Posts Tagged with "PMHF"

既に発行済みのブログであっても適宜修正・追加することがあります。
Even in the already published blog, we may modify and add appropriately.
posted by sakurai on September 18, 2018

平均ダウン率(ADR, Average Down Rate)の前に、PUD(Point Unavailablity Density)、ダウン率(Down Rate)の定義からご紹介します。とはいえ、これらは弊社の造語でありここだけで通用するものです。 PUDは、前々回ご紹介したポイントアンナベイラビリティの時間微分で、不稼働密度とでも訳すべきものであり、以下の式で定義されるものです。 $$q_{item}(t)dt\equiv(\frac{dQ_{item}(t)}{dt})dt=\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}\tag{61.1}$$

また、ポイントアベイラビリティの式 $$A_{item}(t)\equiv\Pr\lbrace \mathrm{(repairable)item\ up\ at\ }t\rbrace\tag{61.2}$$ 及び条件付き確率の式から、ダウン率が

$$\rho_{item}(t)dt\equiv\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}\tag{61.3}$$

と定義されます。修理が起きることから(修理系の)ダウン率は(非修理系の)故障率と異なり定数とはなりません。が、車両寿命間に変化する$\rho(t)$に対して定数である平均値$\bar{\rho_{item}}$が存在すれば、定義から

$$\int_0^{T_{lifetime}}\bar{\rho_{item}}\cdot A_{item}(t)dt=\int_0^{T_{lifetime}}q_{item}(t)dt=Q_{item}(T_{lifetime})\tag{61.4}$$

よって、$\int_0^{T_{lifetime}}A_{item}(t)dt\approx T_{lifetime}$であることを考慮すれば、

$$\bar{\rho_{item}}\approx\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}\tag{61.5}$$

となります。PMHFは、修理系アイテムの車両寿命間の故障確率の時間平均であることから、ここで示すアイテムのADRに他なりません。そこでPMHFを求めるにはまずPUDに着目して確率微分方程式を立て、それを0から車両寿命$T_{lifetime}$まで積分する流れで求めることになります。


左矢前のブログ 次のブログ右矢

posted by sakurai on September 13, 2018

良く出てくる積分公式

ISO 26262のPMHFの導出の際に、微小確率の積分を実行する際に次の式が出てきますが、結果を導出しておきます。 $$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{SM}(t) f_{M}(t)dt\tag{60.1}$$及び$$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{SM}(u) f_{M}(t)dt, ただしu=t\bmod\tau_{SM}\tag{60.2}$$ まず、(60.1)式は、 $$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{SM}(t)f_{M}(t)dt=\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}(1-\exp(-\lambda_{SM}t))\lambda_{M}\exp(-\lambda_{M}t)dt\\ =\frac{\lambda_{M}}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}\exp(-\lambda_{M}t)dt-\frac{\lambda_{M}}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}\exp(-(\lambda_{SM}+\lambda_M)t)dt\tag{60.3}$$

mathjaxが特定の数式でエラーが出て表現できないため、途中結果を省略し結果を示します。上式を積分するだけなので、手を動かして検証してみることをお勧めします。ここでは$\exp(-\lambda t)$のMaclaurin展開が $$\exp(-\lambda t)=1-\lambda t + \frac{1}{2}\lambda^2 t^2-O(t^3), O(t^3)\approx 0$$ となることを用います。

$$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{SM}(t) f_{M}(t)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_{M}\lambda_{SM}T_{lifetime}\tag{60.4}$$

結果の対称性から推測可能なように、以下の式も同じ値となります。 $$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{M}(t) f_{SM}(t)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_{M}\lambda_{SM}T_{lifetime}\tag{60.5}$$

次にやや複雑になりますが、第2式の場合、同様に計算を行うと、、(60.2)式が求められます。

$$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{SM}(u) f_{M}(t)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_{M}\lambda_{SM}\tau_{SM}\tag{60.6}$$

これも結果の対称性から推測可能なように、以下の式も同じ値となります。 $$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{M}(t) f_{SM}(u)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_{M}\lambda_{SM}\tau_{SM}\tag{60.7}$$


左矢前のブログ 次のブログ右矢

posted by sakurai on September 10, 2018

SMのアンナベイラビリティ(不稼働率、PUA)$Q_{SM}(t)$の導出

再度PMHFの式を導出して行きますが、事前準備がいくつか必要になりますので、まず、修理系のアンナベイラビリティの公式を導きます。

まず、修理系とは何かを説明します。ISO 26262規格には修理の問題についてはっきり書いていませんが、1st SMがそれにあたります。1st SMとは、1st order SMとも呼ばれ、主機能のSG侵害を防止するためのSMです。

