PUDは、 $$ \overline{PUD}=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}=0.5\times 10^{-16}\cdot 1\times 10^{5}=0.005[FIT] $$ となります。逆にこれが10FITだとすると、車両寿命は5,708年というあり得ない値となってしまいます。

誤りの原因は2重化の場合の確率計算を引き算にしてしまったところにあります。本来は2重化システムにおいては、主系に故障があっても、バックアップ系が動作するフォールトトレラント性があるため、引き続いてバックアップ系にもフォールトが起きないとシステムの故障とはなりません。従って、確率計算としてはいずれかにフォールトが起こる足し算ではなく、両方にフォールトが起こる掛け算とすべきです。

以前の記事のように、レアイベント近似を用いれば、直列系は確率の足し算、並列系は確率の掛け算となります。従って、直列系であればむしろ、20FIT+20FIT=40FITと増えてしまうので、故障率低減効果がありません。従って表記の記事は2重に(並列系を直列系に、加算を減算に)誤っていることになります。


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PMHFのバジェッティング

posted by sakurai on June 22, 2019

Annex G

これも2nd Editionで新設されたAnnexですが、PMHFのバジェッティングについて記述されています。といっても従来からバジェッティングは現場では実施されていました。それと規格の意図するところは若干異なるようです。

従来のバジェッティング

まず1st Editionで実施されていたバジェッティングは、Part5 9.4.2.2 表6で規定される、PMHF目標値を分割するものでした。例えば、あるアイテムがASIL-Dの要求に基づき、アイテムにASIL-Dを割り当てます。ここで注意すべきは、エレメントには当初はASILは存在せず、あくまで要求の属性としてのASILが存在することです。エレメントには様々な安全目標によって、様々な要求が割り当てられますが、その中の最高レベルのASILにより、エレメントのASILが規定されます。

例えば、アイテムが3つのエレメントに分割され、それぞれ別のサプライヤによって開発される場合には、どうしてもそれぞれのサプライヤに対して、PMHF目標値を設定する必要があります。これを従来はバジェッティングと呼んでいました。アイテムで10FITの予算(バジェット)があり、それを配分するイメージとなります。例えば3つずつであれば、3.3FITずつ割り当てることができます。

図%%.1
図116.1 1st EditionのPMHFバジェッティング

2nd Editionのバジェッティング

規格でバジェットの単語が出てくるのはPart5 9.4.2.3の中です。9.4.2.3は上記の予算配分(分割)と言うよりも、多重割り当てと言ったほうがふさわしい節です。その理由は9.4.2.3は、上記のようにASIL-Dの目標をエレメントの数で分割するのではなく、比較的大きなシステム、例えばADASのように、物標認識システム、ブレーキ制御システム、エンジン制御システム等のように、それだけで従来はアイテムレベルであったシステムを複数組み合わせた場合のPMHFの考え方を表すものだからです。そしてその場合は、それぞれのシステムにASILを割り当て、10個までは組み合わせて良いと規定しています。例えばASIL-Dのシステムを10個までならぎりぎり目標が10倍となり10倍を超えませんが、10倍を超える目標値を設定することは許されていません。

図%%.2
図116.2 2nd EditionのPMHFバジェッティング


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posted by sakurai on June 20, 2019

2nd Edition Annex F.3,4,5

次にF.3を見てみます。F.3は「評価対象のフォールト又は故障モードの選択基準の決定」となっています。本来はFMEDAのフォールトイベントの評価として全ての故障モードを評価すべきでしょうが、それだと数千件も評価しなければならないため、本節で故障モードの絞り込みを行うのだと思われます。

ちなみに、PMHFへの寄与率を厳密に考えると、PMHFのSPF部分とDPF部分がありますが、DPF部分は故障モードの組み合わせであるため、以下は全てPMHFの値(SPF+DPF)への、故障モードのSPF部分の寄与率と言う意味となります。

