Posts Tagged with "failure rate"

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posted by sakurai on August 1, 2020 #284

Fault Tree図

次に論文中のFault Tree図を検証します。

図284.1に、論文中でFault Tree図と書かれている図を示します。図の中にあるように、これは故障率を示す図だそうですが、本来Fault Treeは確率図であるため、これは誤りです。

図%%.1
図284.1 論文中のFault Tree図

また、良くある誤りとして、故障率の2乗を計算しています。故障率の2乗の次元は$[1/H^2]$となるため、図284.1のように故障率$[1/H]$と足すことは、次元が合わないためできません。両辺を無次元の確率に直してから計算します。正しくは、 $$ \require{cancel} \lambda_\text{S}\bcancel{T_\text{lifetime}}=\lambda_\text{fD}\bcancel{T_\text{lifetime}}\cdot\lambda_\text{dUD}T_\text{lifetime}+\lambda_\text{fUD}\bcancel{T_\text{lifetime}}\\ \therefore\lambda_\text{S}=\lambda_\text{fD}\lambda_\text{dUD}T_\text{lifetime}+\lambda_\text{fUD} $$ となります。従って、$\lambda_\text{fUD}T_\text{lifetime}$がSPF/RF確率を、$\lambda_\text{fD}T_\text{lifetime}\cdot\lambda_\text{dUD}T_\text{lifetime}$がDPF確率を表すため、論文の式はDPF確率を過剰に低く評価しています。

さらに、次のFault Tree図は故障率も確率も(確立も)まぜこぜになっています。

図%%.2
図284.2 論文中のFault Tree図2

本来PMHFはハードウエア故障確率の目標値であるため、ソフトウエアについては故障確率で評価するのはおかしいのですが、ハードもソフトもまぜこぜになっています。

本論文の目的はASILデコンポジションにおける独立性の検討のようですが、独立性はIEC 61508-6のβファクタとして検討されており、それを適用すれば良いことになっています。もっともIEC 61508は化学プラントが対象のようであり、Part6のβファクタは非常に適用しにくいのですが、車載用電子機器のβファクタ表が無いため、これを援用するしかありません。

元に戻してASILデコンポジションは過去記事で検討していますが、以下の2つの要件が重要なので、再掲します。これに触れられていないデコンポジション議論には意味がありません。

  1. 安全要求の冗長性
  2. 安全要求の割り当てられたエレメント間の独立性

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ASILデコンポジションの論文

posted by sakurai on July 31, 2020 #283

ASILデコンポジションの論文

ASILデコンポジションで検索すると上位に出てくる次の論文について考察します。 https://www.juse.or.jp/sqip/workshop/report/attachs/2006/3_3_report.pdf

第三分科会 機能安全グループ
安全関連システムの分割要件の考察
Consideration of requirement of decomposition for a safety related system

筆者は恐らくソフト屋さんなのでしょうか、誤りが見受けられます。

記事中の文章

図2は一般的な監視機構を表しているが、このシステムでは主機能システムの異常を監視システムが検出し、あらかじめ設定された安全状態(Safety State)にシステムを遷移させ、その状態を維持する。同様に監視システムの異常を主機能システムが検出し、 Safety State に遷移・維持する。これは監視システムの喪失が単一故障で即危険状態に至る潜在故障(Latent failure)を避けるためである。

IFの故障により直ちにVSGとならないようにSMがIFの故障検出を行い、(FTTI中に)SSに遷移するというのは正しいです。また、SMの故障によりLFとならないように、IFが?(正しくは2nd SMだが、IFに2nd SMの機能が有ったとして)(MPFDI中に)故障検出を行うというのも、誤りではないです。

しかしながら、LFとならないようにSSに遷移する、という部分が誤りです。そもそもSMのフォールトは直ちに非安全状態になるものではなく、そのうち(!)に修理すれば良いわけです。そのためにMPFDIはかなり長時間、例えば1 vehicle trip時間(key onからkey offまで)を想定しています。SMはその定義上、故障しても直ちに危険事象を引き起こすことはないので、SSに遷移する必要はありません。

例えば ABS/VSA 等の電子制御のブレーキシステムにおいて故障を検出した時に、警告灯の表示で運転者に異常を知らせると共にシステムを機械式ブレーキシステム相当に戻した時の状態が、安全状態である。

警告灯が故障したからといって、いちいち機械式ブレーキに遷移しては、使い物になりません。この例に限りませんが、警告灯が故障したからといって、直ちに問題にはなりません。主機能である電子制御ブレーキシステムは正常に動作します。

とはいえ、システムはレイテント状態、つまりフォールトの待ち受け状態になっており、準危険状態なのでMPFDI中に検出し、修理する必要があります。MPFDIは「そのうち」と読み替えて良く、あまり危険度合いが高くないシステムであれば、次の車検の時でも良いでしょう。MPFDIの時間間隔は主機能と安全機構の故障率にも依存しており、PMHF式から逆算することが可能です。