1st SMは、2nd SMにより定期的に検査され、故障だと判明した場合は直ちに修理されます。規格にも書いてあるとおり、修理周期は、「検査周期($\tau_{SM}$)+ドライバーが修理工場へ運転して行く時間+修理にかかる時間」であり、後者2者は無視できると書かれています。つまり、修理周期=2nd SMの検査周期として良いと考えられます。

規格にははっきり書かれていませんが、検査により故障と判明した部分については、修理され新品同様(as good as new)と見なされます。この検査による故障検出割合が重要であり、Part 10では定数値$K_{FMC,MPF}$で表されます。故障したうちの検出部分なので次のように条件付き確率と考えがちですが、 $$K_{FMC,MPF}=\Pr\lbrace \mathrm{detectable}\ |\ \mathrm{failed\ at\ }t \rbrace\tag{59.1}$$ 故障検出能力は確率的に決まるものではなく、アーキテクチャ的に決まるものだと考えるため、もともとの検出部分の故障について検出可能とします。 $$K_{FMC,MPF}=\Pr\lbrace \mathrm{detectable} \rbrace\tag{59.2}$$ 検出された故障は全て修理されるものとします。 $$\Pr\lbrace \mathrm{repaired}\ |\ \mathrm{detected\ at\ }t\rbrace=1\tag{59.3}$$

次にアンナベイラビリティ$Q_{SM}(t)$とは、省略せずに言うとポイントアンナベイラビリティ(PUA)であり、修理系の不稼働率です。 確率の式で表せば、 $$Q_{SM}(t)\equiv\Pr \lbrace \mathrm{(repairable)SM\ down\ at\ }t \rbrace\tag{59.4}$$ のように、時刻$t$において不稼働である確率を意味します。

一方で、リニューアル方程式(再生方程式)は教科書を参照すれば、 $$A(t)\equiv R(t)+\int_0^t m(x)R(t-x)dx\tag{59.5}$$ であり、ここで、$A(t)$は時刻tにおけるポイントアベイラビリティ、$R(t)$は時刻tにおけるリライアビリティ(信頼度)、$m(t)$は時刻tにおけるリニューアル密度(修理密度)です。規格の特徴として、修理周期は教科書一般にあるように指数関数分布はとらず、定期的に$\tau_{SM}$で行われるため、以下の式が成立します。 $$A_{SM}(t)=R_{SM}(t)+K_{SM,FMC,MPF}F_{SM}(\tau_{SM})\sum_{i=0}^{n-1}R_{SM}(t-i\tau_{SM})\tag{59.5}$$ 修理分が時刻$t$の関数でないのは、検出能力$K_{FMC,MPF}$は一定で、毎回検出した分は全て修理されるため、修理分は一定となるためです。 SMのポイントアベイラビリティ式は以下のようになります。 $$A_{SM}(t)dt=\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}\tag{59.6}$$

これを1から引けば、SMのポイントアンアベイラビリティ(PUA)は以下のように求められます。 $$Q_{SM}(t)dt=\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}\tag{59.7}$$


左矢前のブログ 次のブログ右矢

posted by sakurai on May 18, 2017

A paper on the failure rate of automobiles authored by Sakurai Atsushi, who is the CEO & CTO of Functional Safety Consultant FS Micro (Headquarters: Shibuya Ward, Tokyo, JAPAN) received the Best Paper Award at ISPCE 2017 (2017 IEEE Symposium on Product Compliance Engineering) held in San Jose, California in May 2017.

On 14th, on May 9th morning of local time, a paper authored by Sakurai Atsushi, who is the CEO & CTO of FS Micro Corporation (Head office: Shibuya-ward, Tokyo, JAPAN), functional safety consultant) received the Best Paper Award at ISPCE 2017 (Note 2), an international conference of IEEE (Note 1) held in San Jose, California, from May 8th to 10th, 2017.

Among the 20 formal papers, there is only one to be deserved as the Best Paper Award.

The title of the paper won the Best Paper Award is "Generalized Formula for the Calculation of a Probabilistic Metric for Random Hardware Failures in Redundant Subsystems".