  1. SPFまたはRFに関して、DCが90%以下の全てのフォールト又は故障モード
  2. PMHFの寄与率が2%以上の全てのフォールト又は故障モード
  3. PMHFの寄与率が上位20位以内の全てのフォールト又は故障モード

この選択基準で絞り込むと、本例ではたまたま以下の値になります。

  1. 2件の故障モード⇒PMHFへの寄与率は95.68%
  2. 2件の故障モード(上記と同じ)⇒PMHFへの寄与率は95.68%
  3. 20件の故障モード⇒PMHFへの寄与率は99.89%

F.5では、これらは全てPMHFへの寄与率が95%以上であるから問題無しとしています。逆にそうであるなら、直接的に

  1. PMHFへの寄与率が95%を超えるまでの上位からの全てのフォールト又は故障モード

とするほうが自然ではないでしょうか。ちなみにこのような絞り込み条件を設定すると、2件の故障モード⇒PMHFへの寄与率は95.68%となり、上記1.及び2.と同様2件の故障モードを分析すれば良いことになります。以下に故障モードに関してPMHFへの寄与率が大きい順にリストします。

コンポーネント名 故障率
[FIT]
SR? 故障モード 分布[%] SM DC[%] λRF PMHFへの
寄与率[%]
PMHFへの
寄与率累積[%]
1 μC 100 Yes all 50 SM4 90 5.000 91.13 91.13
2 T61 5 Yes short 50 SM2 90 0.250 4.56 95.68

従って、分析方法をまとめれば、「 PMHFへの寄与率が95%を超えるまでの上位からの全てのフォールト又は故障モード」について絞り込みを実施し、それぞれに故障モードについて、安全方策がとられているかどうかを確認することになります。このときなぜ95%以上としたのかを問われたら、2nd Edition規格Annex F.3を参照したとなります。


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posted by sakurai on June 19, 2019

2nd Edition Annex F

2nd Editionで新設されたAnnex F のFMEDAシートを図114.1に示します。

図%%.1
図114.1 2nd Edition, Annex F FMEDA

前項と比較して、右端の欄が2つ増えており、重要なのはDPF_detです。Annex Fの「F.2 PMHF評価を提供する安全分析」において、 $$ PMHF_{\mathrm{est}}=\lambda_{\mathrm{SPF}}+\lambda_{\mathrm{RF}}+\color{red}{\lambda_{\mathrm{DPF,det}}}\color{green}{\lambda_{\mathrm{DPF,lat}}}T_{\mathrm{lifetime}}\tag{114.1} $$ でPMHFを近似していると書かれています。$\lambda_{\mathrm{SPF}}$、$\lambda_{\mathrm{RF}}$はSPFMを求めるため、$\color{green}{\lambda_{\mathrm{DPF,lat}}}$もLFMを求めるために既に表にあるため、$\color{red}{\lambda_{\mathrm{DPF,det}}}$が新たに表に必要となります。

ただし、弊社では(114.1)には異論があります。正しいPMHF式は、1st Editionの3番目の一般式を示すと、 $$ M_{\mathrm{PMHF}}=\lambda_{\mathrm{RF}}+\lambda_{\mathrm{IF,DPF}}\lambda_{\mathrm{SM,lat}}T_{\mathrm{lifetime}}\tag{114.2} $$ です。これは、1st Editionで述べられているとおり故障順序によらない式であり、$\lambda_{\mathrm{SM,lat}}T_{\mathrm{lifetime}}\gg\lambda_{\mathrm{SM,det}}T_{\mathrm{service}}$かつ、IFがアンリペアラブル、SMがリペアラブルの場合に成り立つことは検証済みです。