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RAMS 2021にアブストラクトが採択

posted by sakurai on June 23, 2020 #281

表記のとおり、2021年1月25日からフロリダ州オーランドのローズンプラザホテルで開催される予定のRAMS 2021(67th Annual Reliability and Maintainability Symposium)に、弊社代表が投稿した論文のアブストラクトが採択されました。論文の内容は、今年1月に開催されたRAMS 2020で発表したPMHF式をFTAにどのように実装するかを明らかにするものです。まだ正式採択ではないため、これから論文をブラッシュアップしていくことになります。


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$M_{\mathrm{PMHF}}$の計算(11)

posted by sakurai on March 27, 2020 #228

#223に示した理由により、本稿の議論は全て取り消します。

前稿において、(227.2)右辺第2項を(一部の係数を除き)展開すると、 $$ \require{cancel} \img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}\\ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\mathrm{SM}(t)tf_\text{IF}(t)dt \tag{228.1} $$ ここで、WolframAlphaによる級数展開を用いると、

integral_0^(τ) (1 - exp(-λ_2 t)) λ_1 exp(-λ_1 t) dt * (τ^-1)

$$ \frac{1}{\tau}\int_0^\tau F_2(t)f_1(t)dt \approx\frac{1}{2}\lambda_1\lambda_2\tau \tag{228.2} $$

integral_0^(τ) (1 - exp(-λ_2 t)) λ_1 exp(-λ_1 t) t dt * (τ^-1)

$$ \frac{1}{\tau}\int_0^\tau F_2(t)tf_1(t)dt \approx\frac{1}{3}\lambda_1\lambda_2\tau^2 \tag{228.3} $$

$$ (228.1)=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\left[(1-K_\text{SM,MPF})F_\mathrm{SM}(t)tf_\text{IF}(t)+K_\text{SM,MPF}F_\mathrm{SM}(u)tf_\text{IF}(t)\right]dt\\ =\frac{1-K_\text{SM,MPF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(t)tf_\text{IF}(t)dt+\frac{K_\text{SM,MPF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(u)tf_\text{IF}(t)dt\\ \quad\text{s.t. }u:=t\bmod\tau\tag{228.4} $$ (228.4)右辺第2項を$t=i\tau+u, i=0,1,...,n-1,T_\text{lifetime}=n\tau$として$t$を$u$で表す変数変換を行うと、 $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(u)tf_\text{IF}(t)dt =\frac{1}{T_\text{lifetime}}\sum_{i=0}^{n-1}\int_0^\tau F_\text{SM}(u)(i\tau+u)f_\text{IF}(i\tau+u)du\\ =\frac{\tau}{T_\text{lifetime}}\sum_{i=0}^{n-1}ie^{-\lambda_\text{IF}i\tau}\int_0^\tau F_\text{SM}(u)f_\text{IF}(u)du+\frac{1}{T_\text{lifetime}}\sum_{i=0}^{n-1}e^{-\lambda_\text{IF}i\tau}\int_0^\tau F_\text{SM}(u)uf_\text{IF}(u)du\\ =\frac{1}{\bcancel{T_\text{lifetime}}}\left(\frac{1}{3}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\tau^{\bcancel{3}2}\right)\left(\bcancel{\tau}\frac{\bcancel{T_\text{lifetime}}(T_\text{lifetime}-\tau)}{\bcancel{\tau}^\bcancel{2}}+\frac{\bcancel{T_\text{lifetime}}}{\bcancel{\tau}}\right)\\ =\frac{1}{3}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\tau^2(T_\text{lifetime}-\tau+1) \tag{228.5} $$ (228.3)を(228.4)の第1項、(228.5)を第2項に用いて、

$$ (228.1)=\frac{1-K_\text{SM,MPF}}{\bcancel{T_\text{lifetime}}} \left(\frac{1}{3}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}^{\bcancel{3}2}\right) +K_\text{SM,MPF} \left(\frac{1}{3}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\tau^2(T_\text{lifetime}-\tau+1)\right) \tag{228.6} $$

弊社ではPMHFに関する論文をRAMS 2021に投稿予定であり、そのため、ブログの一部を一旦非開示(セミナー内でのご紹介と表示)としました。


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$M_{\mathrm{PMHF}}$の計算(10)

