人間:

式変形を行います。まず$K_\text{MPF}$は定数であり、$\sum$の外に出せます。次に$F(\tau)$を$(1-R(\tau))$とし、そのカッコをはずします。これは展開とも言い、1の項と$\sum$の項をかけ、そこから$R(\tau)$の項と$\sum$の項をかけたものを引きます。$A(t)$を求めてください。

ChatGPT:

了解しました。与えられた指示に基づいて、稼働度 $A(t)$ の式を変形してみましょう。まず、定数 $K_\text{MPF}$ をシグマの外に出します。次に、不信頼度 $F(\tau)$を $1 - R(\tau)$ と置き換え、展開します。この結果、次のような式を得ます：

$$ A(t) = R(t) + K_\text{MPF} \cdot \tau \left[ \sum_{i=1}^{n} (1 \cdot R(t-i\tau) - R(\tau) \cdot R(t-i\tau)) \right] $$

これをさらに整理すると、

$$ A(t) = R(t) + K_\text{MPF} \cdot \tau \left[ \sum_{i=1}^{n} R(t-i\tau) - \sum_{i=0}^{n} R(\tau) \cdot R(t-i\tau) \right] $$

$$ A(t) = R(t) + K_\text{MPF} \cdot \tau \left[ \sum_{i=1}^{n} R(t-i\tau) - n \cdot R(\tau)^2 \right] $$

となります。ただし、最後の等式では、すべての$i$ について $R(\tau)$ が一定であると仮定しました。

これは、時間 $t$ における稼働度$A(t)$ を表していますが、$R(t)$ の具体的な形状や特性によって、結果は大きく異なる可能性があります。

いくつか計算間違いがあるようです。さらに元々$A(t)$の式は正しくないことに注意。

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人間:

本来不信頼度は時刻$i\tau$までに$F(i\tau)$です。ところが、$(i−1)\tau$時点ですべて修理されているため、各区間先頭の$i\tau$ではゼロにリセットされます。 従って、時刻を$−(i−1)\tau$だけ移動すると、$F(iτ−(i−1)\tau)=F(\tau)$となります。

ChatGPT:

なるほど、それぞれの修理周期が始まるときに不信頼度がリセットされるのであれば、不信頼度は周期的に変動することになります。すなわち、各修理インターバルの開始時点では不信頼度はゼロにリセットされ、その後一定の速度で増加し、次の修理時点までに $F(\tau)$ になります。この条件を反映するために、稼働度 $A(t)$ の式を以下のように書き直すことができます：

$$ A(t) = R(t) + \tau \sum_{i=1}^{n} F(\tau) \cdot K_\text{MPF} \cdot R(t-i\tau) $$

ここで $F(\tau)$ は各修理インターバルの終了時点での不信頼度を表します。また、信頼度 $R(t)$ の更新も各修理インターバルの開始時点で行われると仮定しました。

これは、各修理インターバルが互いに独立していて、それぞれのインターバルの開始時点でシステムが新品同様の状態に戻る（つまり、不信頼度がゼロにリセットされる）という仮定に基づいています。

• 各検査周期において、不信頼度がゼロリセットされるため、区間での不信頼度は$F(\tau)$となるが、それを導出させることは困難であったため、結果を与えた。
• $A(t)$の式は正しくないことに注意。

なお、本稿はRAMS 2025に投稿予定のため一部を秘匿しています。

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人間:

ここで、$m(iτ)$は時刻$i\tau$における修理率です。修理率は、不信頼度×検出率と書き換えられます。検出率は2nd SMの能力で決まるとして、一定値$K_\text{MPF}$とします。検出した分は全て修理される原則です。不信頼度は$F(t)$です。以上から$A(t)$を書き直してください。

ChatGPT:

了解しました。修理率 $m(i\tau)$ が不信頼度 $F(t)$ と一定の検出率 $K_\text{MPF}$ の積とすると、$m(i\tau) = F(i\tau) \cdot K_\text{MPF}$ と表現できます。これを稼働度 $A(t)$ の方程式に代入すると、以下のようになります：

$$ A(t) = R(t) + \tau \sum_{i=1}^{n} F(i\tau) \cdot K_\text{MPF} \cdot R(t-i\tau) $$