(114.2)と(114.1)を比較すると、DPFの項の2つの故障率が異なっています。(114.1)では主機能と安全機構の値を合わせた故障率$\color{red}{\lambda_{\mathrm{DPF,det}}}$及び$\color{green}{\lambda_{\mathrm{DPF,lat}}}$を使用しています。双方をIFとSMの和に分解すれば、 $$ \color{red}{\lambda_{\mathrm{DPF,det}}} =\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} \tag{114.3} $$ であり、たまたま$K_{\mathrm{SM,MPF}}=0$、$K_{\mathrm{IF,MPF}}=1$であることから、(114.3)は $$ \color{red}{\lambda_{\mathrm{DPF,det}}}=K_{\mathrm{IF,RF}}\lambda_{\mathrm{IF}}=\lambda_{\mathrm{IF,DPF}}\tag{114.4} $$ となります。本来はPMHF式(114.2)を鑑みると、これは$\lambda_{\mathrm{IF,DPF}}$とするべきです。また、同様に$\color{green}{\lambda_{\mathrm{DPF,lat}}}$もIFとSMの部分に分解すれば、 $$ \color{green}{\lambda_{\mathrm{DPF,lat}}} =\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} \tag{114.5} $$ ですが、たまたま前述の$K_{\mathrm{SM,MPF}}=0$、$K_{\mathrm{IF,MPF}}=1$の条件から(114.5)は $$ \color{green}{\lambda_{\mathrm{DPF,lat}}}=\lambda_{\mathrm{SM}}=\lambda_{\mathrm{SM,lat}}\tag{114.6} $$ となり、値は結果的に正しくなります。しかしながら、この条件が常に成り立つとは言えないのと、より正確な値を$T_{\mathrm{service}}$を用いて算出するためには、IFとSMの値を合わせないほうが良く、結論として(114.2)を用いるべきと考えます。


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posted by sakurai on June 18, 2019

2nd Edition Annex E

次に2nd Editionで新設されたAnnex F - PMHFの評価例について説明します。対象となる回路はAnnex EのFMEDAで解析した以下の回路です。

図%%.1
図113.1 2nd Edition, AnnexE 対象回路

それに基づくAnnex EのFMEDAシートの一部を示します。

図%%.2
図113.2 2nd Edition, Annex E FMEDA

これらは1st Editionの同じくAnnex Eに掲載されており、基本的に変わっていません。


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posted by sakurai on June 4, 2019

1st EditionのPMHF式

以下に1st EditionのPMHF第1式及び第3式を示します。第1式はIFによりSPFもしくはDPFが発生する場合のみを数え上げた式であり、第3式はそれに加えてSM1によるDPFも加えた式です。従って、全ての場合を考えるならば第3式を使うのが正しいと考えます。

図%%.1
図109.1 1st EditionのPMHF第1式

図%%.2
図109.2 1st EditionのPMHF第3式

1st EditionにおいてはIFがアンリペアラブル、SM1がリペアラブルという前提での計算に基づいていると考えらえます。その理由は、この前提で、前項のCTMCから平均PUDを求めると、正確に上2式と一致するためです。

2nd EditionのPMHF式

以下に2nd EditionのPMHF式を示します。

図%%.3
図109.3 2nd EditionのPMHF式

ISO 26262の2nd EditionのPMHF式は、1st Editionとpattern3、4が異なっており、対称性からみて前提が追加されていると考えます。2nd Editionでは1st Editionの前提(pattern 1, 2)に加えて、その反対の状態(pattern 3, 4)つまりIFがリペアラブル、SM1がアンリペアラブルの場合の両側についてPMHFを求めていると推測します。ただし、$T_{\mathrm{lifetime}}$項と$T_{\mathrm{service}}$項がなぜ2倍異なるのかの理由は判明していません。

しかしながら、弊社ではこの前提は誤りではないかと思います。初期状態、つまりフォールトが起きていない状態においては、IF、SM1の両方ともがリペアラブルが正しく、上記の仮定においては故障確率を過大に見積もりすぎています。

例えば、SM1がフォールトし、そのフォールトがSM2により検出され、検出周期の最後でリペアされる場合(pattern 2)を考えます。規格ではこの場合は最初にSM1がフォールトしてしまうと、最終的にはIFのフォールトによりDPFとなる場合のみがカウントされます。なぜなら、どちらかがリペアラブルだと他方はアンリペアラブルだからです。つまりこの場合、SM1がリペアラブルの場合は自動的にIFはアンリペアラブルという前提です。

ところが、実際にはSM1がリペアされた場合は初期状態と同じ状態に戻るため、$\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}$

従って、実際にはDPFは起きませんが、IFのフォールトでDPFとカウントされ、結論として$\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}$