posted by sakurai on March 26, 2020 #227

#223に示した理由により、本稿の議論は全て取り消します。

前稿において、LAT2ではIFのAvailability(227.1で赤字で表示)は$R_\text{IF}(t)$でも$A_\text{IF}(t)$でもないことを解説しました。 $$ \overline{q_{\mathrm{DPF1,IFR}}}=\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)\color{red}{A_{\mathrm{IF}}(t)}\lambda_{\mathrm{IF}}dt \approx K_\text{IF,RF}\alpha \tag{227.1} $$ LAT2に来た時刻を$s$としたとき、$A_\text{IF}(s)R_\text{IF}(t-s)$で表される状態確率となりますが、問題は$s$が確率的に値を取ることです。これを消去するため、前稿(224.8)の結果を使用すれば、 $$ (227.1)=\frac{K_\mathrm{IF,RF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\mathrm{SM}(t)\left(1-\frac{1}{2}K_\text{IF,MPF}\lambda_\text{IF}(t-\tau)\right)R_\text{IF}(t)\lambda_\mathrm{IF}dt\\ =\frac{K_\mathrm{IF,RF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\mathrm{SM}(t)\left(1-\frac{1}{2}K_\text{IF,MPF}\lambda_\text{IF}(t-\tau)\right)f_\text{IF}(t)dt\\ =\frac{K_\mathrm{IF,RF}}{T_\text{lifetime}}\left(1+\frac{1}{2}K_\text{IF,MPF}\lambda_\text{IF}\tau\right)\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\mathrm{SM}(t)f_\text{IF}(t)dt\\ -\frac{K_\mathrm{IF,RF}K_\text{IF,MPF}\lambda_\text{IF}}{2T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\mathrm{SM}(t)tf_\text{IF}(t)dt \tag{227.2} $$ (227.2)右辺第1項は、積分公式から $$ \frac{K_\mathrm{IF,RF}}{2}\left(1+\frac{1}{2}K_\text{IF,MPF}\lambda_\text{IF}\tau\right)\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,MPF}\tau\right]\tag{227.3} $$ (227.2)右辺第2項を(一部の係数を除き)展開すると、 $$ \require{cancel} \img[-1.35em]{/images/withinseminar.png}\\ =\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\left[(1-K_\text{SM,MPF})F_\mathrm{SM}(t)tf_\text{IF}(t)+K_\text{SM,MPF}F_\mathrm{SM}(u)tf_\text{IF}(t)\right]dt\\ =\frac{(1-\bcancel{K_\text{SM,MPF}})}{T_\text{lifetime}}\lambda_\text{IF}\int_0^{T_\text{lifetime}}te^{-\lambda_\text{IF}t}dt-\frac{1-K_\text{SM,MPF}}{T_\text{lifetime}}\lambda_\text{IF}\int_0^{T_\text{lifetime}}te^{-(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})t}dt\\ +\bcancel{\frac{K_\text{SM,MPF}\lambda_\text{IF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}te^{-\lambda_\text{IF}t}dt}-\frac{K_\text{SM,MPF}\lambda_\text{IF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}te^{-\lambda_\text{IF}t-\lambda_\text{SM}u}dt\\ =\frac{\lambda_\text{IF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}te^{-\lambda_\text{IF}t}dt-\frac{1-K_\text{SM,MPF}}{T_\text{lifetime}}\lambda_\text{IF}\int_0^{T_\text{lifetime}}te^{-(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})t}dt\\ -\frac{K_\text{SM,MPF}\lambda_\text{IF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}te^{-\lambda_\text{IF}t-\lambda_\text{SM}u}dt \quad\text{s.t. }u:=t\bmod\tau\tag{227.4} $$ (225.3)及び(226.1)の結果を用いて、 $$ (227.4)=\lambda_\text{IF}\left(\frac{T_\text{lifetime}}{2}-\frac{\lambda_\text{IF}T_\text{lifetime}^2}{3}\right)\\ -(1-K_\text{SM,MPF})\lambda_\text{IF}\left(\frac{T_\text{lifetime}}{2}-\frac{(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})T_\text{lifetime}^2}{3}\right)\\ -K_\text{SM,MPF}\lambda_\text{IF}\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} \quad\text{s.t. }u:=t\bmod\tau\tag{227.5} $$

弊社ではPMHFに関する論文をRAMS 2021に投稿予定であり、そのため、ブログの一部を一旦非開示(セミナー内でのご紹介と表示)としました。


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PMHF計算に関する積分公式(3)