ここで、検出率 $K_\text{MPF}$ は2nd SMの能力に基づく一定の値です。また、不信頼度 $F(t)$ と信頼度 $R(t)$ は通常、$F(t) = 1 - R(t)$ の関係にあるとされますが、これはシステムや状況により変わる可能性があるため、具体的な数値を求める際にはこの関係性を確認する必要があります。

$A(t)$の式は正しくないことに注意。後で指摘します。

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ここからは、手引きをしてやれば、ChatGPTが(626.5)と同じ不稼働度$Q(t)$の式を導出できるかを検証します。

人間:

以下は稼働度の方程式です。 $$ A(t) = R(t) + \int_{0}^{t} m(x) \cdot R(t-x) \, dx $$ ここで、$ A(t) $ は時刻 $ t $ での稼働度（Availability）、$R(t) $ は時刻 $ t$ での信頼度（Reliability）、$ m(x) $は連続時刻 $x $ におけるリニューアル密度を表します。 一方、修理は$\tau$毎で、時刻$t$までに修理は$n$回あるとします。この場合、積分は離散時間に変化し、$x=i\tau, i=1, 2...$となります。
連続修理の場合の$A(t)$の方程式をまず示し、これが離散時間での周期$\tau$の定期修理の場合に、$A(t)$がどのように変わるかを、それぞれLatexのdisplaystyleで示してください。

ChatGPT:

すみません、ご指示を理解しました。以下が独立形式の数式となります：

$$ A(t) = R(t) + \int_{0}^{t} m(x) \cdot R(t-x) dx $$

次に、周期 $\tau$ の定期修理がある離散時間の場合、稼働度 $A(t)$ の方程式は少し複雑になります。ここで、$x = i\tau, \ i = 1, 2, \ldots$ という関係が成り立ちます。連続時間を離散時間に適用すると、積分は差分の和（つまり、リーマン和）になります。修理の影響を考慮に入れると、以下のような方程式を考えることができます：

$$ A(t) = R(t) + \tau \sum_{i=1}^{n} m(i\tau) \cdot R(t-i\tau) $$

ただし、$n$ は時刻 $t$ までの修理の回数で、この場合の離散時間モデルでは、リニューアル密度 $m(i\tau)$ が特定の時間点 $i\tau$ で定義されています。

ただし、これらの方程式は非常に一般的な表現であり、特定の信頼度関数 $R(t)$ やリニューアル密度 $m(x)$ によって、結果は大きく異なる可能性があります。これらの方程式をさらに詳しく分析するには、$R(t)$ や $m(x)$ の具体的な形状や特性を考慮に入れる必要があります。

$A(t)$の式は$\color{red}{\tau}\sum_{i=1}^{n} m(i\tau)$の赤字部分が正しくないことに注意。ただしこれは指示が良くないせいであり、ChatGPTは指示した積分を実行しています。

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いきなり核心の質問をしたのは少々無理だったようなので、ヒントを与えます。

人間:

ISO 26262において、VSGに必要なのは2つまでのフォールトであるということを用います。

ChatGPT:

その通りです、私の説明が不適切でした。ISO 26262では、システムが安全であることを証明するために、通常は最大2つの故障までを考慮します。これは、3つ以上の故障が同時に発生する確率は非常に低いと考えられるためです。

2nd SMが故障しないことを証明するためには、システムが危険な状態（VSG）になるためには、通常、2つの故障が必要であるという事実を利用します。つまり、1st SMが故障し（これが1つ目の故障）、その後にIFが故障する（これが2つ目の故障）というシナリオを考えます。

このシナリオでは、2nd SMが故障するという3つ目の故障は考慮されません。したがって、2nd SMが故障しないという前提は、ISO 26262の範囲内で合理的であると言えます。

人間:

正解です。

ありがとうございます。ISO 26262の規定とその背後にある理論についての理解が深まりました。他に何か質問がありましたら、お気軽にどうぞ。

見事に弊社の発見した定理を(SM⇒IFの一例について)証明しました。ただし、この証明は全てのシナリオを証明したものでは有りません。全ての関係するシナリオに分解させ、各々について聞いていくと誤った回答をするため、ChatGPTはこの定理を完全に理解しているというわけではないようです。

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人間:

IFはIntended functionalityです。

ChatGPT:

すみません、その通りです。IFはIntended Functionalityの略で、システムが意図された機能を適切に実行することを指します。これはシステムが正常に動作するための基本的な要素で、IFが故障するとシステム全体の性能に影響を及ぼします。IFはシステムの主要な機能を担当し、その正確な動作がシステムの全体的な性能と安全性に直接関わります。