弊社ではこの過剰見積もりに関する論文をRAMS 2020に投稿中であり、そのため、PMHFに関する最新の研究#103~108を一旦非開示としました。2019年10月中に採択の決定が行われる予定であり、その後に開示する予定です。


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posted by sakurai on May 19, 2019

米国ロチェスター大学の資料そのキャッシュによれば、 ランダムプロセス$\eta_t$において、ステート空間を$i, j=0,1,2,...,\in\mathcal{E}$について、以下の式を満足する場合に、ランダムプロセス$\eta_t$は連続時間マルコフ連鎖(CTMC)となります。 $$ \Pr\{\eta_{(t+s)}\in j\ |\ \eta_t\in i, \eta_u\in x_u, u\lt t\}=\Pr\{\eta_{(t+s)}\in j\ |\ \eta_t\in i\} $$ 遷移する確率が、過去の時刻$u$での状態に依存せず、現在時刻$t$での状態にのみ依存することを表します。

CTMCである$\eta_t$において、ステートiからjへの瞬間遷移確率関数(Instantanous Transition Probability Function)$P_{ij}$の式は以下のようになります。ただし、元の式を「信頼性関係式の定義式の表現」で導入した記法に変更しています。 $$ P_{ij}(t):=\Pr\{\eta_{(t+dt)}\in\mathcal{j}\ |\ \eta_{t}\in\mathcal{i}\}=q_{ij}dt+o(dt)\tag{102.1} $$ $q_{ij}$は遷移率(Transition Rate)です。ランダムプロセス$\eta_t$において、確率変数$X$を無故障稼働時間とします。$\mathcal{M}$を稼働状態のサブセットとし、$\mathcal{P}$を不稼働状態のサブセットとすれば、$X=\inf\{t:\eta_{t}\in\mathcal{P}\}$と示すことができます。

稼働状態$\mathcal{M}$から不稼働状態$\mathcal{P}$への遷移を考えると、(102.1)は、 $$ P_\mathcal{MP}(t)=\Pr\{\eta_{(t+dt)}\in\mathcal{P}\ |\ \eta_{t}\in\mathcal{M}\}=q_\mathcal{MP}dt+o(dt)\tag{102.2} $$ となりますが、これと前記事の微小ダウン確率形式と比較し、 $$ \Pr\{\eta_{(t+dt)}\in\mathcal{P}\ |\ \eta_{t}\in\mathcal{M}\}=q_\mathcal{MP}dt+o(dt)=\varphi(t)dt\tag{102.3} $$ すなわち、単位時間あたりの稼働状態$\mathcal{M}$から不稼働状態$\mathcal{P}$への遷移率$q_\mathcal{MP}$は、$o(dt)\approx 0$の場合のダウン率$\varphi(t)$にほかなりません。

ここで、条件付き確率の式から(102.3)の両辺に状態確率$\Pr\{\eta_{t}\in\mathcal{M}\}$をかけると$PUD$が求まります。$PUD$について、$0$から$T_\text{lifetime}$まで$t$で積分し(102.2)を用いれば、 $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}P_\mathcal{MP}(t)\Pr\{\eta_{t}\in\mathcal{M}\} =\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\eta_{(t+dt)}\in\mathcal{P}\ |\ \eta_{t}\in\mathcal{M}\}\Pr\{\eta_{t}\in\mathcal{M}\}\\ =\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\lbrace\eta_{(t+dt)}\in\mathcal{P}\cap \eta_{t}\in\mathcal{M}\rbrace=\int_0^{T_\text{lifetime}}q(t)dt =Q({T_\text{lifetime}})\tag{102.4} $$ 前記事の平均PUD式(66.13)に基づき(102.4)の両辺を$T_\text{lifetime}$で割り、SPFになる平均PUDを$\overline{q_{\mathrm{SPF}}}$で表せば、 $$ \overline{q_{\mathrm{SPF}}}=\frac{1}{T_\text{lifetime}}Q({T_\text{lifetime}})=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\eta_{(t+dt)}\in\mathcal{P}\ |\ \eta_{t}\in\mathcal{M}\}\Pr\{\eta_{t}\in\mathcal{M}\}\\ =\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} \tag{102.5} $$ これにより、CTMCを用いた平均PUDを求める基本式が求まりました。PMHFを求めるには、(102.5)式を駆使していきます。