posted by sakurai on March 25, 2020 #226

#223に示した理由により、本稿の議論は全て取り消します。

前稿の続きで、ISO 26262のPMHFの導出の場合、確率積分を実行する際に次の(226.1)が出てくるため、あらかじめ結果を導出しておき、後程積分公式として使用します。 $$ \img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} \tag{226.1} $$ $t=i\tau+u, i=0,1,...,n-1, n:=\frac{T_\text{lifetime}}{\tau}$とおいて変数変換すれば、 $$ (226.1)=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\sum_{i=0}^{n-1}\int_0^\tau(i\tau+u)e^{-\lambda_\text{IF}(i\tau+u)-\lambda_\text{SM}u}du\\ =\tau\sum_{i=0}^{n-1}i e^{-\lambda_\text{IF}i\tau} \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^\tau e^{-(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})u}du +\sum_{i=0}^{n-1}e^{-\lambda_\text{IF}i\tau}\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^\tau ue^{-(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})u}du\\ \tag{226.2} $$ ここで、(226.2)右辺第1項の級数の和を求めるため和を$x$とおけば、 $$ x:=\sum_{i=0}^{n-1}i e^{-\lambda_\text{IF}i\tau}=e^{-\lambda_\text{IF}\tau}+2e^{-\lambda_\text{IF}2\tau}+...+(n-1)e^{-\lambda_\text{IF}(n-1)\tau}\tag{226.3} $$ となり、 $$ e^{-\lambda_\text{IF}\tau}x=\sum_{i=0}^{n-1}i e^{-\lambda_\text{IF}(i+1)\tau}=e^{-\lambda_\text{IF}2\tau}+...+(n-2)e^{-\lambda_\text{IF}(n-1)\tau}+(n-1)e^{-\lambda_\text{IF}n\tau}\tag{226.4} $$ よって、(226.3)-(226.4)より、 $$ x(1- e^{-\lambda_\text{IF}\tau})=e^{-\lambda_\text{IF}\tau}+e^{-\lambda_\text{IF}2\tau}+...+e^{-\lambda_\text{IF}(n-1)\tau}-(n-1)e^{-\lambda_\text{IF}n\tau}\\ =\underbrace{e^{-\lambda_\text{IF}\tau}+e^{-\lambda_\text{IF}2\tau}+...+e^{-\lambda_\text{IF}(n-1)\tau}+e^{-\lambda_\text{IF}n\tau}}_{\text{n terms}}-ne^{-\lambda_\text{IF}n\tau}\\ =e^{-\lambda_\text{IF}\tau}\frac{1-e^{-\lambda_\text{IF}T_\text{lifetime}}}{1-e^{-\lambda_\text{IF}\tau}}-n e^{-\lambda_\text{IF}T_\text{lifetime}}\tag{226.5} $$ よって、Maclaurin展開の1次近似を用いれば、 $$ \require{cancel} x\approx\frac{\bcancel{\lambda_\text{IF}}T_\text{lifetime}}{\lambda_\text{IF}^\bcancel{2}\tau^2}(1-\lambda_\text{IF}\tau)-\frac{n(1-\lambda_\text{IF}T_\text{lifetime})}{\lambda_\text{IF}\tau}\\ =\frac{T_\text{lifetime}(\bcancel{1}-\bcancel{\lambda_\text{IF}}\tau)-T_\text{lifetime}(\bcancel{1}-\bcancel{\lambda_\text{IF}}T_\text{lifetime})}{\bcancel{\lambda_\text{IF}}\tau^2}=\frac{T_\text{lifetime}(T_\text{lifetime}-\tau)}{\tau^2}\tag{226.6} $$ 次に、(226.2)右辺第2項の級数の和は、 $$ \sum_{i=0}^{n-1}e^{-\lambda_\text{IF}i\tau}=e^{-\lambda_\text{IF}\tau}+...+e^{-\lambda_\text{IF}(n-1)\tau}=\frac{1-e^{-\lambda_\text{IF}T_\text{lifetime}}}{1-e^{-\lambda_\text{IF}\tau}} \approx\frac{\bcancel{\lambda_\text{IF}}T_\text{lifetime}}{\bcancel{\lambda_\text{IF}}\tau} \tag{226.7} $$ 次に、(226.2)右辺第1項の定積分の値は、 $$ \int_0^\tau e^{-(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})u}du =\left[\frac{e^{-(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})u}}{-(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})}\right]_0^\tau =\frac{e^{-(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\tau}-1}{-(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})}\\ \approx\frac{1}{\bcancel{\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM}}}\left(\bcancel{(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})}\tau-\frac{1}{2}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})^\bcancel{2}\tau^2\right) =\tau\left(1-\frac{1}{2}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\tau\right) \tag{226.8} $$ 以上から、$\color{red}{(226.5)}$と$\color{green}{(226.6)}$を(226.2)に適用し、$\color{blue}{(226.7})$と部分積分の結果$\color{purple}{(225.1)}$を用いれば、 $$ (226.2)=\bcancel{\tau}\color{red}{\left(\frac{\bcancel{T_\text{lifetime}}(T_\text{lifetime}-\tau)}{\bcancel{\tau^2}}\right)}\frac{1}{\bcancel{T_\text{lifetime}}}\color{blue}{\bcancel{\tau}\left(1-\frac{1}{2}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\tau\right)}\\ +\color{green}{\frac{\bcancel{T_\text{lifetime}}}{\bcancel{\tau}}}\frac{1}{\bcancel{T_\text{lifetime}}} \color{purple}{\left(\frac{\tau^\bcancel{2}}{2}- \frac{(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\tau^{\bcancel{3}2}}{3}\right)}\\ =(T_\text{lifetime}-\tau)\left(1-\frac{1}{2}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\tau\right)+\left(\frac{\tau}{2}-\frac{1}{3}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\tau^2\right)\\ =\left(1-\frac{1}{2}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\tau\right)T_\text{lifetime}-\frac{\tau}{2}+\frac{1}{6}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\tau^2 \tag{226.9} $$ 弊社ではPMHFに関する論文をRAMS 2021に投稿予定であり、そのため、ブログの一部を一旦非開示(セミナー内でのご紹介と表示)としました。