When performing safety analysis using FMEDA (Note 5) or quantitative FTA (Note 6) in accordance with ISO 26262 which is the international standard of automobile functional safety (Note 4), the failure rate calculation formula relating to the redundant subsystem is unclear, it was difficult to accurately perform quantitative analysis.

It was selected as the Best Paper Award, because it contributes to expand the application of the standard in quantitative safety analysis.

Note 1: The world's largest academic institute on electrical and electronics engineering headquartered in the United States.
Note 2: 2017 IEEE Symposium on Product Compliance Engineering. International conference organized by the IEEE's Product Safety Engineering Society, once a year from 2004, with regard to product safety.
Note 3: Subsystems subject to functional safety, those with redundancy
Note 4: Methodology to ensure system safety by adding various safety measures.
Note 5: Inductive analytical method which quantitatively demonstrates how failure modes of parts affect safety of the whole system using the failure rate.
Note 6: A deductive analytical method that quantitatively demonstrates the possibility of the safety goal violation by calculating the probability using the fault tree.

図PSES
--- 左矢前のブログ 次のブログ右矢
posted by sakurai on May 18, 2017

2017年5月にアメリカ・カリフォルニア州サンノゼにて開催された、IEEEの製品安全に関する国際学会であるISPCE 2017(2017 IEEE Symposium on Product Compliance Engineering)において、ISO 26262機能安全コンサルタントのFSマイクロ(本社:渋谷区)代表 桜井 厚の執筆した自動車の故障率に関する論文が最優秀論文賞を受賞しました。

2017年5月8日から10日まで、アメリカ・カリフォルニア州サンノゼにて開催されたIEEE(注1)の国際学会である第14回ISPCE 2017(注2)において、現地時間の5月9日午前11時、ISO 26262機能安全コンサルタントのFSマイクロ株式会社(本社:渋谷区)代表取締役社長 桜井 厚の執筆した論文が最優秀論文賞を受賞しました。

正式論文として投稿された20本のうち、最優秀論文賞は1本のみです。

最優秀論文賞を受賞した論文の題名は「Generalized Formula for the Calculation of a Probabilistic Metric for Random Hardware Failures in Redundant Subsystems」です。
これまで自動車の機能安全(注4)の国際規格であるISO 26262に従いFMEDA(注5)や定量FTA(注6)を用いて安全分析を行う場合、冗長サブシステムに関する故障率算出式が不明確であったため定量分析を正確に行うことが困難でした。
定量的な安全分析における同規格の適用範囲を拡大したことが評価され、最優秀論文賞に選ばれたものです。

注1:アメリカ合衆国に本部を持つ電気工学・電子工学技術に関する世界最大規模の学会
注2:2017 IEEE Symposium on Product Compliance Engineering。IEEEが2004年から年に一度主催する国際学会で、製品安全に関しては世界最高レベルの学会 http://2017.psessymposium.org/
注3:機能安全の対象となるシステムのうちの一部で、冗長性を持つもの
注4:様々な安全機構を付加することで、システムの安全性を担保する考え方
注5:部品の故障モードがシステム全体の安全にどのように影響するかを、故障率を用いて定量的に論証する帰納的な分析手法
注6:安全目標侵害確率を故障のツリーを用いて算出することにより、故障が危険な事象となる可能性を定量的に論証する演繹的な分析手法

図PSES

左矢前のブログ 次のブログ右矢

PMHF論文

posted by sakurai on March 22, 2017

プレスリリース

プレスリリースでもご紹介したように、当ブログでご紹介したPMHFの導出式に基づいた論文が、5月にアメリカ・カリフォルニア州サンノゼにて開催予定のISPCE 2017に採択されました。

論文のタイトルは「Generalized Formula for the Calculation of a Probabilistic Metric for Random Hardware Failures in Redundant Subsystems」です。邦題は「冗長サブシステムに関するランダムハードウェア故障の確率的メトリクス計算の一般式」で、冗長サブシステムも含めた車両寿命間の故障率の一般式を導出するものです。

図ISPCE2017

左矢前のブログ 次のブログ右矢

PMHF値の計算

posted by sakurai on September 21, 2016

PMHFの積算

部品個別のPMHF式は前回導出したものとなりますが、これをアイテムとして積算する必要があります。その方法には一般に、FMEDAによるもの、FTAによるものの2種類があります。単純な直列アイテムであれば、確率計算的には和を取るだけなので(ただし$\lambda t\ll 1$のとき)FMEDAとFTAは同じ値になります。一方、冗長構成等の並列アイテムの場合は、FTAでないと正しい値は求まりません。アイテムの故障率(2)でご紹介したように、並列アイテムの場合、アイテム不信頼度は部品不信頼度の積となるためです。FTAを用いると、ANDゲートで並列アイテム、ORゲートで直列アイテムを表すことができ、値の計算を正確に行うことができます。

