同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャにおける $f_\text{VSG}(t)$ と $w_\text{VSG}(t)$ の厳密導出

前二稿では、PMHF と PFH の厳密差が寿命区間内における 2 回目以降の VSG 発生の寄与であること、また典型条件ではその差が実務上ほぼ無視できることを確認しました。本稿では、その差をまだ近似で落とさずに、同じ IF と SM から成る非冗長サブシステムアーキテクチャの上で、PMHF 側の VSG 初回到達密度 $f_\text{VSG}(t)$ と PFH 側の VSG 発生頻度 $w_\text{VSG}(t)$ を厳密に導出します。

ここでは、IF に対応する確率過程 $(\eta_t^\text{IF})_{t\ge0}$ と SM に対応する確率過程 $(\eta_t^\text{SM})_{t\ge0}$ を考えます。IF の稼働集合を $\mathcal M_\text{IF}$、SM の潜在故障集合を $\mathcal P_\text{SM}$ とします。また、IF の危険故障モード集合を SPF 寄与集合と DPF 寄与集合に

$$ \mathcal P_\text{IF}=\mathcal P_\text{IF,SPF}\cup\mathcal P_\text{IF,DPF}, \qquad \mathcal P_\text{IF,SPF}\cap\mathcal P_\text{IF,DPF}=\varnothing \tag{1076.1} $$

と分割します。

このとき、IF の SPF 側および DPF 側への条件付き遷移率、すなわち Vesely 故障率を

$$ \lambda_{V,\text{IF,SPF}}=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}}{dt} \tag{1076.2} $$

および

$$ \lambda_{V,\text{IF,DPF}}=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}}{dt} \tag{1076.3} $$

と定義します。

次に、前稿で導入した VSG 計数過程 $(N_t^\text{VSG})_{t\ge0}$ を用います。VSG の初回発生時刻を $\sigma_\text{VSG}$ とすると、PMHF 側では「時刻 $t$ までにまだ一度も VSG が起きていない」という条件の下でのみ VSG 到達を数えます。

まず SPF 項について、時刻 $t$ までにまだ VSG が発生しておらず、かつ IF が稼働集合にあるとき、その後の微小時間 $dt$ の間に IF の SPF 側故障によって VSG に到達する確率は

$$ \Pr\{N_t^\text{VSG}=0,\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF},\ \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\}\\ =\Pr\{N_t^\text{VSG}=0,\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}}dt+o(dt) \tag{1076.4} $$

です。したがって、PMHF 側の SPF 初回到達密度は

$$ f_\text{SPF}(t)=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{N_t^\text{VSG}=0,\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF},\ \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\}}{dt}\\ =\Pr\{N_t^\text{VSG}=0,\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}} \tag{1076.5} $$

となります。

同様に DPF 項について、時刻 $t$ までにまだ VSG が発生しておらず、かつ SM が潜在故障集合にあり IF が稼働集合にあるとき、その後の微小時間 $dt$ の間に IF の DPF 側故障によって VSG に到達する確率は

$$ \Pr\{N_t^\text{VSG}=0,\ \eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF},\ \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\}\\ =\Pr\{N_t^\text{VSG}=0,\ \eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}}dt+o(dt) \tag{1076.6} $$

です。したがって、PMHF 側の DPF 初回到達密度は

$$ f_\text{DPF}(t)=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{N_t^\text{VSG}=0,\ \eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF},\ \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\}}{dt}\\ =f_\text{DPF}(t)=\Pr\{N_t^\text{VSG}=0,\ \eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1076.7} $$

となります。

よって、PMHF 側の VSG 初回到達密度は

$$ f_\text{VSG}(t)=f_\text{SPF}(t)+f_\text{DPF}(t) \tag{1076.8} $$

すなわち

$$ f_\text{VSG}(t)=\Pr\{N_t^\text{VSG}=0,\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}}\\ +\Pr\{N_t^\text{VSG}=0,\ \eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1076.9} $$

です。

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