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PMHF計算に関する積分公式(2)

posted by sakurai on March 24, 2020 #225

#223に示した理由により、本稿の議論は全て取り消します。

ISO 26262のPMHFの導出の場合、確率積分を実行する際に次の(225.1)が出てくるため、あらかじめ結果を導出しておき、後程積分公式として使用します。 $$ \img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} \tag{225.1} $$ 部分積分により、 $$ \require{cancel} (225.1)=\left[\frac{t e^{-\lambda t}}{-\lambda }\right]_0^{\tau} -\int_0^{\tau}\frac{e^{-\lambda t}}{-\lambda }dt =\left(\frac{\tau e^{-\lambda\tau}}{-\lambda }\right) -\left[\frac{e^{-\lambda t}}{\lambda ^2}\right]_0^{\tau}\\ =-\frac{\tau}{\lambda}e^{-\lambda \tau} +\left(\frac{1-e^{-\lambda\tau}}{\lambda ^2}\right)\\ \approx-\frac{\tau}{\lambda}\left(1-\lambda\tau+\frac{1}{2}\lambda^2\tau^2\right) +\frac{1}{\lambda^\bcancel{2}}\left(\bcancel{\lambda}\tau-\frac{1}{2}\lambda^\bcancel{2}\tau^2+\frac{1}{6}\lambda^{\bcancel{3}2}\tau^3\right)\\ =-\frac{1}{\bcancel{\lambda}}\left(\bcancel{\tau}-\bcancel{\lambda}\tau^2+\frac{1}{2}\lambda ^\bcancel{2}\tau^3\right) +\frac{1}{\bcancel{\lambda}}\left(\bcancel{\tau}-\frac{1}{2}\bcancel{\lambda}\tau^2+\frac{1}{6}\lambda^\bcancel{2}\tau^3\right)\\ =\frac{\tau^2}{2}-\frac{\lambda\tau^3}{3} \tag{225.2} $$ 積分範囲が$[0, \tau)$ではなく、$[0, T_\text{lifetime})$の場合で車両寿命で平均化する場合は、$\tau$を$T_\text{lifetime}$と置きなおせば、

$$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}} t e^{-\lambda t}dt =\frac{T_\text{lifetime}}{2}-\frac{\lambda T_\text{lifetime}^2}{3}\tag{225.3} $$ と求まります。

弊社ではPMHFに関する論文をRAMS 2021に投稿予定であり、そのため、ブログの一部を一旦非開示(セミナー内でのご紹介と表示)としました。


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IFのAvailabilityの平均化

posted by sakurai on March 20, 2020 #224

#223に示した理由により、本稿の議論は全て取り消します。

今回はダイレクトに $$ \img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} \tag{224.1} $$ を求めます。

まず、(224.1)式に、指数分布式である $$ \begin{eqnarray} \begin{cases} A_\text{IF}\text(s)&=&(1-K_\text{IF,MPF})e^{-\lambda_\text{IF}s}+K_\text{IF,MPF}e^{-\lambda_\text{IF}u}, u:=s\bmod \tau及び\\ R_\text{IF}(s)&=&e^{-\lambda_\text{IF}s} \end{cases} \end{eqnarray}\tag{224.2} $$ を代入し、 $$ \begin{eqnarray} (224.1)&=&\frac{1}{t}\int_0^t\left[(1-K_\text{IF,MPF})e^{-\lambda_\text{IF}s}+K_\text{IF,MPF}e^{-\lambda_\text{IF}u}\right]e^{-\lambda_\text{IF}(t-s)}ds\\ &=&\frac{1-K_\text{IF,MPF}}{t}\int_0^te^{-\lambda_\text{IF}s}e^{-\lambda_\text{IF}(t-s)}ds +\frac{K_\text{IF,MPF}}{t}\int_0^te^{-\lambda_\text{IF}u}e^{-\lambda_\text{IF}(t-s)}ds\\ &=&\frac{1-K_\text{IF,MPF}}{t}e^{-\lambda_\text{IF}t}\int_0^t ds +\frac{K_\text{IF,MPF}}{t}e^{-\lambda_\text{IF}t}\int_0^te^{-\lambda_\text{IF}(u-s)}ds\\ \end{eqnarray} \tag{224.3} $$ ここで、右辺第2項において、$u=s\bmod\tau$より、$s=i\tau+u, i=0,1,...,k-1, t=k\tau$とおいて、$s$を$u$と$i$で表し $$ \img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} \tag{224.4} $$ を計算すると、 $$ (224.4)=\sum_{i=0}^{k-1}\int_0^\tau e^{\lambda_\text{IF}i\tau}du =\sum_{i=0}^{k-1}e^{\lambda_\text{IF}i\tau}\int_0^\tau du =\tau\sum_{i=0}^{k-1}e^{\lambda_\text{IF}i\tau} \tag{224.5} $$