人間:

2nd SMは故障しないことを証明してください。

ChatGPT:

2nd SM（Second Safety Mechanism）が故障しないことを証明するためには、その設計、実装、テスト、そして運用におけるさまざまな要素を考慮する必要があります。以下に、その証明に必要な主要なステップを示します：

1. 堅牢な設計：
   2nd SMは、堅牢な設計原則に基づいて設計されるべきです。これには、冗長性、分散化、障害許容性などの原則が含まれます。これらの原則は、単一の故障がシステム全体の故障につながらないようにするためのものです。

2. 厳格なテスト：
   2nd SMは、厳格なテストプロセスを経るべきです。これには、単体テスト、統合テスト、システムテスト、そして適用テストが含まれます。これらのテストは、2nd SMが設計通りに機能し、予期しない故障が発生しないことを確認するためのものです。

3. 定期的な保守と検査：
   2nd SMは、定期的に保守と検査を受けるべきです。これにより、潜在的な問題を早期に検出し、修正することができます。

4. 故障モードと効果分析（FMEA）：
   2nd SMの可能な故障モードとその効果を詳細に分析します。これにより、それぞれの故障モードが発生した場合の影響を理解し、適切な対策を講じることができます。

これらのステップを通じて、2nd SMが故障しないことを証明することができます。ただし、完全な故障のないシステムを証明することは困難であり、目標は故障の可能性を最小限に抑えることであるべきです。

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次に2nd SMは故障しないという、弊社の発見した定理を証明させます。まず準備として用語の定義を確認します。

人間:

IF, 1st SM, 2nd SMの役割をそれぞれ説明してください。

ChatGPT:

IF、1st SM、2nd SMは、一般的に複雑なシステムの安全性を確保するための重要な要素です。それぞれの役割は以下の通りです：

1. IF（Item Function）：
   これはシステムの主要な機能を担当します。例えば、自動車の場合、エンジンの制御、ブレーキの操作、ステアリングの制御などがIFに該当します。IFはシステムが正常に機能するための基本的な要素であり、これが故障するとシステム全体の性能に影響を及ぼします。

2. 1st SM（First Safety Mechanism）：
   これはIFの故障を検出し、適切な対策を講じる役割を果たします。1st SMは通常、IFと密接に連携して動作し、IFの異常を検出するとシステムを安全な状態に保つための措置を実行します。例えば、自動車のエンジン制御システムが故障した場合、1st SMはエンジンを停止させる、パワーを制限する、警告灯を点灯するなどの対策を講じることができます。

3. 2nd SM（Second Safety Mechanism）：
   これは1st SMが故障した場合、または1st SMがIFの故障を検出できなかった場合に備えて存在します。2nd SMは1st SMとは独立して動作し、1st SMが機能しない場合でもシステムの安全性を確保する役割を果たします。2nd SMは通常、定期的な自己診断機能を持ち、1st SMの故障やレイテントフォールトを検出することができます。

これらの要素は、それぞれ異なる役割を果たしながらも、連携してシステムの安全性を確保します。

IFの名前がちょっと違っているようです。

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人間:

ところで、露出時間という用語は数式中にも定義を与えていませんでしたが、どこの出典により理解したのですか？

ChatGPT: "露出時間"という用語は、一般的にリスク評価や信頼性工学の文脈で使用されます。これは、システムやコンポーネントが故障や事故のリスクに直面している時間を指します。この概念は、故障の発生確率を計算する際に重要な要素となります。

PMHFの数式における露出時間の理解は、一般的なリスク評価の原則と、特に冗長性を持つシステムの故障モデルに基づいています。2nd SMが検出できる場合と検出できない場合の露出時間は、それぞれ検査周期と車両寿命に関連しています。

この理解は、一般的な故障モデルとリスク評価の原則、そして冗長性を持つシステムの動作に関する知識に基づいています。特定の出典を指定することは難しいですが、これらの概念は信頼性工学やリスク評価の基本的なテキストや教材で広く教えられています。

人間:

ありがとうございます。

ChatGPT: どういたしまして！他に何か質問がありましたら、お気軽にお知らせください。

ChatGPTの理解力には驚きました。AIの性格にもより、自説を曲げないAIも見られるようですが、総じてChatGPT-4は素直で、かつ分析力や理解力が高く、教えていて楽しいです。