ANDゲートでは確率の積算で、事象の確率が正確に求まります。一方ORゲートにおいては、$\lambda t\ll 1$のとき、例えば$\lambda t<0.1$の場合には加算で事象の確率が求められます。これをレアイベント近似と言います。以下に、近似ではなくExcelを使った方法で、簡単に正確に求めるやり方をご紹介します。

教科書等には信頼度で書かれていますが、故障率は不信頼度を時間平均したものですから、不信頼度で表すのが便利です。すると、ANDゲート=並列アイテムの不信頼度はアイテムの故障率(2)で求めた、 \[ F_{item}(t)=F_1(t)\cdot F_2(t)\cdot\cdots\cdot F_n(t)=\prod_{i=1}^n F_i(t)\tag{9.2} \]

のように、不信頼度の積で求められ、一方ORゲート=直列アイテムの不信頼度はアイテムの故障率(1)で求めた、 \[ F_{item}(t)=1-\prod_{i=1}^n[1-F_i(t)] \tag{8.4} \]

のように求められます。

Excelによる積算

確率計算において積算、加算を用いるレアイベント近似(FTA(2)で説明予定)の場合は特に関数を用意する必要はありませんが、(8.4)のようにレアイベント近似を用いない場合の計算については、以下のように関数を用意すると便利です。

public function lambda(range as range) as string
dim val as double
val = 1#
foreach cell in range
val = val * (1- cell)
next
lambda = format((1# - val)/100000#, "0.000E+00")
end function

Excelにおいて、確率計算の積は単純に掛け算を実施し、一方加算については上記関数を用いて(8.4)を計算します。


左矢前のブログ 次のブログ右矢

PMHF式の導出(4)

posted by sakurai on August 22, 2016

PMHF式の計算

(16.2)の添字の意味を見ていきます。故障率の添字がl(=latent)とd(=detected)で表されていますが、規格Part10の表記あるいは図16.1の表記を用いれば、 \[ \lambda_{RF}=(1-K_{M,FMC,RF}\lambda_M\\ \lambda_{M,DPF,l}=(1-K_{M,FMC,DPF})\lambda_{M,DPF}\\ \lambda_{M,DPF,d}=K_{M,FMC,DPF})\lambda_{M,DPF}\\ \lambda_{SM,DPF,l}=(1-K_{SM,FMC,DPF})\lambda_{SM,DPF}\\ \lambda_{SM,DPF,d}=K_{SM,FMC,DPF})\lambda_{SM,DPF}\\ \lambda_{M,DPF}=K_{M,FMC,RF}\lambda_M\\ \lambda_{SM,DPF}=\lambda_{SM} \]

となります。これらを(16.2)に代入すれば、

式94
(18.2)

となります。(18.2)に至ってようやく主機能故障率、安全機構故障率、安全機構カバレージ等の数値を用いてPMHFの計算を実行することが可能となります。


左矢前のブログ 次のブログ右矢

PMHF式の導出(3)

posted by sakurai on August 10, 2016

対象ブロック図

図17.1にPMHFの計算となるブロック図を示します。主機能Mに対して1st SMであるSMが設置されており、Mの2nd SMであるSM2-M及びSMの2nd SMであるSM2-SMが設置されています。Part10の記法に従い、SMのDC(Diagnostic Coverage)は$K_{M,FMC,RF}$、SM2M及びSM2SMのDCはそれぞれ$K_{M,FMC,MPF}$及び$K_{SM,FMC,MPF}$と書かれます。M、SMの故障率はそれぞれ$\lambda_M$、$\lambda_{SM}$ですが、2nd SMはλ=0となります。さらにMは安全機構ではないため(冗長の場合はSMとなりますが)、DC及び$\tau$(故障検出周期)は存在しません。さらにM及びSMの$\tau$は存在せず、SM2M及びSM2SMの$\tau$はそれぞれ$\tau_M$及び$\tau_{SM}$となります。