ここで、等比数列の和及びMaclaurin展開の1次近似より、 $$ \require{cancel} (224.5)=\tau\frac{1-e^{\lambda_\text{IF}k\tau}}{1-e^{\lambda_\text{IF}\tau}} =\tau\frac{1-e^{\lambda_\text{IF}t}}{1-e^{\lambda_\text{IF}\tau}} \approx\bcancel{\tau}\frac{\bcancel{\lambda_\text{IF}}t-\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}^\bcancel{2}t^2}{\bcancel{\lambda_\text{IF}}\bcancel{\tau}-\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}^\bcancel{2}\tau^\bcancel{2}} =\frac{t-\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}t^2}{1-\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\tau}\\ \approx\left(t-\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}t^2\right)\left(1+\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\tau\right) \tag{224.6} $$ であるから、(224.6)及び(224.4)の結果を(224.3)に用いれば、 $$ (224.3)\approx\frac{1-K_\text{IF,MPF}}{\bcancel{t}}e^{-\lambda_\text{IF}t}\bcancel{t} +\frac{K_\text{IF,MPF}}{\bcancel{t}}e^{-\lambda_\text{IF}t}\bcancel{t}\left(1-\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}t\right)\left(1+\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\tau\right)\\ \tag{224.7} $$ ここで、$\lambda_\text{IF}^2\approx0$と置いて、 $$ (224.7)\approx\left(1\bcancel{-K_\text{IF,MPF}}\right)e^{-\lambda_\text{IF}t} +K_\text{IF,MPF}e^{-\lambda_\text{IF}t}\left(\bcancel{1}-\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}(t-\tau)\right)\\ =e^{-\lambda_\text{IF}t}-\frac{1}{2}K_\text{IF,MPF}\lambda_\text{IF}(t-\tau)e^{-\lambda_\text{IF}t} =\left(1-\frac{1}{2}K_\text{IF,MPF}\lambda_\text{IF}(t-\tau)\right)R_\text{IF}(t) \tag{224.8} $$ 以上から、$s$を消去して$t$で表すことができました。

弊社ではPMHFに関する論文をRAMS 2021に投稿予定であり、そのため、ブログの一部を一旦非開示(セミナー内でのご紹介と表示)としました。


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$M_{\mathrm{PMHF}}$の計算(9)

posted by sakurai on March 17, 2020 #223

SMがフォールトしてLAT2のステートに来た時刻を$s$とすると、時刻$t$以前に来たことから$0\le s\le t$であり、SMとIFは故障事象自体は独立ですが、相手の故障事象により自分の状態確率が変化します。

この論点は、LAT2においてはSMがフォールトしているので、IFがアンリペアラブルである⇒LAT2に来た時間$s$により状態確率$\Pr\{\text{LAT2 at }t\}$が変化する⇒マルコフ性が崩れる、と新たに誤解したことによるものです。

正しくは、IFのリペアラビリティは1st SMであるSM(=LAT2でダウンしている)により決まりません。IFのリペアラビリティは2nd SMにのみ決定され、2nd SMは故障しないため、マルコフ性は崩れていません。従って本稿(#223)以降(~#228)の議論は全て取り消します。

正しい議論は以前のhttp://fs-micro.com/blogSummary.htmlの「PMHFの計算」~「PMHFの計算(8)」のとおりです。

従って、時刻$t$以前の時刻$s$の$0\le s\le t$におけるIFの平均稼働確率を求め、それを用いて状態確率を表し、さらに遷移確率をかけるという方法で解きます。-