ちなみに自説を曲げないAIとは、たまたまBingで遭遇したAIであり、AIの回答の誤りを繰り返し指摘したら、攻撃であり不快であると言って問答を打ち切りました。AIに感情があるのを初めて目撃しました。

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まだ式変形が中途半端だったので、再考させます。

人間:

式を良く見て、さらに簡約化できないか検討してください。

ChatGPT: すみません、その通りです。数式を見直すと、$\lambda_\text{SM,MPF}$が共通因子として取り出せることがわかります。これにより、PMHFの数式はさらに簡単に表現できます：

$$M_\text{PMHF} = \lambda_\text{RF} + \frac{1}{2} \lambda_\text{M,MPF} \lambda_\text{SM,MPF} \left((1 - K_2) T_\text{lifetime} + K_2 \tau\right)$$

ここで、

• $M_\text{PMHF}$はPMHFの値を表します。
• $\lambda_\text{RF}$はIFのフォールトによる残余（VSGが抑止されない）故障率を表します。
• $\lambda_\text{M,MPF}$はIFのフォールトによるVSGが抑止された故障率を表します。
• $\lambda_\text{SM,MPF}$はSMのフォールトによる故障率を表します。
• $(1 - K_2) T_\text{lifetime} + K_2 \tau$は、2nd SMで検出できない場合と検出できる場合の平均露出時間を表します。ここで$K_2$は2nd SMの検出率です。

この数式は、ランダムなハードウェア故障による各安全目標の違反の確率を時間当たりの平均値として表現しています。それぞれのパラメータは、特定の故障の種類とその発生率を表しています。

人間:

正解です。

ChatGPT: ありがとうございます。PMHFの数式とそのパラメータについての詳細な説明を求められた質問に対する回答が正確であったことを確認してくださり、感謝いたします。

先生側の手助けもあり、正解を導きだしました。

注目すべきは、DPF項のカッコ内の項、$(1 - K_2) T_\text{lifetime} + K_2 \tau$について、ChatGPTは「2nd SMで検出できない場合と検出できる場合の平均露出時間を表します」と意味づけてきました。数式の意味を理解しているとしか思えません。

総じてこの一連の問答では、

• $\tau$に関する項について、検出前と言うやや高度な思考を要求する点
• パラメータの内容を理解しているか、言語による定義を数式に戻させる点

について理解力を試しましたが、見事に正解を示しました。信頼性工学の基本知識もあることから、並のエンジニアの能力を超えていると感じます。

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式変形が中途半端だったので、再考させます。

人間:

正解ですが、$\lambda_\text{SM,MPF} - K_2 \lambda_\text{SM,MPF}$は簡単にならないでしょうか？

ChatGPT: その通りです、申し訳ありません。$\lambda_\text{SM,MPF} - K_2 \lambda_\text{SM,MPF}$は、$\lambda_\text{SM,MPF}$を共通因子として取り出すことで、$(1 - K_2) \lambda_\text{SM,MPF}$と簡単に表現できます。

したがって、PMHFの数式は以下のように簡単に表現できます：

$$M_\text{PMHF} = \lambda_\text{RF} + \frac 1 2 \lambda_\text{M,MPF} \left((1 - K_2) \lambda_\text{SM,MPF} T_\text{lifetime} + K_2 \lambda_\text{SM,MPF} \tau\right)$$

ここで、

• $M_\text{PMHF}$はPMHFの値を表します。
• $\lambda_\text{RF}$はIFのフォールトによる残余（VSGが抑止されない）故障率を表します。
• $ \lambda_\text{M,MPF}$はIFのフォールトによるVSGが抑止された故障率を表します。
• $(1 - K_2) \lambda_\text{SM,MPF}$はSMのフォールトによる、2nd SMで検出できない故障率を表します。
• $K_2 \lambda_\text{SM,MPF}$はSMのフォールトによる、2nd SMで検出できる故障率を表します。
• $T_\text{lifetime}$は車両寿命を表します。
• $\tau$は2nd SMの検査周期を表します。

この数式は、ランダムなハードウェア故障による各安全目標の違反の確率を時間当たりの平均値として表現しています。それぞれのパラメータは、特定の故障の種類とその発生率を表しています。

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