Article #60

既に発行済みのブログであっても適宜修正・追加することがあります。
Even in the already published blog, we may modify and add appropriately.
posted by sakurai on September 13, 2018

ISO 26262のPMHFの導出の場合、微小確率の積分を実行する際に次の(60.1)及び(60.2)式が出てくるため、あらかじめ結果を導出しておきます。 $$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{SM}(t) f_{M}(t)dt\tag{60.1}$$及び$$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{SM}(u) f_{M}(t)dt, ただしu=t\bmod\tau_{SM}\tag{60.2}$$ まず、(60.1)式は、 $$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{SM}(t)f_{M}(t)dt=\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}\left[1-\exp(-\lambda_{SM}t)\right]\lambda_{M}\exp(-\lambda_{M}t)dt \\ =\frac{\lambda_{M}}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}\exp(-\lambda_{M}t)dt-\frac{\lambda_{M}}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}\exp\left[-(\lambda_{SM}+\lambda_M)t\right]dt\tag{60.3}$$ (60.3)の右辺第1項は、(Mathjaxのバグ?により一行で書くとエラーとなる) $$\text{1st term of RHS of (60.3)}=\frac{\lambda_{M}}{T_{lifetime}}\left[\frac{\exp(-\lambda_{M}t)}{-\lambda_{M}}\right]^{T_{lifetime}}_0$$

$$=\frac{1}{T_{lifetime}}(1-e^{-\lambda_{M}T_{lifetime}})\tag{60.4}$$ (60.3)の右辺第2項は、(Mathjaxのバグ?により一行で書くとエラーとなる) $$\text{2nd term of RHS of (60.3)}=\frac{\lambda_{M}}{T_{lifetime}}\left[\frac{\exp(-(\lambda_{SM}+\lambda_{M})t)}{-(\lambda_{SM}+\lambda_{M})}\right]^{T_{lifetime}}_0\tag{60.5}$$

$$=\frac{\lambda_{M}}{T_{lifetime}(\lambda_{SM}+\lambda_{M})}\left[1-e^{-(\lambda_{SM}+\lambda_{M})T_{lifetime}}\right]$$ ここで$\lambda t\ll 1$の条件で$e^{-\lambda t}$のMaclaurin展開は $$e^{-\lambda t}=1-\lambda t + \frac{1}{2}\lambda^2 t^2-O(t^3)$$となるため、$O(t^3)\approx 0$と近似し、これを(60.4)及び(60.5)に代入すると(60.3)は、

$$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{SM}(t) f_{M}(t)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_{M}\lambda_{SM}T_{lifetime}\tag{60.6}$$

結果の対称性から推測可能なように、(60.6)においてMとSMを入れ替えた次の式も同じ値となります。 $$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{M}(t) f_{SM}(t)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_{M}\lambda_{SM}T_{lifetime}\tag{60.7}$$

次に(60.2)式はやや複雑になりますが、同様に計算を行うと、次式が求められます。

$$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{SM}(u) f_{M}(t)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_{M}\lambda_{SM}\tau_{SM}\tag{60.8}$$

これも結果の対称性から推測可能なように、次の式も同じ値となります。 $$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{M}(t) f_{SM}(u)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_{M}\lambda_{SM}\tau_{SM}\tag{60.9}$$


左矢前のブログ 次のブログ右矢

Leave a Comment

Your email address will not be published.

You may use Markdown syntax.

Please enter the letters as they are shown in the image above.
Letters are not case-sensitive.