弊社ではPMHFに関する論文をRAMS 2020に投稿中であり、そのため、最新の研究#103~108を一旦非開示としました。2019年10月中に採択の決定が行われる予定であり、その後に開示する予定です。


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Kパラメータは条件付き確率か(3)

posted by sakurai on May 12, 2019

前稿(100.1)において、時刻$t$から$t+dt$において、IFのフォールトがVSG抑止される微小確率を求めると、 $$ \Pr\{\mathrm{IF\ prevented}\cap\mathrm{IF\ failed\ in\ }(t, t+dt]\cap\mathrm{IF\ not\ failed\ before\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF\ prevented}\ |\ \mathrm{IF\ failed\ in\ }(t, t+dt]\cap\mathrm{IF\ not\ failed\ before\ }t\}\\ \cdot\Pr\{\mathrm{IF\ failed\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF\ not\ failed\ before\ }t\}\cdot\Pr\{\mathrm{IF\ not\ failed\ before\ }t\}\\ =K_{\mathrm{FMC,RF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}R_{\mathrm{IF}}(t)dt \tag{101.1} $$ ここで、 $$ \Pr\{\mathrm{IF\ prevented}\ |\ \mathrm{IF\ failed\ at\ }t\cap\mathrm{IF\ not\ failed\ before\ }t\}=K_{\mathrm{FMC,RF}}(t)\\ \Pr\{\mathrm{IF\ failed\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF\ not\ failed\ before\ }t\}=\lambda_{\mathrm{IF}}dt\\ \Pr\{\mathrm{IF\ not\ failed\ before\ }t\}=R_{\mathrm{IF}}(t) $$ となりましたが、「DCはSMのアーキテクチャにより決定される」ことを前提とし、フォールト発生とフォールト検出は独立な事象と考えれば、同じ確率式は、 $$ \Pr\{\mathrm{IF\ prevented}\cap\mathrm{IF\ failed\ in\ }(t, t+dt]\cap\mathrm{IF\ not\ failed\ before\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF\ preventable}\}\cdot\Pr\{\mathrm{IF\ failed\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF\ not\ failed\ before\ }t\}\\ \cdot\Pr\{\mathrm{IF\ not\ failed\ before\ }t\}=K_{\mathrm{FMC,RF}}\lambda_{\mathrm{IF}}R_{\mathrm{IF}}(t)dt \tag{101.2} $$ ここで、 $$ \Pr\{\mathrm{IF\ preventable}\}=K_{\mathrm{FMC,RF}}\\ \Pr\{\mathrm{IF\ failed\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF\ not\ failed\ before\ }t\}=\lambda_{\mathrm{IF}}dt\\ \Pr\{\mathrm{IF\ not\ failed\ before\ }t\}=R_{\mathrm{IF}}(t) $$ と求められます。従って、(101.1)の$\Pr\{\mathrm{IF\ prevented}\ |\ \mathrm{IF\ failed\ at\ }t\}$という確率的な$t$の関数を、(101.2)の$\Pr\{\mathrm{IF\ preventable}\}$という定数に置き換えることができます。

2nd SMの属性である$K_{\mathrm{FMC,MPF}}$についても同様の議論が成り立ち、Kパラメータは条件付き確率ではなく、アーキテクチャ的に決定している能力(定数)として扱います。結論として、

$$ K_{\mathrm{IF,FMC,RF}}:=\Pr\{\mathrm{IF\ preventable}\}\tag{101.3} $$ $$ K_{\mathrm{IF,FMC,MPF}}:=\Pr\{\mathrm{IF\ detectable}\}\tag{101.4} $$ $$ K_{\mathrm{SM,FMC,MPF}}:=\Pr\{\mathrm{SM\ detectable}\}\tag{101.5} $$


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