規格には明確に書かれていませんが、故障が検出された場合はゼロ時間で完全に修理されることが、暗黙に仮定されています。

図17.1
図17.1 対象サブシステムブロック図

PMHF式の導出

規格の「SMが先に故障してその後Mが故障する場合」は誤りであることは説明しましたが、式を吟味すると「SMがどうであれMが故障してSG侵害となる場合」であるようです。従ってそのように読み替えれば、規格第1式は、

$$ M_{PMHF}=M_{PMHF,SPF}+M_{PMHF,DPF,SM\rightarrow M}\tag{17.1} $$ であり、これを計算すると、 $$ M_{PMHF,M}\approx \lambda_{M,RF}+\frac{1}{2}\lambda_{M,DPF}\lambda_{SM}\lbrace (1-K_{SM,FMC,MPF})T_{lifetime}+K_{SM,FMC,MPF}\tau_{SM}\rbrace\tag{17.2} $$ となり、これは規格第1式と一致しました。

最終的なPMHFを求めます。SPFとDPFは排他事象であり、また、「主機能故障でレイテント⇒安全機構故障」とその逆の「安全機構故障でレイテント⇒主機能故障」も排他事象です。排他事象は確率が加え合わせられることから、トータルのPMHFは上記を(11.1)に適用して、(17.3)となります。 $$ M_{PMHF}=M_{PMHF,SPF}+M_{PMHF,DPF,M\rightarrow SM}+M_{PMHF,DPF,SM\rightarrow M}\tag{17.3} $$

これに対して、SPFに関しては(12.2)を適用します。さらに、DPFに関しては(15.2)に基づき、主機能故障と安全機構故障の順番を考慮して先の2パターンのPMHFを加え合わせれば、PMHF式(17.4)が得られます。

FSマイクロ株式会社の考えるPMHF式:

$$M_{PMHF}\approx \lambda_{M,RF}+\lambda_{M,DPF}\lambda_{SM}\lbrace (1-K_{SM,FMC,MPF})T_{lifetime}+K_{SM,FMC,MPF}\tau_{SM}\rbrace\tag{17.4}$$ となり、これは規格第3式と一致しました。


左矢前のブログ 次のブログ右矢

PMHF式の導出(2)

posted by sakurai on July 28, 2016

故障検出周期

検出時点での故障率を、以下のように安全機構により検出できる部分とできない部分に分解します。またそれぞれの場合の条件を以下に示します。

  1. 安全機構が周期$\tau_{SM}$で故障検出された際に検出できない故障率の部分は、なんど検出しても検出されないため、車両寿命の間中レイテントとなる。
  2. 安全機構が周期$\tau$で故障検出した際に検出できる故障率の部分は、$t=0$~$\tau_{SM}$まではレイテントとなる。その後$t=\tau_{SM}$においてゼロ時間で修理される。

次に車両寿命におけるそれぞれの頻度を考えると、

  1. $t=0$〜$T_{lifetime}$までの一回
  2. $\frac{T_{lifetime}}{\tau_{SM}}$回

従って、(15.1)は正確には、上記の2つの事象確率と頻度の積を加えあわせ、 \[ M_{PMHF,DPF,A\rightarrow B}=\frac{1}{T_{lifetime}}F_{DPF,A\rightarrow B}(T_{lifetime}) =\frac{1}{T_{lifetime}}[F_{DPF,l,A\rightarrow B}(T_{lifetime})+\frac{T_{lifetime}}{\tau_{SM}}F_{DPF,d,A\rightarrow B}(\tau_{SM})] \]\[ \approx\frac{1}{2}\lambda_B(\lambda_{A,DPF,l}T_{lifetime}+\lambda_{A,DPF,d}\tau_{SM})\tag{16.1} \]

となります。

(16.1)は、「レイテント状態のエレメントAの不信頼度」に「Bの故障率」をかけたものです。前者をグラフ化したものが図16.1です。$DC=0$、つまり定期的な故障検出によりエレメントの故障が検出されない場合は、(14.1)のとおりです。一方、エレメントの故障が検出される部分がある場合には、検出時点で修理されるため、その分の不信頼度はゼロとなり、故障が検出されない部分のみが累積していきます。

図16.1
図16.1 エレメントの不信頼度のグラフ

青のグラフがDC=0の場合、オレンジがDC=20%の場合、グレーがDC=40%の場合、黄色がDC=60%の場合、濃青がDC=80%の場合、緑がDC=100%の場合をそれぞれ表します。


左矢前のブログ 次のブログ右矢


ページ: