同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャにおける $f_\text{VSG}(t)$ の導出

前二稿では、PMHF と PFH の厳密差が寿命区間内における 2 回目以降の VSG 発生の寄与であること、また典型条件ではその差が実務上ほぼ無視できることを確認しました。本稿では、その差をまだ近似で落とさずに、同じ IF と SM から成る非冗長サブシステムアーキテクチャの上で、PMHF 側の VSG 初回到達密度 $f_\text{VSG}(t)$ を導出します。

ここでは、IF に対応する確率過程 $(\eta_t^\text{IF})_{t\ge0}$ と SM に対応する確率過程 $(\eta_t^\text{SM})_{t\ge0}$ を考えます。IF の稼働集合を $\mathcal M_\text{IF}$、SM の稼働集合を $\mathcal M_\text{SM}$、SM の潜在故障集合を $\mathcal P_\text{SM}$ とします。また、IF の危険故障モード集合を SPF 寄与集合と DPF 寄与集合に

$$ \mathcal P_\text{IF} =\mathcal P_\text{IF,SPF}\cup\mathcal P_\text{IF,DPF}, \qquad \mathcal P_\text{IF,SPF}\cap\mathcal P_\text{IF,DPF}=\varnothing \tag{1076.1} $$

と分割します。

IF が時刻 $t$ に稼働集合にある確率を

$$ R_\text{IF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\} \tag{1076.2} $$

と表します。また、SM の可用性と潜在故障確率を

$$ A_\text{SM}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal M_\text{SM}\}, \qquad U_\text{SM}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\} \tag{1076.3} $$

と表します。ここで、$A_\text{SM}(t)$ は SM が時刻 $t$ に稼働集合にある確率であり、$U_\text{SM}(t)$ は SM が潜在故障集合にある確率です。

次に、前稿で導入した VSG 計数過程 $(N_t^\text{VSG})_{t\ge0}$ を用います。VSG の初回発生時刻を $\sigma_\text{VSG}$ とすると、時刻 $t$ までにまだ VSG が発生していない確率は

$$ R_\text{VSG}(t)=\Pr\{N_t^\text{VSG}=0\} =\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t\} \tag{1076.4} $$

です。PMHF 側では、時刻 $t$ までにまだ VSG が発生していないという条件の下でのみ、次の微小時間 $dt$ における VSG 到達を数えます。本サブシステムモデルでは、VSG は IF 故障によってのみ発生するため、IF 遷移の直前では $\sigma_\text{VSG}>t$ は IF が時刻 $t$ まで稼働していることを意味します。

IF の SPF 側および DPF 側への Vesely 故障率を、稼働集合から各故障集合への条件付き遷移率として

$$ \lambda_{v,\text{IF,SPF}}(t) =\lim_{dt\to0} \frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF} \mid \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}}{dt}, \qquad \lambda_{v,\text{IF,DPF}}(t) =\lim_{dt\to0} \frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF} \mid \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}}{dt} \tag{1076.5} $$

と定義します。IF は unrepairable であり、対応する物理故障率を定数とすれば、この IF 遷移について

$$ \lambda_{v,\text{IF,SPF}}(t)=\lambda_{\text{IF,SPF}}, \qquad \lambda_{v,\text{IF,DPF}}(t)=\lambda_{\text{IF,DPF}} \tag{1076.6} $$

と書けます。ここで重要なのは、$R_\text{IF}(t)$ が掛かるのは Vesely 故障率そのものではなく、無条件の初回到達密度を作る段階であることです。

まず SPF 項について、時刻 $t$ までにまだ VSG が発生しておらず、かつ IF が稼働集合にあるとき、その後の微小時間 $dt$ の間に IF の SPF 側故障によって VSG に到達する確率は

$$ F_\text{SPF}(t+dt)-F_\text{SPF}(t) =\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}, \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\}\\ =R_\text{IF}(t)\lambda_{\text{IF,SPF}}dt+o(dt) \tag{1076.7} $$

です。したがって、PMHF 側の SPF 初回到達密度は

$$ f_\text{SPF}(t) =R_\text{IF}(t)\lambda_{\text{IF,SPF}} \tag{1076.8} $$

となります。

同様に DPF 項について、時刻 $t$ までにまだ VSG が発生しておらず、SM が潜在故障集合にあり、かつ IF が稼働集合にあるとき、その後の微小時間 $dt$ の間に IF の DPF 側故障によって VSG に到達する確率は

$$ F_\text{DPF}(t+dt)-F_\text{DPF}(t) =\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}, \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}, \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\}\\ =U_\text{SM}(t)R_\text{IF}(t)\lambda_{\text{IF,DPF}}dt+o(dt) \tag{1076.9} $$

です。ここでは、IF fault と SM fault の独立性を用いています。したがって、PMHF 側の DPF 初回到達密度は

$$ f_\text{DPF}(t) =U_\text{SM}(t)R_\text{IF}(t)\lambda_{\text{IF,DPF}} \tag{1076.10} $$

となります。

よって、PMHF 側の VSG 初回到達密度は

$$ f_\text{VSG}(t) =f_\text{SPF}(t)+f_\text{DPF}(t) \tag{1076.11} $$

すなわち

$$ f_\text{VSG}(t) =R_\text{IF}(t)\lambda_{\text{IF,SPF}} +U_\text{SM}(t)R_\text{IF}(t)\lambda_{\text{IF,DPF}} \tag{1076.12} $$

です。

本稿では、同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャに対して、PMHF 側の VSG 初回到達密度 $f_\text{VSG}(t)$ を導出しました。重要な点は、Vesely 故障率は稼働集合から故障集合への条件付き遷移率であり、IF が unrepairable で定数故障率を持つ場合には $\lambda_{\text{IF,SPF}}$ および $\lambda_{\text{IF,DPF}}$ として扱えることです。一方、PMHF 側では初回到達条件が入るため、SPF 項および DPF 項の双方に IF の生存確率 $R_\text{IF}(t)$ が現れます。この初回到達条件が、後に PFH 側の VSG 発生頻度 $w_\text{VSG}(t)$ との差を生みます。

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