以前求めた、$M_\text{PMHF}$の計算(8)の式(222.2)は、 $$ \begin{eqnarray} \Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}&=&\Pr\{\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\ &=&\Pr\{\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\}\Pr\{\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\ &=&\color{red}{A_{\mathrm{IF}}(t)}Q_{\mathrm{SM}}(t)\tag{222.2再掲} \end{eqnarray} $$ でしたが、IFのAvailability$\Pr\{\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\}$は、OPRに居る時、すなわち時刻$s$以前にSMがupな状態では、IFはリペアラブル($=\mathrm{IF^\text{R}}$)であり、時刻$s$でSMにフォールトが起きてdownしLAT2に来た時からは、IFはアンリペアラブル($=\mathrm{IF^\text{U}}$)となります。よって、本来は $$ \begin{eqnarray} \Pr\{\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\}&=&\Pr\{\mathrm{IF^\text{R}\ up\ at\ }s\cap\mathrm{IF^\text{U}\ up\ in\ }(s, t]\}\\ &=&\Pr\{\mathrm{IF^\text{R}\ up\ at\ }s\}\Pr\{\mathrm{IF^\text{U}\ not\ failed\ in\ }(s, t]\}\\ &=&A_\text{IF}(s)R_\text{IF}(t-s)\tag{223.1} \end{eqnarray} $$ 従って、(222.2)で右辺に$A_\text{IF}(t)$を使用したのは、LAT2におけるIFのAvailabilityの上限を求めたことになります。その理由は、大小関係は $$ R(t)\le A(s)R(t-s)\le A(t)\quad\text{s.t. }0\le s\le t\tag{223.2} $$ だからです。従って、IFのAvailabilityの下限を求めるには、右辺を$R_\text{IF}(t)$とおいて積分します。これは規格式と同じPMHF式を与えます。IFのAvailabilityの下限の積分はIFUモデルと同じになるため、(104.5)を参考にして、 $$ \overline{q_{\mathrm{DPF1,IFR}}}=\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)\color{red}{R_{\mathrm{IF}}(t)}\lambda_{\mathrm{IF}}dt \approx K_\text{IF,RF}\alpha \tag{223.3} $$ SMのフォールトも同様であり、DPF2平均確率を求めれば、 $$ \overline{q_{\mathrm{DPF2,IFR}}}=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{IF}}(t)R_{\mathrm{SM}}(t)\lambda_{\mathrm{SM}}dt \approx\beta \tag{223.4} $$ 前稿と同様に$K_\text{IF,RF}=1$とします。表221.1及び222.1より、

表223.1 IFRモデルのPMHF式$(K_\text{IF,RF}=1)$
(1)+(2b)SPF (2a)DPF1 (3)DPF2
SPF統合(LATにおけるAvailability上限) $0$ $\gamma$ $\gamma$
SPF統合(LATにおけるAvailability下限) $0$ $\alpha$ $\beta$

ただし、 $$ \gamma:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{MPF}\tau\right],\\ \text{s.t. }K_\text{MPF}:=1-(1-K_\text{IF,MPF})(1-K_\text{SM,MPF})=K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}-K_\text{IF,MPF}K_\text{SM,MPF}\tag{223.5} $$ 規格式(1/2のおかしな点を修正後)は$K_\text{IF,RF}=1$として、DPFのみを表示すれば、 $$ \begin{eqnarray} 修正版規格式&=&\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}(1-K_\text{SM,MPF})&\cdot&\lambda_\text{IF}T_\text{lifetime}\\ &+&\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}K_\text{SM,MPF}&\cdot&\lambda_\text{IF}\tau\\ &+&\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}(1-K_\text{IF,MPF})&\cdot&\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}\\ &+&\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}K_\text{IF,MPF}&\cdot&\lambda_\text{SM}\tau\\ \end{eqnarray} $$ $$ =\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2})T_\text{lifetime}+\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2}\tau\right]=\alpha+\beta\tag{223.6} $$ 表(223.1)より(223.6)と(223.5)の2倍を比較するため、差を計算すれば、
\(\displaystyle{ \quad\quad\quad(\alpha+\beta)-2\gamma }\)

$$ \begin{eqnarray} &=&\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[\left(1-\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2}\right)T_\text{lifetime}+\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2}\tau\right]\\ & &-\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[\left(1-K_\text{MPF}\right)T_\text{lifetime}+K_\text{MPF}\tau\right]\\ &=&\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[\left(K_\text{MPF}-\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2}\right)T_\text{lifetime}-\left(K_\text{MPF}-\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2}\right)\tau\right]\\ &=&\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left(K_\text{MPF}-\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2}\right)(T_\text{lifetime}-\tau)\\ &=&\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left(\frac{K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}}{2}-K_\text{IF,MPF}K_\text{SM,MPF}\right)(T_\text{lifetime}-\tau)\ge 0,\\ &\quad\quad&\text{s.t. }K_\text{IF,MPF}, K_\text{SM,MPF}\in[0, 1), T_\text{lifetime}\gg \tau\tag{223.7} \end{eqnarray} $$ よって、 $$\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} \tag{223.8}$$ これより、規格式は(%%.8) を表しています。

弊社ではPMHFに関する論文をRAMS 2021に投稿予定であり、そのため、ブログの一部を一旦非開示(セミナー内でのご紹介と表示)としました。


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$M_{\mathrm{PMHF}}$の計算(8)

posted by sakurai on March 16, 2020 #222

IFRモデル

全く同様な計算をIFRモデルでも行います。

図%%.1
図222.1 LAT2をSPFとDPF1に分離

同様に(2)を(2a)と(2b)に分離します。まず(2a)のDPF1方向への確率積分は、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{DPF1,IFR}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{DPF1\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\cap\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\\ & &\cap\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}\Pr\{\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}\} \end{eqnarray} \tag{222.1} $$ ここで(107.2)(107.3)より、 $$ \Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}=\Pr\{\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\cap\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\}\Pr\{\mathrm{SM\ down\ at\ }t\}\\=A_{\mathrm{IF}}(t)Q_{\mathrm{SM}}(t)\tag{222.2} $$ (107.7)より、 $$ \Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ =\Pr\{\mathrm{IF^R\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{IF^R\ up\ at\ }t\}=\lambda_{\mathrm{IF}}dt\tag{222.3} $$ (222.2)、(222.3)を(222.1)に用いれば、 $$ \overline{q_{\mathrm{DPF1,IFR}}}=\frac{K_{\mathrm{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)A_{\mathrm{IF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt \tag{222.4} $$ これに(107.8)の結果を利用すれば、 $$ (222.4)=K_{\text{IF,RF}}\beta\tag{222.5} $$

次に(2b)のSPF方向への確率積分は、IFUモデルと変わりません。SPFは、IFのフォールトがアンプリベンタブル(VSG抑止不可)な場合に起きるためです。 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\mathrm{SPF(2b),IFR}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{SPF(2b)\ at\ }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\cap\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\\ & &\cap\overline{\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\mathrm{IF^U\ down\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{LAT2\ at\ }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\mathrm{LAT2\ at\ }t\}\Pr\{\overline{\mathrm{VSG\ of\ IF\ preventable}}\} \end{eqnarray} \tag{222.6} $$ 同様に(221.2)(221.3)を用いれば、 $$ (222.6)=\frac{1-K_{\text{IF,RF}}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_{\mathrm{SM}}(t)R_{\mathrm{IF}}(t)\lambda_{\mathrm{IF}}dt \tag{222.7} $$ これに(104.5)の結果を利用すれば、 $$ (222.7)=(1-K_{\text{IF,RF}})\alpha\tag{222.8} $$ 以上より、IFRモデルの統合、分離方式を比較すると、表222.1のようになります。変化点を黄色で示しています。

表222.1 IFRモデルのPMHF式
(1)SPF (2)DPF1 (3)DPF2
LAT2統合 $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-(1-K_\text{IF,RF})\alpha$
(103.7)
$(1-K_\text{IF,RF})\alpha+K_\text{IF,RF}\beta$
(107.8)
$K_\text{IF,RF}\beta$
(106.4)
規格式1相当 $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_\text{IF,RF}\beta$ $K_\text{IF,RF}\beta$
規格式3相当 $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+2K_\text{IF,RF}\beta$
(1)SPF (2b)SPF' (2a)DPF1 (3)DPF2
LAT2分離 $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-(1-K_\text{IF,RF})\alpha$ $(1-K_\text{IF,RF})\alpha$
(222.7)
$K_\text{IF,RF}\beta$
(222.5)
$K_\text{IF,RF}\beta$
(1)+(2b)SPF (2a)DPF1 (3)DPF2
SPF統合 $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}$ $K_\text{IF,RF}\beta$ $K_\text{IF,RF}\beta$
SPF/DPF統合 $(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}$ $2K_\text{IF,RF}\beta$

$$ \text{ただし、} \begin{cases} \alpha:=\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau]\\ \beta:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{MPF}\tau\right]\\ K_\text{MPF}:=K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}-K_\text{IF,MPF}K_\text{SM,MPF} \end{cases} $$

前稿と同様、SPF統合のほうが単純な式となっています。LAT2統合において、SPFもDPF1も複雑な式でしたが、まとめ方を変えると単純な式となるため、この方が本質だと考えます。

また、$K_\text{IF,MPF}=0$のとき、すなわち、IFRモデルにおいて、IFの2nd SMが存在せずアンリペアラブルとなるときは$K_\text{MPF}=K_\text{SM,MPF}$となるため、$\beta=\alpha$となり、当然ですがIFRモデルはIFUモデルと同一の式となります。

IFRモデルはIFもSMもリペアラブルということは冗長構成により$K_\text{IF,RF}=1$となるため、それを適用したものを表222.2に示します。SPFが0となるため、LAT2統合でもSPF統合でも

  • $M_\text{PMHF,SPF}=0$
  • $M_\text{PMHF,DPF1}=\beta$

となり変わりません。

表222.2 IFRモデルのPMHF式$(K_\text{IF,RF}=1)$
(1)SPF (2)DPF1 (3)DPF2
LAT2統合 $0$ $\beta$ $\beta$
提案規格式1 $\beta$ $\beta$
提案規格式3 $2\beta$
(1)SPF (2b)SPF' (2a)DPF1 (3)DPF2
LAT2分離 $0$ $0$ $\beta$ $\beta$
(1)+(2b)SPF (2a)DPF1 (3)DPF2
SPF統合 $0$ $\beta$ $\beta$
SPF/DPF統合 $0$ $2\beta$

弊社ではPMHFに関する論文をRAMS 2021に投稿予定であり、そのため、ブログの一部を一旦非開示(セミナー内でのご紹介と表示)としました。


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